2025-2026学年上海黄浦区高三数学三模卷（含答案）（2026.5）

黄浦区2025-2026学年第二学期高三年级数学三模2026.5一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．全集，则．

2．不答式的解集为．

3．已知随机变量服从正态分布，则．

4．已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为．

5．已知实数满足，则的最大值为．

6，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为．

7．某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001）

8．利用二项式定理，被8除所得的余数为．

9．在中，，则在上的数量投影的取值范围为．

10．双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为．

11．设，满足．若的值与、无关，则的取值范围为．

12．我校新添置了＂智能咖啡机＂供师生使用，使用者可持空纸杯接咖啡．当投入一枚＂五爱币＂后，＂智能咖啡机＂将出液，此时液面高度占纸杯高度的比为（忽略咖啡表面张力）.已知纸杯是圆台形状的容器，杯口半径大于杯底半径，咖啡机每次出液量一致.若使用者直至投入三枚＂五爱币＂，才发现咖啡液溢出纸杯，则的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，满分18分．第13-14题满分4分，第15-16题满分5分）.

13．已知（i是虚数单位）、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（）．

A．3B．3iC．-3D．

14．某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据䎺作列联表，提出原假设：＂经常用流行用语＂与＂年轻人＂没有关系，计算得，由此可知（）．（显著性水平取）

A．接受原假设，没有的把握认为＂经常用流行用语＂与＂年轻人＂有关系B．拒绝原假设，有的把握认为＂经常用流行用语＂与＂年轻人＂有关系C．接受原假设，有的把提认为＂经常用流行用语＂与＂年轻人＂有关系D．拒绝原假设，有的把握认为＂经常用流行用语＂与＂年轻人＂没有关系

15．记为数列的前项和（为正整数），已知和（为常数）均为等比数列，则的可能值为（）．

A．B．C．D．

16．设均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有＂性质＂．下列说法中正确的是（）．

A．＂＂是函数具有＂性质＂的充分非必要条件B．设函数具有＂性质＂是具有设小值的必要非充分条件C．设是函数具有＂性质＂的充分必要条件D．设，函数具有＂性质＂是具有＂性质＂的既非充分又非必要条件

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步㗫．

17．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，三棱锥中，为的中点．

（1）证明：；

（2）点满足，求直线与平面所成角的正弦值．

18．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为．

（1）求和；

（2）求；

（3）当时，求随机变量的分布列和数学期望．

19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

设，已知函数，其中．

（1）若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围：

（2）当时，若对任意的恒成立，求的取值范國．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设抛物线的焦点为，过的直线交于，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于。

（1）若，求点的坐标：

（2）若，求过点且与设物线只有一个公共点的直线方程：

（3）求的取值范围．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小明满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于函数和，若存在函数，使得，则称是的＂关联函数＂．

（1）已知，是否存在定义域为的函数，使得是的＂关联函数＂？请说明理由；

（2）已知是周期为的偶函数，且当时，.函数是的＂关联函数＂，若在上至少有26个零点，求的最小值；

（3）已知函数和的定义域均为.当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的＂关联函数＂且是的＂关联函数＂，求函数的零点．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.7;9.;10.；11.12.12．我校新添置了＂智能咖啡机＂供师生使用，使用者可持空纸杯接咖啡．当投入一枚＂五爱币＂后，＂智能咖啡机＂将出液，此时液面高度占纸杯高度的比为（忽略咖啡表面张力）.已知纸杯是圆台形状的容器，杯口半径大于杯底半径，咖啡机每次出液量一致.若使用者直至投入三枚＂五爱币＂，才发现咖啡液溢出纸杯，则的取值范围为．【答案】【解析】k最大时，K最小时，二、选择题13.C14.B15.C16.D16．设均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有＂性质＂．下列说法中正确的是（）．

A．＂＂是函数具有＂性质＂的充分非必要条件B．设函数具有＂性质＂是具有设小值的必要非充分条件C．设是函数具有＂性质＂的充分必要条件D．设，函数具有＂性质＂是具有＂性质＂的既非充分又非必要条件

【答案】D【解析】D选项中的充分性，令，，有性质，没有性质；D选项中的必要性，令，，有性质，没有性质。三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）和；（2）；（3）分布列如下,19.（1）（2）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设抛物线的焦点为，过的直线交于，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于。

（1）若，求点的坐标：

（2）若，求过点且与设物线只有一个公共点的直线方程：

（3）求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）分类讨论斜率是否存在直线与抛物线联立方程判别式为0.做出来三条直线：（3）设，设，当时，解得原式=21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小明满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于函数和，若存在函数，使得，则称是的＂关联函数＂．

（1）已知，是否存在定义域为的函数，使得是的＂关联函数＂？请说明理由；

（2）已知是周期为的偶函数，且当时，.函数是的＂关联函数＂，若在上至少有26个零点，求的最小值；

（3）已知函数和的定义域均为.当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的＂关联函数＂且是的＂关联函数＂，求函数的零点．【答案】（1）不存在（2）（3）【解析】（1）显然D=R不成立；（2）因为是周期为的偶函数，且当时，，

所以当时，，所以，

所以在一个周期上的解析式为，从而得．

又因为是的＂关联函数＂，所以．

由，得，当时，．

令，得，所以或．

当时，或，故方程无解．

当时，在区间内，方程有4个解，

分别为,因此，在内有2个解；

之后每经过一个形如的区间，会增加4个解．

要至少有2