考研：求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法

1.定义法

:-N定义：设｛a.｝为数列，a为定数，若对任给的正数：，总存在正.N,使得当..N时,

有a.-a..；：

r,则称数列黑;二黑:::

11

1•

当一时，令b葛，则"，由上易知：”呻1ima

limbTn：：

1

综上，lima"=1,其中a>0.

7.li..

例2.求：—.Mn!

n

解：变式:7"_7777777.71T\..7—0

n!12789n—1n7!n6!nn!6!n

柯西收敛准则：数列｛aj收敛的充要条件是:一；・0,T正整数N,使得当n、m•N时，总

2•利用柯西收敛准则

布|an-an1成立.

例3•证明:数列X.八"当（「才'2.3,）为收敛数列•口±

•••lim1=0.f

0,N_L则当n.N时，有Z__Q|一=」n!

A，In!16!n

、丁vvsin（m勺）一

UL：An-An=9n.

当n・m・N时，有<€

由柯西收敛准则，数列｛X,｝收敛.

例4.(有界变差数列收敛定理)若数列｛J满足条件：-%-x,|M

(n=1,2,),则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.

=0,y“二X“一X-X""Xv-X-

那么｛yn｝单调递增，由已知可知：｛yn｝有界，故｛%｝收敛，

从而0.T正整数N,使得当....N时，有y.-丫.：：：；；

此即Xn-Xm_Xn-XnJ”|Xn_L7"lXm1-Xm|八；由柯西收敛准则,数列｛X,｝收敛.

注：柯西收敛准则把：一N定义中的an与a的关系换成了an与am的关系，其优点在于无需借用数

列以外的数a,只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.

3•运用单调有界定理

单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.

例5•证明：数列xn=Ja+Ja+''描(n个根式，a>0,n=1,2,11|)极限存在，并求l「Xn•证:

由假设知Xn=a-Xnl：①

用数学归纳法可证：Xn1X,「N:②

此即证｛X,｝是单调递增的.

事实上，｛Xn)单调递增有上界，从而lim'存在，对①式两边取极限得：1二

解得:1」।如和|/一…(舍负)；.・.limX」।如.

22F2

4.利用迫敛性准则(即两边夹法)

alC乞b，则数列｛CJ收敛，且Limcn=a.

例6.求：…2202n、

郭n~+n勺n"+2n~+n+n)

....12小“丘

解：id：Xn备？■生,则：

n,

卫jCT从而lim单』--in吵匕

2(n②)2(n51)“一斗2(n2n)2r:2(nn1)

・••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.

注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.

5•利用定积分的定义计算极限

黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a,b］上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数

g>0，总存在某一正数5,使得对［a,b］的任意分割T,在其上任意选取的

点集｛©｝,1XJ,x］,

只要一就有送f国)织一J£■则称函数f(x)在［a,b］上(黎曼)可积，数J为f(x)在［a,

b］

上的定积分，记作jf(x)dx・

lim{(n!)xn-(2n!J.

n+11n+2)

解：原式=n

n

=exp”li琴瓦In[I+.L)卜exp(jln(l+x)dx)=exp⑵夕_】

.nz

sin—

例8.求+—Q-

n1n+1

例7.求：

n

注：数列极限为“有无穷多项无穷小

的和的数列极限，巳每项的形式很规范”这•类型问题时，可以考虑能否将步限右•作是、个特殊的函数定积分

解：因为:的另号:部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，呦醉命运用迫敛性准则等方

..儿—・.2儿—.n儿

sin——sin

n1二二2二n二

又：吗・nn一=1im一■----(sin—sin一■■■-sin-)

.•儿I.-Z儿IL*rm

sinsinsin一

lim

%J

sin-sin

同理:

n

.nn

sin—sin

一2

由迫敛性,得:.n

n+1nn+工兀

4n

6•利用(海涅)归结原则求数列极限

(x)=A=对任何人必(n…)，有"叮(Xn)=A

例9•求：li扈口

解：lim■=lim学

1

1nTo

1n

例10•计算:lim

1"扛

1.n1.n

解：一方面,(『(nr')；

2):::2(1)>

D1J]T)心_1一(1一)5-f-n

翻前I(11)=2,3,…)，”

则：取nXn—1

9=[im(l•啤)]im(li)…lim(l”厂1加(1J)x：

由迫敛性，得：lim(l-1-4)n=e・

i:nn

注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可枳等优良性质，有时我们可以

借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决.

