统计学大题资料(1-3)

一,根据以下数据，分别计算：算术平均数，中位数，众数，标准差。

抽取零售企业105家得销售收入如下表:

月销售额(万元)分销店(个)组中值

40以下1530

40—601950

Me60—80Mo2_6_70

80—1002090

100—12014110

120以上11130

解:

先求出组中值，如上表所示。

直接按计算器，可得:算术平均数=76、09

标准差二30、65

中位数=60+{(105/2)-34/26)*20=74、23

众数=60+{(26-19)/(26-19)+(26—20)}*20=70、77

附:计算器按法:开机—mode—>2—>shift—>mode->1—>=—>

输入数据(30shift,15M+50shift,19M+……)7shift-2

一计算器即显示各个指标，1为平均数,2为总体标准差,3为样本标准差

2,区间估计

求置信区间得方法与步骤:

第一步根据中心极限定理,构造一个含未知参数得分布

第二步对给定得置信度,1—a查表得到标准分z“2

第三步利用不等式变形,求出未知参数l-oc置信区间、

给定置信度1-a

就有:总体均值A的置信区间为:

〃：工士Z。-一7b“Zj

二,总体均值得区间估计

①正态总体，方差已知,（大、小）样本

例1,某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取9件，测得其平均长度为21>4

mmo已知总体标准差s=0、15mm，试建立该种零件平均长度得置信区间，给定置信水平为0、

95o

解:已知X-N(m,0、15,'x=2、14,n=9,l-a=0、95,4/2=1、96

总体均值m得置信区间为

21.4-1.96贤,21.4+1.96器)=(21.302,21.498)

f2言’》*）二、

结论：我们可以95%得概率保证该种零件得平均长度在21、302〜21、498mm间。

当『5%时，需要修正,":卜士4.御钙

例2,某企业生产某种产品得工人有1000人,某日采用非重复抽样抽取100人调查她们

得当日产量，样本人均产量为35件，如果总体产量得标准差为4、5件，试以95、45%得置信度

估计平均产量得抽样极限误差和置信区间。

B^I:N=1000,n=100>30

—=10%>5%

N

元=35,4.5,1—。=95.45%

求：（M

（2）〃

解:由1一。=95.45%知Z。=2

N-n

（1）A-Z-M——

TiaVN—l

_4.511000-100

=7100XV1000-1

=0.86（件）

⑵〃:（x±Aj=（35±0.86）=（34.14,35.86）

②正态总体,大样本，当方差未知时,以样本方差替代即可

③总体比例得区间估计

大样本：(元=p,s?=pq)

重复抽样VS不重复抽样：

例:某企业在一项关于职工流动原因得研究中，从该企业前职工得总体中随机选取了200

人组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说她们离开该企业就就是由于同管理人员不

能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业得人员得真正比例构造95%得置信区间。

解:已知77=200,力=0、7,

户0、950/<^1、96

科子

=0.7±1.96及正叵

V200

(0.636,0.764)

结论:我们可以95%得概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开得比例

在63、6%〜76、4%之间。

1—aN三

68、26%1

80%1、28

90%1、645

95%1、96

95、45%2

99%2、58

99、73%3

④T分布:正态总体、当样本容量nV30,总体标准差。未知时,用样本标准差S代替。

自由度为(n・l)置信区间为：x±t

例:某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得每袋重量(单位:克)分别为789、780、794、

762、802、813、770、785、810、806,如果袋装重量服从正态分布，要求以95%得把握程度,

估计这批食品得平均每袋重量得区间范围及其允许谖差。

—.789+780+…+806

己知：x==----------------=791.1

n10

型型=17.136

s=

10-1

1-«=95%

求：(M

⑵〃

解:由1-。=95%知

t=r=2.2622

多,T竿005(g)

•sc17.136

=t—产=2.2622x—j=-

、S"T)&Vio

=12.26(克)

;u:(x±AJ)=(791.1±12.26)

=(778.84,803.36)

三，样本容量得计算

估计总体均值时样本容量得确定：

①根据均值区间估计公式可得样本容量n为“0=4^-

②根据比例区间估计公式可得样本容量/?为n=Z也；］一〃）（若总体比例p未知时，可用

样本比例来代替）

例:某超级市场欲估计每个顾客平均每次购物得金额，根据过去得经验,标准差大约为160

无现要求以95%得置信度估计每个顾客得购物金额，并要求允许误差不超过20元，应抽多少

顾客作样本?

