考研数学二（高等数学）模拟试卷32

考研数学二(高等数学)模拟试卷32

一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)

1、f(x)在XO处可导,则If(x)I在XO处().

A、可导

B、不可导

C、连续但不一定可导

D、不连续

标准答案：C

知识点解析：由f(x)在xo处可导得If(x)I在xo处连续，但If(x)I在xo处不一定

可导，如f(x)=x在x=O处可导，但If(x)1=1x1在x=O处不可导，选(C).

2、设f(x)在［a,+oo)上二阶可导，f(a)<0,f(a)=0,fl.f'(x)>k(k>0),则f(x)在⑸

+8)内的零点个数为().

A、0个

B、1个

C、2个

D、3个

标准答案：B

知识点解析：因为P(a尸0,且"x)Nk(k>0),所以f(x尸f(a)+『(a)(x-a)+

等"-/，/⑻+如一叫其中自介于@与x之间.而

**)+与(］一°)2T8•故加八-一+8,再由阳)<0得以)在⑶+8)内至少有

一个零点.又因为「(a)=0,且F(x)Nk(k>0),所以「(x)>0(x>a),即f(x)在⑶。)单

调增加，所以零点是唯一的，选(B).

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

1,111

C3、I1-cos•Z

标准答案：1/2

知识点解析:

I*(sin/+rcos』)&[(sin/4-/2cos-)dzI(sin2+/cos-)dr

।•Jot_••Jo，r_Jot

2lim-----------2----------

E?1-COSZJ-O(1+COSJ-Xl-cosx)IX1

sinx+“2cos—

=4-lim(亚生+jcos-)

则---五一-LxxT,

a(l-co&r)+21n(】上M2)

,N>0

e*-J-1

八工)二)3,,i=0

2/crsiru-+jcosrdz

4、设xarctaru-'。在x=0处连续，则a=

b=_______

标准答案：・1,1

知识点解析:

ra(l-coxr).2Ind4-&r01

/(04-0)=lim二]_咚)却】土位=lin}F

111D22

=a+46,

/<0)y3.

2Ztrsin_r+cos/dz2加•sinx+lcos/dz

/(O-O)----------------1，—=lim26+lim=26+1

xarctaar-一

因为f(x)在x=0处连续,所以a+4b=3=2b+l,解得a=-l,b=l.

5、设y=y(x)由yexy+xcosx-l=0确定，求dyIx=o=.

标准答案：-2dx

知识点解析：当x=0时.y=l,将yexy+xcosx-l=0两边对x求导得

d+”招+-sig=0将x=0,y=l代入上式得$=-2,故dyl

x=o=-2dx.

6、口则若三加工

17

标准答案：石

=产，

因为lim一11V*42

知识点解析:所以1：（则^1血+卜&=十+£=¥

7、LW?ldx=

标准答案：ln3

知识点解析：L融1dx=L超为妙=1水2+刊：=ln3

「l;iycoy：业

8、Jo1+sin1r

2d

标准答案：8

知识点解析：

siru-cosj

1+fin，1+sinbsinx

=fl?：1普工〃=fL1+；出'1*'血2”)

=-yXarctansin'j4

丁+sin、4=

2

9、才(14-coju-)

标准答案：4-71

sin2ycos2-

4_xjbsirrx_.sinzx.

J-f(14-ccscr):I(l+cosjr)^

COS4y

匕的

22fd(f)=4£tan2mr

4(sec21—Ddz=4—”

知识点解析:

10、设f(x)满足等式xr(x)・f(x)=/"一拼,且f(l)=4,则Hf(x)dx=

标准答案：2~8

[/(j)c£r=J/(X)u-1产/'(z)&=/(I)—J，2x—7]业

Jo

=4—1f(jr)dr4-[—(1-x)2d(1—x)

?’4一(八力也一工/T^dz4-j'/Mdr-cod弼

=4-J/(x)cLr—j-♦

知识点解析：于是1加也T一舂

（，一产）d/

cosCr+y）匕

11、设f（x）连续，则八9

/(O)

标准答案：2K

知识点解析：

ja3_p)ck=—-H)d(rJ-?)=KfCu'idut

cos(J--(->»)dr=#€05(3+")•

原式

21r…rzcos(E+〃)

12、微分方程y'-xe-'+i=0的通解为.

标准答案：+(#+c)

由、-+}=(),得门―+*=0,即需+*=・.

令z=y，则需+-z=解得z=。1」如.+。卜〕加=y(yJs4-C)

知识点解析:

所以原方程的通解为

三、解答题(本题共73题，每题1.0分，共73分。)

]3设15[1+%+"f]'=",其中/(幻连续，求生J1+写刈’

标斌答案：

由四[1+]+号]'=对1+”+号]*>'

=日咛」，

得物学=2•于是对I+号『=四{[]+号曲产=出"〃

知识点解析：暂无解析

14、设一高3,求f(x)的间断点并判断其类型.

标准答案：f(x)的间断点为x=k7i(k=0,±1,…)及x=k兀+彳(k=0,±1,...).因为

5/(」)=也就=1,所以x=0为f(x)的可去间断点；因为

lim/(x)=lim=8

宣0taar,所以x=k7i(k=±l,±2,…)为f(x)的第二类间断点；因为

,lim/(x)==lim—=0,所以X=A”十个

Lf\k=O,±1,…)为f(x)的可去间断点.