7•利用施托尔茨(Stolz)定理求数列极限

stolz定理1:(_)型：若｛yn)是严格递增的正无穷大数列，它与数列

｛Xn｝一起满足：

□0

x二擀1,则有1J叹擀1,其中1为有限数，或；，或一

stolz定理2：(0)型：若｛yn｝是严格递减的趋向于零的数列，n-卜

时，Xn—；0且

0

li...X.=],乍2P加：小：

则有愠,p.(P"N)•

limlP2P1nPRim(nP11)PPl,lim心「

rnpl，z:(nl)p_npn]pl)np_(P(i)PP1

注：本IS亦Mth方法五(印定根分定义)求制,也较为饰便.此处略.

'TnC:

Sn,求：HmSn,

解：令y=n2,则｛yj单调递增数列，于是由定理2用:

n+

"黑k+1

EInC.7InCnk-7(n-1)In(nyInk

limS=lim—jt

n2

Yn=lim二22,=lim

2n-1=1遍-

(v\—n

.2n1n

(n七Jln(n+1)—nInn-ln(n

+1)-limln()

2n1=lim:

注：Stolz定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz定理有很大的优

越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita)法则.

8.利用级数求和求数列极限

由于数列与级数在形式上的统一性;有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级

数求和的知识使问题得到解决.

12

例13.求：lim(21),(a>1).

1iman1im1,

1od

n

・••此级数是收敛的.令S(x)nx二人'nx'l再令=7nxnJ,

n±

x::X1

nf（X）

of(t)dtont'dtf-；

n±(1

解：令x=-,则|x|:1,考虑级数：Vnxn

而S(x)二xf(x)2;=S(a」)

因此，原式

(1-X)

9.利用级数收敛性判断极限存在

由于级数与数列在形式上可以再互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系,

因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.

例14.设焉0,X：一（nrO,1,2,）,证明：数列｛X：）收

敛，并求极限

2+X:XI0(>r(j1t>,❖f(x'22xC),(x0),

证：由x0・0，可得:

2(1f)

=x:1,x:0,(n=0,1.2,),

oo

f'(©(X“-41

人一Xnl2

Q0

所以，级数“人收敛，从而

n£壬（Xn牛-X0）收敛.

n_0

牛一Xk）=Xn牛叮臂.存在，二

令S

=E一人，：Xn丰M1u£j（存在）;

对式子：X」=2（1+X）,两边同时取极限:=2（1知），

2*2+T

|或I=-J2(舍负),二lim人口2.

11与

、11i

例15.证明：lim(1Inn)存在.(此极限值称为Euler常数)

iiii

证：设an=i+-+---------Inn,贝Ua*-a*.L=-[inn-In(n-i)]；

23

1.

所以a„—a-_L=一

n(n-1+0)In-1)*

oc“

因为J收敛，由比较判别法知:心a“-也收敛,

=/h—1、2n士

11

所以Lm®存在，即linTVi/Inn)存

在.n

可得：Inn—ln(n—1)(0:::小1),

n-1+6

利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限.

10•利用幕级数求极限

例16•设sinx=sinx,sinx二sin(sinn±x)(n=2,

3,),若sinx0,求：

解：对于固定的x,当n一♦:时，单调趋于无穷，由stolz公式,

有:

sinnx]

nn.1-1=lim

limnsinnx=limlim—.11

sin门xsin„{xsinnx

22_L

1tsint

=1imlim22lim一

“士_*g_M。t~(t2_lt4Q(t.))

sintt3

t1—t°o(tft)1—t20(t~)

=lim3lim33.

3tovt)3o(i)

ii•利用微分中值定理求极限

拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,

其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用.

、aa

例仃♦求：limn2(arctanarctan),(a=0).

11二nn1

解：设f(x)=arctanx,在［—a,a］上应用拉格朗日中值定理，n+1n

得：吩…(治)—吟话)，启，

故当2知，Jo,可知：原式占融2启法=a.

12•巧用无穷小数列求数列极限

若吗X一则1可作“变量”替换：令\=a%,其中(M)是一个无穷小数列.

定理1：若数列｛:J为无穷小数列，则数列｛:J也为无穷小数列，反之亦成立.