已知I:cr=160.A*=20］一a=0.95

求：〃

解:由1-a=0.95矢llZq=1.96

1.96x160

=246

20

总体方差未知时样本容量得确定

例1,某品牌电脑公司,准备将电脑销售市场转入拉美地区，事先派出有关人员到该地区查

询资料，以便估计一下该地区有电脑得家庭所占得比例。公司希望这一比例得估计允许误差不

超过0、05,且置信度为95%。问:要抽取多大容量得样本?(事先对总体一无所知)。

解：已知D二0、053二0、05,£加=1、96,当"未知时用最大方差0、25代替

应抽取得样本容量为

//2M1-P)

n~飞

(196)2(0.5)(1-0.5)

(0.5)

*385

例2,某企业对一批产品进行质量检查，这批产品得总数为5000件，过去几次同类调查所得

得产品合格率为93%、95%、和96%,为了使合格率得允许误差不超过3%,在99、73%得概率

下应抽查多少件产品?

已知：N=5000,=3%,1-a=99.73%

求：〃

解:应用最大标志值计算F钵容量

由l-a=99.73%知%=3

32x0.93x0.07，一

-------r----=OJ1

3%2

4、假设检验

步骤：1、提出原假设和备择假设

原假设:有待检验得假设备择假设:拒绝原假设后可供选择得假设。原则:⑴“不轻易拒绝原

假设⑵原假设总就就是与等号连在一起。

假设得三种形式:⑴双侧检验：

“0：〃=No，H\：〃w

(2)左侧检验:如果指标越大越好以及要求指标就就是否明显降低。

Ho-N—〃o，HJ-RvNo

（3）右侧检验：如果指标越小越好以及要求指标就就是否明显增加

H（）：A<〃°,H、：N>//（）

4。

2、选择适当得统计量，并按照中心极限定理确定其分布形式

3、选择选择显著性水平，确定临界值。

显著性水平c表示乜为真时拒绝H得概率，即拒绝原假设得风险。（a总就就是与H1

相对应）

4、抽取样本，计算样本统计量，比较统计量与临界值得大小。

5、作出统计结论和经营管理决策结。

例题1:（右侧检验）

根据过去大量资料,某厂生产得产品得使用寿命服从正态分布N（1020,10c2）,

现从最近生产得一批产品中随机抽取16件,测得样本平均寿命为1080小时。试

在0、05得显著性水平下判断这批产品得使用寿命就就是否有显著提高？

己知：为二1020,。=100,

/?=16,J=1080,a=0.05

正态总体，方差已知,小样本

求：〃>1020

右他检验

角星："0:〃W1020,//,://>1020

由a=0.05知IZ°os=1.645

x-1080-1020

Z=-------=-------------

=2.4>1.645

/.拒绝原假设Ho,接受“1

即这批产品的使用寿命有显著提高.

例题2:（左侧检验）

一个生产宇航飞行器将工厂需要经常购买一种耐高温得零件，要求抗熟得

平均温度就就是1250℃,在过去，供货商提供得产品都符合要求，并从大量得

数据获知零件抗热得标准差为150℃,在最近得一批进货中随机测试了100

个零件，其平均得抗热为1200℃,能否接受这批产品？工厂希望对实际产

品符合要求而错误地加以拒绝得风险为0、05。

已知：为=1250,cr=150,

n=100>30,x=i200,cc=0.05

证明："v1250

解：，0:〃21250,，］：〃<1250

由a=0.05知Z”a=Zo95=-1.645

=-3.33<-1.645

拒绝接受

产品不合格，拒收.

例题3:（t-检验）

相关知识:正态总体、方差未知、小样本时服从t分布

?（〃T）

某厂采用自动包装机分装产品,假定每包产品得重量服从正态分布，每包标准

重量为1000克。某日随机抽查9包,测得样本平均重量为986克，样本标准差

为24克。试问在0、05得检验水平上，能否认为这天自动包装机工作正常?

已知：X〜N（lOOQb2]〃o=]0oo

〃=9<30,1=986,s=24,a=0.05;

求:〃二1000

角星："0："=1000,Hi:1000

由a=0.05知&〃_])=^o.o25(8)—2.306

*元一〃。986-1000

而"——1

=-1.75

.•・M=1.75<2.306

接受“°,拒绝为.

这天自动包装机工作正常

例题4:（Z-检验）

相关知识：对总体比例得假设检验通常就就是在大样本得条件下进行得，根据

正态分布来确定临界值,即采用Z-检验法。

Z=》,Z)¥

玲。0pq

nn

某研究者估计本市居民家庭得电脑拥有率为30%。现随机抽查了200个家庭,

其中68个家庭拥有电脑。试问该研究者得估计就就是否可信(0=10%)?

已知:玲=30%/=200〉30

p=——=0.34,。=10%

200

求：P=30%

角车："0:P=3O%),//|Pw30%)

由c=10%知：=1.645

接受为，拒绝好.

即：该研究者的估计是可信的.