知识点解析：暂无解析

,_、八件「匕=2,求lim[8sx+]/(x-z)dz]〜

15、设f(x)连续可导，INL0九

标准答案：由Hf(x・t)dtF=x°f(u)Gdu)=J()Xf(u)du

工-*0时,I—ln(l+#)=]一[工一方H-o(x2)j〜写得

lim[co&r+f=limEco&r+[/(u)duT

j»-©Jo

=Km^［l+Ccosz-1)+］

工坊=e.

知识点解析：暂无解析

一S―十刃

16、设f(x)在［0,2］上连续，在(0,2)内二阶可导，且0082X=0,又f(2)=

2月，⑺&,证明：存在年(0,2),使得r©+f«)=o.

由.城3隹

=0,得/(I)=-l

cos

Xlim亚侬+2]=Hm=lim•所以f(D=0.

cos-5-JT--5sin-5-x

标准答案由枳分中值定理得/⑵21/Cr)dz-其中cW口，朗.

由罗尔定理，存

在xoW(c,2)C(1,2),使得F(xo)=O.令(p(x尸e'fXx),则(p(l尸(p(xo)=O,由罗尔

定理，存在乐(1,xo)c(o,2),使得8(9=0，而炉(x)=eX［「(x)+『(x)］且e、#),所

以f©+f汽)=0.

知识点解析：暂无解析

2a—IBQ<]

17、设OVaVb,证明：不带'b-a石

标准答案：

首先证明怨三詈＜春.

W为吗——V—-Ina)—"7』＜0.所以令^P(X)=Inx—Ina—二

"aQ疝向

6。)=0,/(力7号(自+表)=一^^＜。(]＞。).

由尸B-VOa〉。)'而6＞a,所以3⑹〈°.即号*〈珠.

Ai：x2a-ln6-Ina

内征-j-72<—7----

a-rAr0-a令

I2)-IM=1

f(x)=lnx,则存在ge(a,b),使得b-a一7,其中OVaV&Vb,则

1、1、2a2aln6-Ina

》＞了＞了”'所以箝彳v丁丁•

知识点解析：暂无解析

18、求由方程x2+y2-xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小

值.

标准答案：

根据隐函数求导数法，得/=七二红.

3y-x

令丁=步写=0，得y=2r，再将y="代入原方程得上=|，函数值为y=}.

/=3T.3五猊『)(6/_D.将i=:,y=:+=0代人/得

/1=一32〈0.所以”=4为函数的极大值点,且极大值为¥=4.

jr-|O4

知识点解析：暂无解析

19、设f(x)在(0,+8)内连续且单调减少.证明：

/'/(x)dr&Ef(A)&/(1)+1：/(力业.

标准答案：J]n+lf(x)dx412f(x)dx+J23f(X)dx+...+Jnn+lf(X)dx,当XE[1,2]时，

f(x)wf(l),两边积分得J]2f(x)dxWf(l),同理J23f(x)dxgf(2),…，Jnn++(x)dxWf(n),相

加得〕严取心3念1当X曰1,2]时，f(2)0f(x),两边积分得f(2)Wi-f(x)dx,同

理f(3)或3f(x)dx,…，f(n)gn-Jf(x)dx,相加得f(2)+…+f(n)shnf(x)dx,于是

IV

“⑻fn

e＜f(l)+Jif(x)dx.

知识点解析：暂无解析

20、设f(x)在[a,b]上连续且单调减少.证明：当O()kf(x)dx次J(?f(x)dx.

标准答案：Jokf(x)dx-kbf(x)dx=Jokf(x)dx-k[Jokf(x)dx+JiJf(x)dx]=(l-k)Jokf(x)dx-

kVf(x)dx=k(l-k)[篦其中自1日0,k],fe£[k,1].因为的k心心-

kf()1f(x)dx=k(1-k)[f(^i)-f(^2)]>0,故J()kf(x)dxNkJ(Jf(x)dx.

知识点解析：暂无解析

21、设f(x)EC[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f'(x)K),(p(x)是区间[a,b]上的非负

连续函数，且a(p(x)dx=l.证明：Jabf(X)(p(X)dxMJabx(p(X)dx].

标准答案：因为F(x)X),所以有f(x)2f(xo)+「(xo)(x-xo).取xo=ax(p(x)dx,因为

(p(x)>0,所以a(p(x)Wx(p(x)Wb(p(x),又Ja\)(x)dx=l,于是有a4bx(p(x)dx=x()Wb.?巴

XO=Ja%(p(X)dx代入f(x)”(xo)+「(xo)(x-xo)中，再由(p(x)20,得

f(x)(p(x)>f(xo)(p(x)+f(xo)[x(p(x)-xo(p(x)],上述不等式两边再在区间[a,b]上积分,得

Jabf(x)(p(x)dx>f[Jabx(p(x)dx].

知识点解析：暂无解析

..、。（°，°），

/（x.y）X

22＞设1°，（工。）=（0，。）・证明：［,a，y）在点（0,0）处可

亚亚

微，但〃'分在点（0,0）处不连续.

因为物逊1=西吟=。，―=limysin-4-0

标准答案:ey所

以f(x,y)在点(0,0)处对x,y都可偏导，且f\(0,0)=fy(0,0)=0.f(x,y)-f(0,

p"sin斗，其中p=x/x2+ylim—♦=0

0)-fx(0,0)x-fy(0,0)y=P因为…p,所以f(x,y)

在(0,0)处可微.当(x,y)#0,0)时，

”.•12J】"0•12v1

广=Z.rsm3二二-----rmer■■>»-/•=Zysin>------s005ij♦

a”jr-t-y-t-y1t+V"yx2