定理2:若数列｛：“｝为无穷小数列，则数列户-------A"｝也为无穷小数列.

n

推论1：设数列｛:“｝为无穷小数列，则数列Qu*—十｝也为无穷小数列.

n

例18.(算术平均收敛公式)设limX'a,求极限lim__X2-Xn

解：由HQXn=a，作“变量”代换，令人，其中｛8｝是一无穷小数列；

由定理2的结论有：恤儿X2£=恤@匚)0(a")

n_v:nnF:n

=b

例19.设l]m_Xn=a,求极限

解：由ln"Xn=a,1酸yn=b:作“变量”代换,

令Xn=a：：匕n,y=b-n,其中{>u},都是无穷小数列，

故limxy冷％1~—Xn%_lim(a叱[1)(b■:n)(a叱:n)(b:1)

n

Timab-a

•xl

从而结合上述推论1有:询，（n「：），

再根据定理1,即有：二「

又由定理2,可知：a,-—s0,b■——?0(nT°o)；

注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用

有效的方法•用这种方法求某类数列的极限是极为方便的.

13•利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限

定理:设函数f（x）、g（x）在.二0

的某个领域有意义，g（X....1im

Jj凶=1,且当n）::时，

g（X）

例20•求极限li

解：令f(x)=31X-1,g(x)x,当x—；0吐

由定R1・行：(31J-l>=1M

例21•求：l]m1|(1•—a2),(a为非零常数).

ln(lLa3)；令f(x)=1n(1x),当0时，ln(lx)~x,n

ni21

.Ii"l[_(l+ya2)=exp(§a2).

解:原式=expn

33n(n212

由定理1,得：l]m二In(1La)响二/a=lim~

_--■a；

注：我们知道，当xC.U时，函数sinx,tanx,arcsin):，arctan

x,exF1,In(l^x)都x与等价，倘若

熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的f(x)的关系，把求某些函数列极限问题转化为

求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果.

14•利用压缩映射原理求数列极限

定义1:设f(x)在［a,b］上有定义，方程f(x)=乂在［a,b］上的解称为f(x)在［a,b］上的不动点.

则称f(x)是［a,b］上的一个压缩映射.

压缩映射原理：设称f(x)是［a,b］上的一个压缩映射且人：=［a,b］,人=f(xn),对-n：=N,

有x.［a,b］,则称f(x)在［a,b］上存在唯一的不动点

a卜>:2

例22•设人二一，

十亍(OZ),n弋…，求

2

解：考察函数f(x'ax•二[0,,a],

222

laaX”a］,「(x)；

易见对一X•［0,--］,有：人।二---=f区)，石二一•［0,22

所以，f(x)是压缩的，由压缩映射原理，数列{xj收敛.

a1-pa

设勺呀之,则c是在【°,的解,解得C9-心,即愠“5一・

1

例23•证明：数列=aj.aJ-(n个根式，,19■■■uFraZz/r竹Hmxn

a>一,n-1,2,■■■)极限存在，并f

解：易知：Xn=a*XnJ,

考察函数：f(x)=Ja+x,xE[0,+°0)且在[0,+°o)上有：f(x)=-f<-<1,

2Ja+xa

因此，f(x)在[0,・：：)上是压缩的：%=a-[0,-—x.f(xn),

rfan；缜岫阳■百川W27il【V】的勒R七班.v-£-自出_v的版

n二2

本题也可通过方法三(单调有界定理)解得，此处略.

注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分笥单的证明稳函数存在定理、

微分方程解的存在性定理,特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列

极限问题得到简便快速的解决.

15•利用矩阵求解一类数列的极限

⑴若数列的递推公式形如：px,1qxn2且已知xO>xl,其中p、q为常数且p=0,

q=0,n=2,3,■■■;

解：可将递推公式写成矩阵形式，则有a□衬_L

仔)，

[X,±j1*2)V10)IX))

n=2,3,■■■，从而可利用线性代数知识求出Xn的

表达式，并进一步求出11人・

ax+h

(2)若数列的递推公式形如：xn=一咚-且已知x,其中c=0

且ad"be,n=1,2,

解法1：令ex-d=独：则xJ(")，y。

1

y-cyn2

从而有：！(y「町(进。上科

'ynr

cx"+d

整理得：y..=(ad)y„±ac-adMJ,再由(1)可以求解.

解法2:设与关系式X*对应的矩阵为Ab由关系式X.

oXf.dbJ

逐次递推，有人其对应的矩阵为二

CX+d..&J

利用数学归纳法易证得B二A",通过计算A"可求出人的表达式，并进一步求出Limx

例24•证明：满足递推公式xnl.=・（1--）人_1（0：1）的任何实勰月渺4个极限,

并求出以：〉X）及X表示的极限.