第11讲、函数的图像

第11讲函数的图像

知识梳理

一、掌握基本初等函数的图像

(1)一次函数；(2)二次函数；(3)反比例函数；(4)指数函数；(5)对数函数；(6)

三角函数.

二、函数图像作法

1、直接画

①确定定义域；②化简解析式：③考察性质：奇偶性(或其他对称性)、单调性、周期

性、凹凸性：④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线(对称轴、渐近线等).

2、图像的变换

(I)平移变换

①函数的图像是把函数y=/(x)的图像沿x轴向左平移〃个单位得

到的;

②函数)，=f(x-a)(a>0)的图像是把函数)，=/(x)的图像沿x轴向右平移。个单位得

到的；

③函数,v=f(x)+a(a>0)的图像是把函数)，=/")的图像沿y轴向上平移。个单位得

到的；

④函数y=fW+a(a>0)的图像是把函数)，=f(x)的图像沿y轴向下平移。个单位得

到的;

(2)对称变换

①函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图像关尸y轴对称；

函数),=f(x)与函数的图像关于x轴对称；

函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称；

②若函数的图像关于直线x=〃对称，则对定义域内的任意工都有

f[a-x)=/(a+x)或/(x)=/(2a-x)(实质上是图像上关于直线x=。对称的两点连线

的中点横坐标为〃，即(a_")+("+x)=a为常数);

2

若函数/(x)的图像关于点(a,〃)对称，则对定义域内的任意x都有

f(x)=2b-f(2a-(a-x)=2b-f(a+A)

③y=|/(x)|的图像是将函数/(刈的图像保留X轴上方的部分不变，将工轴下方的部分

关于X轴对称翻折上来得到的(如图(4)和图(/；))所示

④y='f(kl)的图像是将函数/(X)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像

关于)，轴对称得到函数)，=/(即左边的图像即函数)，=网力是-个偶函数(如图(。)所示).

注：|/(刈的图像先保留f(.v)原来在“轴上方的图像，做出X轴下方的图像关于X轴对

称图形，然后擦去K轴下方的图像得到；而/(国)的图像是先保留了。)在)，轴右方的图像，

擦去)，轴左方的图像，然后做出)，轴右方的图像关于)，轴的对称图形得到.这两变换又叫翻

折变换.

⑤函数y=(x)与y=f(x)的图像关于)，=X对称.

(3)伸缩变换

①y=Af(x)(A>0)的图像，可将)，=f(x)的图像上的每一点的纵坐标伸长(A>1)或缩

短(0vAv1)至IJ原来的A倍得到.

②)，=/(Sf)(q>0)的图像，可将)，=/a)的图像上的每一点的横坐标伸长(0<3<1)或

缩短(。>1)到原来的,倍得到.

(D

【解题方法总结】

(1)若/(〃，十人)=/•一月恒成立，则y=/(x)的图像关丁直线人=，〃对称.

(2)设函数y=/(x)定义在实数集上,则函数与)'=/("-©(〃?>0)的图

象关于直线x=m对称.

(3)若/(a+x)=f(b-x),对任意xcR恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=色产

对称.

（4）函数y=/（a+R）与函数y=/S—x）的图象关于直线工=卷上对称.

（5）函数..y=f（x）..与函数y=f（2a-x）的图象关于直线x=a对称.

（6）函数y=f（x）与函数y=2b-f（2a一x）的图象关于点（a,〃）中心对称.

（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.

必考题型全归纳

题型一：由解析式选图（识图）

【例1】（2024.山东烟台・统考二模）函数y=x（sinx-sin2x）的部分图象大致为（）

【解析】由y=I(x)=Msinx-sin2x),

得/(-%)=-x[sin(-x)-sin(-2x)]=-x(-sinx+sin2,r)=f(x),

所以f（x）为偶函数，故排除BD.

当x=]时，.V=(sin-sin7t)=^>0,排除A.

故选：C.

【对点训练1］（2024•重庆・统考模拟预测）函数.y=；（x-2）21nx2的图像是（）

观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而/（T）=左二y-sin2xH/（x）,

说明/（x）不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.

