考研数学 级数、物理应用等专题

Part11无穷级数（数一、数三）

1.判敛法

①正项级数

a.收敛原则

止顶级数震…％收就的充分必要条件是它的部分和敷列｛&府界.

b.比较判别法

两个正项级数琮L%和E荒"n,若从某一璃起*4%成立，则

若£*,少收敛T£工,”.收敛（大敏敛）

若£二,6发敷T筌〉外发1»（小IBH大散）

C.比较判别法的极限形式

两个正项级数和E二iVn,VnH0,且）叫；=A,

若A=。，则E：・r”收敛收敛

若A=+8,则E；.1rti发散T

若0VA<+8,则和同敛散

d.比值判敛法（达朗贝尔判别法）

正项级数3；.1%,目1g产=©

IW®3・

若P<1T£上,3收敛

若P>1TE二16发敝

若p=1,方法失效

e.根值判别法（柯西判别法）

正项级数U%,nVu；=p

若P<1T比ZUn收敛

若p>1E：.16发散

若P=i,方法失效

②交错级数q.，1尸—%>0

莱布尼茨判别法：llIHUn=0且UnZu->级数收敛

nTOEn+1

③任意项£：」八级数，%符号无限制

a.皿嬷皿

b.知牛叫：E"|八|发散，EJMWS

2.性质(整理自：学长小谭)

①收敛级数的线性性质

给定两个收敛级数氏.2・，E11%,)»任始常数％b,E=4au・+b%)tMML3

8BB

W(aUn+bvn)=a^un4-b〉"

noln»lnol

②敛散性的稳定性

a.级数的m项后余项

在级数£；.1U“中去掉前m项，得H.1'=Urn”+U„|42♦…+Um4fc+

b.懒0r.i4收敛—其m项后余皿益…1/收敛

m项后余项收敛一级数£：/“■收敛

即，改变级数的任意有限二页，不会改变该级数的敛散性。

③收敛的必'要条件

KLlUn收敛-iHPUn=0

④收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛。

推论：若加括号后得到的新级数发散，则原级数必发散(逆否命题)

若加括号后得到的新级数收敛，则不能判断原级数必收敛

3.常见级数

①等匕呦数

1收敛P>1

②P级数亡

乙1.1即{发散

PR

[nmP>I

③广义P级数sr.2(发耽p<1

n(ln«X

绝对收敛

SU-1)23P>1

@交错P级数

条件收敛，0<psi

4.常用结论（选择题）

①收敛TEJMI不定（反例：出】（-1）己加»，但工，发敏）

②［；二」「攵;7・上=,一小。不定（£«n±）

③2：；ru“收敛不定（反例：-D”上收敛，但E：”点如）

£Ml（〃n+"n”收敛.收敛

④»LUn收敛

”•式6-〃”）收敛，收敛

2ra«l

⑤匕」7a»—"zu/定(KW：(%+”2)+(“3+”4)+…

2H-1

{=1T+LT+…收敛，但1+2+L+L+…发散)

■4A・4

。时，・收敛（师

6N1?1”，1q=0,un

⑥£益,/<»

,%任意，EJu,不定（反例：收敛,但Ed；发放）

）

(lln20时,£na|un^n*l收敛（如冲4

汇■1％小『不定（反例：工力1（-1尸5收敛

但E，lUnU"】=一：片发散）

、F«\・♦■J

u

®E，1n收敛T{G任意，U2n,S«.lU2n-1不定（反例：1--…

（收敛，但M奇数项和与偶数项正都发嬴

V

lujlftf1-1々,|/”顺；£2,八发散-231山»«

⑩。IY收藏争四林噬(|^l<7(ui^^))

⑪设a,b,c为非零常数，且a%+bvn+cwn=0,则在鼻Ur,£J如,北・i恤中只要

有两个级数收敛，另一个必收敛

•收敛T£；■,(%±%)收敛

既■此

发散，E3％发散t(m-0,v]N6+vn3

Unj£/'±Vn)不定

酰Jug,收敛T

(收敛(册'

un>0zvn>0,W%VnVn<"j"

