2025-2026学年上海华二附中高三数学三模卷（含答案）（2026.5）

华二附中2025-2026学年第二学期高三年级数学三模2026.5一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，则.

2．不等式的解集为.

3．已知等差数列满足，则的前7项和.

4．已知随机变量服从正态分布．若，则.

5．已知，若幂函数是偶函数，则.

6．展开式中的系数为.

7．已知，满足，则的最小值是.

8．设，若函数有最大值，则的取值范围是.

9．已知随机事件满足．则.

10．已知平面向量满足，则的最小值是.

11．小申同学在尝试用数学方法分析足球比赛的技术问题时发现了下面的有趣现象．如图，对垂直于球门场底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即当使最大的点．而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上．则该曲线的离心率为.12．用4种不同的颜色为正方体的6个面颜色，要求所有颜色都用到，且相邻面颜色不同．若把经过旋转能够重合的染色方案视作同一种，则不同的染色方案共有种.

二．选择题

13．现有下表所示的一组观测数据：245683040607080若与的线性回归方程为，则对应的离差为（）.

A．11.6B．8.4C．7.4D．1.6

14．在三棱锥中，＂侧棱两两垂直且与底面成等角＂是＂此三棱锥为正三棱锥＂的（）.

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件

15．已知复数满足，且当复平面上以对应的点为顶点的四边形面积最大时，与最接近的整数为（）.

A．36B．37C．38D．39

16．已知定义域为的函数和，对，记，有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；

②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数.则（）.

A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假

三．解答题

17．设．

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）在中，若且，求的面积．18．某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的＂加三＂学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷．

（1）若抽取的学生中男生30人，求的值；

（2）若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表：选物理选历史总计选地理26935选生物48755总计741690（i）据此判断是否有的把握认为＂选物理还是历史＂与＂选地理还是生物＂有关；

（ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4

名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望．

参考公式：．

19．如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为是圆的一条弦，是圆台的一条母线．

（1）若，证明：；

（2）若是圆的直径，求二面角的正切值．

20．已知抛物线与斜率为1的直线相交于两点．是的焦点．是上异于的一点．

（1）证明：；

（2）若是的顶点且，求直线的方程；

（3）设且的外接圆与有异于的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值．21．对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个＂函数＂．

（1）若，分别判断和是否为的函数并说明理由；

（2）设．若是的一个函数，求的取值范围；

（3）设为无穷实数列．令．已知与其函数的图像有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．小申同学在尝试用数学方法分析足球比赛的技术问题时发现了下面的有趣现象．如图，对垂直于球门场底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即当使最大的点．而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上．则该曲线的离心率为.【答案】【解析】以中点为原点建系，使得的坐标为，从而的坐标是，则当所在直线的方程为时，满足，从而的坐标为，因此在双曲线上，其离心率为．12．用4种不同的颜色为正方体的6个面颜色，要求所有颜色都用到，且相邻面颜色不同．若把经过旋转能够重合的染色方案视作同一种，则不同的染色方案共有种.【答案】【解析】4种颜色涂6个面，且所有颜色都用到，故必有个面只能填重复颜色．相邻面异色重复色不能相邻，只能填在相对面上．正方体有3组相对面（前/后、左/右、上/下），设其中一组两面异色，其余两组各为同色.此时4种颜色恰好全部出现：异色组占2色，两个同色组各占1色．在旋转等价下，3组相对面的地位对称（旋转可互换），故只需决定哪两种颜色组成异色组：种二、选择题13.D14.A15.B16.B16．已知定义域为的函数和，对，记，有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；

②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数.则（）.

A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假

【答案】B【解析】，即满足大于阈值的所有．命题①：＂若，则严格减＂.意味着且．任取．假设，则对任意有，即故．结合得，与真包含矛盾．

∴．由的任意性知严格减．故①真．

命题②：＂设，若使，则为周期函数＂．

反例：取（非周期），．

对任意，故恒成立．

取，条件满足，但非周期函数．故②假．三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）（i），没把握（ii）19.（1）证明略（2）20．已知抛物线与斜率为1的直线相交于两点．是的焦点．是上异于的一点．

（1）证明：；

（2）若是的顶点且，求直线的方程；

（3）设且的外接圆与有异于的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析，定值为．【解析】（1）由抛物线定义，，但是直线的斜率为1，故，所以．

（2）设直线的方程为．由得是方程的两根，从而有，则，解得或4检验得仅当时直线与抛物线相交于不同两点且均不与重合，故为所求．

（3）同（2）得，故．

不妨设．令，则外接圆的圆心满足，且，解得，

此时圆的方程为，

也即．

与抛物线方程联立得二者公共点的坐标满足的四次方程：，显然此方程有三个实根为0,4和，

故由韦达定理得第四个实根为．注意到不重合，故．

综上，的坐标为，从而所求斜率为．21．对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个＂函数＂．

（1）若，分别判断和是否为的函数并说明理由；

（2）设．若是的一个函数，求的取值范围；

（3）设为无穷实数列．令．已知与其函数的图像有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论．【答案】（1）是，不是；（2）；（3）不存在【解析】（1）当时，，故是的函数．而，故不是的函数．

（2）由题意，对一切恒成立．

也即对一切恒成立．设，则，

故当时，函数严格减，得．

（3）由已知，对一切恒成立，且，

即函数在处取得最小值．

令，其中，则．

若函数在中有最小值，

则其最小值点必为驻点