故选：B

【对点训练3】（2024•全国•模拟预测）函数/（力=3>C；S2”的大致图像为（）

-4|

【答案】B

【解析】因为产,其定义域为R,所以/.力=3个产=/3,

所以“X）为偶函数，排除选项A,D,

又因为/（2）=呼l=3coM,因为44冗寺）,所以cMvO,所以〃2）<0,排除选项

C.

故选:B.

【解题方法总结】

利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选

项，从而筛选出正确答案

题型二：由图象选表达式

【例2】（2024.四川遂宁.统考二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一

般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图像，则该段乐

音对应的函数解析式可以为（）

A.y=sinx+—sin2x+-sin3xB.y=sinx——sin2x——sin3%

23“23

1cle

C.y=smx+-cos2x+-cos3xD.v=cosx+—cos2x+-cos3x

23

【答案】A

【解析】对于A,函数)，=/(%)=sinx+；sin2x+；sin3工，

lilf=-sinx-|sin2x-|sin3x=-f(x),所以函数为奇函数,

4J

又f—=——+-+——=-+--->0,故A正确；

‘⑷22623

对于B,函数y=/(x)=sinx——sin2.v——sin3x,

23

lil/(-v)=-sinx+1sin2x+isin3x=-/(x),所以函数为奇函数,

4J

又d丸也」一旦立」=o,故B错误；

⑷2263232

对于C,函数y=/(%)=sinX+LCOS2X+』COS3X,

23

因为故C错误；

236

对于D,函数y=/(x)=cr)sx+—cos2x+—cos3工，

23

〃°)T+:+?=U/°，故D错误，

236

故选:A.

【对点训练4】（2024.全国•校联考模拟预测）已知函数汽幻在［-2,2］上的图像如图所示,

则f（x）的解析式可能是（）

C./(x)=2.r-ewD./(x)=ln(x2-2|x|+2)-l

【答案】C

【解析】由题图，知函数/(幻的图像关于y轴对称，所以函数/。)是偶函数，故排除A；

对于B,八用=卜:一"一:"22,虽然函数“外为偶函数且在(0』〕上单调递减，在

x+x-2,x<0k2)

(g,2)上单调递增，但/(2)=。，与图像不吻合，排除B；

对于D,因为/a)=ln[(|x|T)2+l]-l=/(r),所以函数/(")是偶函数，但

/(2)=ln2-I<0,与图像不吻合，排除D；

对于C,函数人幻为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分.当xe(。⑵

时，/(幻=2/一^,/V)=4x-ev,

令0(x)=4x-eX,求导，得/'(x)=4-e".当xe(0/n4)时，*'(x)>0,/(x)单调递增，

当xe(ln4,2)时，。’(幻<。，/'(用单调递减，所以/'⑴在x=ln4处取得最大值.

又因为:(0)<0,r(ln4)>0,f\2)>0,所以3%w(01n4),使得/(q)=0,

当xe(0,.%)时，r(x)<0,/(幻单调递减，当xe(%,2)时，f(x)>0,/(x)单调递增，

"2)=8-e2>0与图像吻合.

故选：C.

【对点训练5】(2024.河北.统考模拟预测)已知函数/㈤的部分图象如图所示,则

的解析式可能为()

A./(X)=XCOSK(X+1)B./(X)=(X-1)COS7CV

C./(x)=(x-l)sinxvD.f^x)=^-lx1+x-l

【答案】B

【解析】对于A选项，/(O)=O,A选项错误；

对于C选项，/(0)=0,C选项错误；

对于D选项，尸(%)=3/-4人+1，/'(x)=0有两个不笫的实根，故/(")有两个极值点，

D选项错误.

对于B选项，/(x)=(x-1)cos7tr,/(0)<0；

<।1\

当，&wZ时，cos7Lr>(),x-l<0,此时/(x)<0,

\乙L)

当g，l)，&€Z时，COS7LT<0,X-l<0,此时/(%)>(),

当XC时，COS7L¥<0,X-l>0,此时/(力<0,

\乙)

依次类推可知/(%)函数值有正有负；

显然/(“不单调；

因为当x=；+时/(x)=0,所以“X)有多个零点；

因为〃2)=1J(-2)=—3,所以/⑵工/(-2)J⑵工-〃-2),所以“X)既不是奇函数也

不是偶函数，以上均符合，故B正确.