吧"』出回|=

%任意,Vn>0,V|un|vn收敛(l«n0)

n-«x

{Un任意,Vn任意，WunVn不定

R«l

5.事级数概念

①幕级数：函数项级数£”.]Un(X)的一般项l%(X)是n次寻函数。

2

-O乡式:匕:JX-%)"=a€+a1(x-x0)fa,(x-%)♦…♦o11ct-%)■♦…

x=0:2

标)(o)^BI)aRx"=a0+a,x+a2x♦0nx"+…

②收敛点与发散点

给定X。€1,有221%。0)收敛，则Xo为幕级数£：1un(X)的收敛点

给定XoEI,有%(Xo)发散，则Xo为幕级数£：]Un(x)的发散点

③收敛域

函数项级数，1.1un(x)的所有收敛点集合

6.阿贝尔定理

幕级数£在加-X/X|・o斑收M对于满足|x|<Ml的一切X,惠吸数绝对

收敛

幕级数在点X=X2(X2工0)&发敝，对于满足川<|x2|fl9-fflx,■级①SHE

7.收敛域的求法

对于"eq/：

(；P*°

①若LmI、+”=p,则收敛半径R={+8p=0

心an，v

{0,p=+oo

②开区间(-R,R)是收敛区间

③单独考察x=±R处的敛散性，求其敛散性，得收敛域。

对于缺项靠级数Eun(x)

①加绝对值，X|un(x)|

②用正项级数的比，直或根值判别

令110】广：+：(?|<1或lim<1，求得收敛区间(a,b)

u

n—Bn(XJHTCK

③单独考察X=a,X=b处的敛散性，求其敛散性，得收敛域。

8.鬲级数运算法则

若嘉级数亡温4"和工儿/的收敛半径分别为心和心(心工RJ

①k£二aN=S"okanx\|x|<Raxk为常数

nn

②£：■()anx±bnx=£：.0(an±bn)x\|x|<R=min{Ra,Rb)

9.鬲级数的和工教$门)性质

①函数S(x)在其收敛域I上连续

②S(x)在其收敛域I上可积，且有逐项积分公式

nn+1

/S(t)dt=J=^anJtdt=x(xeI)

积分后得到的幕级数与原级数有相同的收敛半径，但收敛域可能扩大。

③S(x)在其收敛区间(-R,R)内可导，且有逐项求导公式

/8，86

n

S'(x)=I^anxn)=W(anx)'=2nanxn-i(|x|<R)

n*<Jn«l

逐项求导后所得到的幕级数与原级数有相同的收敛半径，但收敛域可能缩小

10.重要展开式(泰勒展开)

_oox112n

①e'==1+x+Fxi+…+7xi+…，―<x<4-oo.

②士=£二o(-l)nxn=1-X+X2-X3+-+(-l)nXn+-,-l<X<1.

③==Xn=1+X+x2+…+x*1+…,-1<x<1.

④In(1+X)=—=X—彳++—=+…+(―1>-1—+•••,—1<x<1.

®sinx=S：.0(-ir

Y'寸6Y，VOI

3户5「，+…+(一4…卢…，—<+8

⑥3X=2")n羡!

=14—X*+,Xs—yr+,…+,(,―1)'x2+.…，—8</x<4、-oo.

2!丁4!61T(2n)I'

lxe(-u)Sa<-l

⑦(1+x)a=1+ax+也二生2+...+典12土竺勿+...，1义£(-1.1]当_]<aVO

xmi也。

右端x的取值范围表示收敛域

Part12应用专题(数一、数二)

1.一元函数微分学应用

①物理应用：速度v=lini^=sz(t)

加速度a(t)=lim孚=s〃(t)

AJ0at

②相关变化率：若y=f(x),｛；：；［；)均可导,贝吧=之£=，(噫

在这里与'由F(x)相关联，称这种相互关联的变化率为相关变化率

整理自：学长小谭

③几何应用

曲线y=y(x)在点(x,y(x))处的曲率公式:

k=M3

[1+(/)平

曲率半径:

2.一元函数积分学应用(整理自：学长小谭)

物理应用：

①变力沿直线做功W=J>(x)dx

②抽水做功W=pgJ*xA(x)dxx为位移，A(x)为水平截面面积

③水压P=pgj*x[f(x)-h(x)]dxX为水深，f(x)-h(x)是平板宽度

几何应用：

④形心

区域D；{(x,y)|O<y<f(x),a<x<b],D的形心坐标x,y

xdo

x=ffndx£^xf(x)dx

,■=.dxf⑴dy=*(x)dx

yj"d。Cdxgy""

儿d。=rdx^Wdy=*(x)dx

⑤弧长

今s=/Vl+[y'(x)]2dx

y=y(x)(a<x<