5、相关与回归分析:

相关知识:⑴相关系数得计算公式：

一2用表示总体相关系数，用r表示样本相关系数。相关系数I•得平方等于可决系数。

_________”Z孙-2立丁_________

卮炉-氐》・后卜0牙

(2)估计标准误差:用来说明回归方程代表性大小得统计分析指标。若估计标准误差小，表明

回归方程代表性大；反之，若估计标准误差大，表明回归方程代表性小。

功2-aLy-bLxy

n-2

例题:现有8个企业得月产量和生产费用资料如下表:

月产量(吨)1、223、13、856、17、28

生产费用(万元)628680110115132135160

求:⑴计算相关系数，指出两者之间得相关程度;

⑵计算判定系数，并解释；

(3)用最小平方法配合生产费用对月产量得回归直线模型;指出回归系数得经济含义;

(4)求可决系数，并解释。

(4)估计回归得标准误差；

解：⑴「二

卮八•点-(ZJ

8x4544.6-36.4x880优)

78x207.54-36.42-78xl04214-8802

=0.9697(f)

(2)d=y-pX

.8x4544,6-36.4x880

"-8x207.54-36/2一

=12.9(21

八880°C36.4

a=--------12.9x-------

88

=51.305(f)

（3）回归系数得经济含义为当月产量每变动1吨时，生产费用同方向平均变动

12、9万元。（2分）

（4）[2=0、9697=0、940生产费用得增加94%就就是由于月产量得增加，有6%就就是其

她因素引起得。（注意:不确定就就是不就就是这样答）

功2-aHy-bUxy

(5)Sy=={(104214-51>305X880—12、9X4544、6)+6}0'

九一2

=233、47

6,统计指数:

计算原则:⑴在计算综合指数时，同度量因素必须固定在同一期。

（2）在计算质量指标综合指数时，同度量因素选择数量,且必须固定在

报告期。Kp=J"，（帕氏指数）

（3）:在计算数量指标综合指数时，同度量因素选择质量，且必须固

定在基期。

瓦产亚的（拉氏指数）

XPoq。

例题:设某粮油商店2旋年和2007年三种商品得零售价格和销售量资料如表。计算三种

商品得价格综合指数和销售量综合指数。并利用指数体系分析价格和销售量变动对销售额得

影响

某粮粮油商店三种商品得价格和销售量

计量销售量单价（元）

商品名称

单位2006200720062007

粳

公斤120015003、64、0

米

标准粉公斤150020002、32、4

花生油公斤5006009、810、6

计算过程:

销售量单价（元）销售额（^）

计量200

商品名称20072006200720062007

单位

6poqipiq

Gp0g0pigi。

0内

粳

kg120015003、64、04320600054004800

米

kg150020002>32、43450480046003600

标准粉

坨5006009、810、64900636058805300

花生油

137

合计—————126701716015880

00

(1)价格综合指数为:k=专PM=1°806%

15880

,£Po%15880…

销售量综合指数为:kq=q----=——=125.34%

、Po%12670

车肖售额才旨数=[=135.44%

(3)

£/%%12670

结论：与2006年相比，三种商品得零售价格平均上涨了8、06%,销售量平均上涨了25、

34%,销售额平均上涨了35、44%。

销售额变动

绝对变动.

“=工8/—工〃。4）=17160—12670=4490（元）

价格变动的影响额

=(£PM—ZPM)=17160-15880=1280(元)

销售量变动的影响额

p（）qo=15880-12670=3210（元）

分析：三者之间得相对数量关系135、44%=108>06%X125x34%

三者之间得绝对数量关系4490（元尸1280（元）+3210（元）

结论:2007年与2006年相比，三种商品得销售额增长35、44%,增加销售额4490元。其

中由于零售价格变动使销售额增长8、06%,增加销售额1280元;由于销售量变动使销售额增

长25、34%,增加销售额3210元。

7、填表

iovp七HL•古京报告期数据inno/

相关知识:发展速度=廿时W的X100%

基期数据

(1)环比发展速度”,旦,…,其

%6的

(2)定基发展速度：幺,&,2,•••,冬

恁%恁a。

二者关系:

⑴观察期内各环比发展速度得连乘积等于最末期得定基发展速度

11为连乘符号—x-^-x-^-x---x4=4

吟2/-14204。4《I%

⑵两个相邻得定基发展速度，用后者除以前者，等于相应得环比发展速度

匕.X）匕T

增长速度=

增减量

基期水平

_报告期水平-基期水平

"基期水平

=端基期水平"-］。。％

=发展速度-100%

〃〃一区一_%1

环比增长速度=~"-1

Un-\

=环比宏展速度-100%

册-_%[

定基增长速度二h一—二

u0u0

=定基发展速度-100%

注意:定基增长速度与环比增长速度之间不存在直接得换算关系。通常要先将增长速度转

化为发展速度，再进行计算。

已知:

年份出口总值差额对比（万美元）环比（％）定基比（％）

（万美元）逐期累计发展增长速发展增长

速度度速度速度

199695>2

19974、8

19988、8

1999105^8

20004、5

2001128、2

结果:

年份出口总值差额对比（万美环比（％）定基比（％）

（万美元）元）

逐期