故选：B.

【对点训练6】(2024•贵州遵义•校考模拟预测)已知函数在［-4,4］上的大致图象如下

所示，则“X)的解析式可能为()

C./W=H-（4-W）D./(力=区与吟

【答案】B

【解析】函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足

f(-x)=|-r|sin(—j-)=-|A|sin—=-/(x),为奇函数，排除D；

乂选项C中函数满足/(2)=4,与图象不符，排除C；

2X71

选项A中函数满足了Q)=3x2x(l+cos丁)二3,与图象不符，排除A,

只有B可选.

故选：B.

【解题方法总结】

1、从定义域值域判断图像位置；

2、从奇偶性判断对称性；

3、从周期性判断循仄往复；

4、从单调性判断变化趋势；

5、从特征点排除错误选项.

题型三：表达式含参数的图象问题

【例3】(2024•全国•高三专题练习)在同一直角坐标系中，函数y=log〃(T),

),=伫且的图象可能是()

【解析】因为函数），=log,（-X）的图象与函数y=log”1的图象关于y轴对称，

所以函数》=log“（T）的图象恒过定点㈠⑼，故选项A、B错误；

当a>1时，函数了二bg/在（0,+oo）上单调递增，所以函数），=10g”（-X）在（f,0）上单调

递减，

又）,=伫1（6>1）在（_8⑼和（0,+8）上单调递减，故选项D错误，选项C正确.

故选：C.

【对点训练7】（2024.山东滨州.统考二模）函数〃％）=3+C。.的图象如图所示,则

ax~-bx+c

（）

A.〃>0,b=0,c<0B.”<0,h=0,c<0

C.a<0,b<0,c=0D.a>0,/?=0»c>0

【答案】A

【解析】由图象观察可得函数图象关于旷轴对称，即函数为偶函数,

所以F(T)=：,，=/(力得:b=0,故C错误；

ax~+bx+c

4

由图象可知/(O)=-<OncyO,故D错误；

C

因为定义域不连续，所以oi'一bx+c=o有两个根可得△=〃-4ac>0，即。、。异号，

。〉0,即B错误，A正确.

故选：A

【对点训练8】(2024•全国•高三专题练习)已知函数)=k)g〃(x+3(小人为常数，其中

。〉0且awl)的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.a=0.5,b=2B.a=2,b=2

C.a=0.5»b=0.5D.a=2,b-0.5

【答案】D

【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，

所以々>1，排除A,C；

又因为函数过点(050),

所以"0.5=1,解得b=0.5.

故选：D

【对点训练9】(2024.全国•高三专题练习)若函数=—的部分图象如图所

ax~+bx+c

示，则f(5)=()

1

C.D.

6n

【答案】A

【解析】由图象知，以+c=0的两根为2,4,且过点(3,1),

2

9。+3匕+c

所以2x4，解得。=-2,〃=12,c=-16,

a

2c+4/=—b

a

所以/(”二一21+⑵=

所以八5)=

-25+30-83

故选:A

【对点训练10】(2024•全国•高三专题练习)在同一百角坐标系中，函数

【答案】D

【解析】本题通过讨论。的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，

结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

当0<«<1时，函数y="过定点(0,1)且单调递减，则函数y=［过定点(0,1)且单调递增，

a

函数1y=log”1+g)过定点(；,0)且单调递减，D选项符合；当时，函数y="过定点

[+£|过定点

(0,1)且单调递增，则函数过定点(0,1)且单调递减，函数y=iog“

(；,o)且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

竺回1(凡。)在[-2兀

【对点训练11】(多选题)(2024.全国.高三专题练习)函数〃力=

sinx

【答案】ABC

【解析】①当〃=0时，〃同=皿，"—)=-幽=-/(力，函数〃力为奇函数，由

sinxsinx

x-0时/3)-8,x=±l时/*)=。等性质可知A选项符合题意；

②当a<0时，令g(x)=ln|x|,〃(x)=-ar,作出两函数的大致图象，

y

由图象可知在（-1,0）内必有一交点，记横坐标为小,此时/（%0）=0,故排除D选项;

当一2兀时，g(x)-/?(x)>0,Xo<x<O时，^(A)-h(x)<0,

若在（0,2兀）内无交点，则g。）一版幻＜0在（0,2兀）恒成立，则/3）图象如C选项所示，故C

选项符合题意；

若在（0,2兀）内有两交点，同理得B选项符合题意.

故选：ABC.

【解题方法总结】

根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数基的运算性质，二次函数的

图象与性质，以及复:合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答

问题的能力，以及分类讨论思想的应用.

题型四：函数图象应用题

【例4】（2024.北京•高三专题练习）高为〃、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现

底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为〃时水的体积为叫则函数u=的

大致图像是

【答案】B

【解析】根据题意知，函数的自变量为水深力，函数值为鱼缸中水的体积，所以当〃=0

时，体积i，=0,所以函数图像过原点，故排除A、C；

再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化

速度是先慢后快再慢的，故选B.

【对点训练12]（2024.四川成都.高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图为某无人

机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度V"）（单位：米/分钟）与时间x（单位：分

钟）的关系.若定义“速度差函数"（x）为无人机在时间段[0,刈内的最大速度与最小速度的

差，则可可的图像为（）

40

【解析】由题意可得,当*e[0,6]时,无人机做匀加速运动，V（X）=60+yX,“速度差函

40

数，，心）二丁：

当"46』0]时,，无人机做匀速运动，V(x)=140,“速度差函数”心)=80；

当xe[10,⑵时，无人机做匀加速运动，V(x)=40+10xf"速度差函数"(x)=-20+10.r；

当xe[12,15]时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”")=100,结合选项C满足“速度差

函数”解析式，

故选：C.

【对点训练13](2024.湖南长沙.高三长沙一中校考阶段练习)青花瓷，又称白地青花变，

常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速

注水，则水的高度与时间x的函数图像大致是()

【解析】由图可知该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增

高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度

越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.

故选：c

【对点训练14］（2024.全国•百三专题练习）列车从A地出发直达500km外的3地，途中要

经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离

（单位：km）与行驶时间，（单位：h）的函数图象为（）

【解析】由题可知列车的运行速度为雪川仙皿伽,

.1.列车到达C地的时间为黑=3h,

1UvJ

故当，=3时，＞'=0.

故选：C.

【对点训练15】（2024.全国•高三专题练习）如图，正△A4C的边长为2,点。为边A3的

22

中点，点P沿着边AC，运动到点8,记/人函数/（x）=\PB\-\PA\t则y=/

（x）的图象大致为（）

【解析】根据题意，/<x）=W-|M|2,ZADP=x.

在区间（0,y）上，P在边AC上，\PB\>\PA\,则/'（X）>0,排除C；

在区间（^，兀）上，P在边BC上，\PB\<\PA\,则/（x）<0,排除B,

又由当X/+X2』时，有/（内）=-/（4）,f（X）的图象关于点后，（））对称，排除。，

故选：A

【对点训练16】（2024•全国•高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该

容器盛水的高度〃关于注水时间/的函数图象大致是（）

【解析】设圆锥PO底面圆半径，，高，，注水时间为/时水面与轴PO交于点。，水面半

径=此时水面高度?。=肌如图：

由垂直于圆锥轴的截面性质知‘冷,即则注入水的体积为

V=-7rx2h=-7r[--/?）2•h=-^-3--/r>

33H3H2

令水匀速注入的速度为u,则注水时间为，时的水的体积为V=w,

于是得=〃、也W=〃=分.5,

3H2兀户V仃2

即停

而二”/都是常数,是常数,

所以盛水的高度。与注水时间/的函数关系式是〃=借£•不,/rrH

0<r<

3v

〃，=J竺L_L/：>O,函数图象是曲线且是上升的，随，值的增加，函数力值增加的幅度

V房产3

减小，即图象是先陡再缓,

A选项的图象与其图象大致一样，B,C,D三个选项与其图象都不同.

故选：A

【解题方法总结】

（I）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

从函数的单调性,判断图象的变化趋势;

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性:

（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

题型五：函数图象的变换

【例5】（2024.广西玉林.统考模拟预测）已知图1对应的函数为），=/（“，则图2对应的

函数是（）

A.y=f(-\x\)B,j=/(-A)C..y=/(|x|)D.y=-/(-^)

【答案】A

【解析】根据函数图象知，当X40时，所求函数图象与已知函数相同,

当x>0时，所求函数图象与xvO时图象关于>轴对称,

即所求函数为偶函数且x<()时与)，=/(“相同，故BD不符合要求,

当XKO时，y=/(-|x|)=/(x),y=/(|x|)=/(-x),故A正确，C错误.

故选：A.

【对点训练17】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(X)的图象的一部分如下左图，则

八一4丫

C.y=f(\-2x)D.y=f\^—^-

【答案】C

【解析】

(£k->-x®T2X

y=/(x)ty=f(-x)ty=/(1-%)->y=f(\-2x)

①关于），轴对■称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半

故选：C.

-2x(-1<x<0),

【对点训练18】（2024.全国•高三专题练习）已知函数/（力=4(0<E),,则下列图

y=〃x-1）的图象-x）的图象

y=[/U）l的图象片/也|）的图象

【答案】D

【解析】当—IWXWO时，/(力=-2x,表示一条线段，且线段经过(-1,2)和(0,0)两点.

当0cxe时，/(力二4，表示一段曲线.函数/(1)的图象如图所示.

/(工-1)的图象可由/(x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；/(-力的图象可

由的图象关于丁轴对称后得到，故B正确；由于/(x)的值域为[0,2],故

/(x)=|/(x)|,故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中/(⑷的

图象不正确.

故选：D.

【对点训练19】(2024•全国•高三专题练习)函数点x)=ln(l-x)向右平移1个单位，再向

上平移2个单位的大致图像为()

【解析】先作出函数〃£l=ln(l-x)的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位

得解.

如图所示:

2

f(x)=ln(1-x)

故答案为c

【解题方法总结】

熟悉函数三种变换：U）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.

题型六：函数图像的综合应用

【例6】（2024.上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）若关于x的方程恰有两个

不同的实数解，则实数.

【答案】e

【解析】

如图，显然。〉0.

当xWO时，由单调性得，方程已，=-也有且仅有一•解.

因此当x>0时，方程也恰有一解.

即尸⑪为函数y=e，的切线,

y=ev,

令。得x=In4,

故当x=Ina时，eA=ax，

得eln,/=a\na，即a=alna

从而。=c.

故答案为：e

T+〃

【对点训练20】(2024.天津和平.统考三模)已知函数”"二—(X。。)，若关于x的方

x-a

程/(/(力)=2恰有三个不相等的实数解，则实数。的取值集合为.

【答案】m

【解析】/(x)=|—|=|l+—1(x^6/),

x-ax-a

当a=0时，/(x)=1(x^0),

此时/(/(汇))=2无解，不满足题意；

当〃<0时，设f=/(x),

则>'=fit)与y=2的图象大致如下，

则/(/)=2对应的2个根为6<。%<0，

此时方程/(-v)=乙,/(x)=%均无解,

即方程/(/(工))=2无解，不满足题意:

当。〉0时，设〃?=/(幻，则)=/(⑼与、=2的图象大致如下,

则则/（6）=2对应的2个根为0<叫<。<叫，

若方程/（/（耳）=2恰有三个不相等的实数解，

则y=吗,.v=吗与函数了=/a）的图象共有3个不同的交点，

①当0<4<1时，丁=町与函数八幻的图象共有2个交点，如图所示,

所以），=,%与函数/（X）的图象只有1个交点，

则/%=1,所以P=2,解得。=入

②当4=1时，），=町与函数/⑴的图象共有2个交点,

所以。=也与函数/（X）的图象只有1个交点，

则叫=1,与矛盾，不合题意;

③当4>1时，），二也与函数/（X）的图象共有2个交点，如图所示,

所以），=叫与函数/（X）的图象只有1个交点,

\+a

则班=1,所以=2,解得〃=3；

综上，〃的取值集合为七3卜

故答案为:｛拉.

【对点训练21】(2024.