广东省广州市番禺区八校2025-2026学年高二上学期期中教学质量检测数学试卷（含解析）

广东广州市番禺区八校2025-2026学年第一学期期中高二年级教学质量监测数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）．A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．3．已知圆的方程为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．5．在三棱锥中，为的中点，若，则（

）A． B．C． D．6．若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（

）A． B． C． D．7．在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知点为直线上一点，则的最小值是（

）A． B．7 C． D．5二、多选题9．若直线与直线平行，则的值可以是（

）A． B． C． D．10．已知四边形是平行四边形，，，，则（

）A．点D的坐标是 B．C． D．四边形的面积是11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（

）

A．，，，四点共面B．与所成角的大小为C．在线段上存在点，使得平面D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值三、填空题12．已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______.13．在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________.14．在平行六面体中，，且交平面于点，则___________.四、解答题15．已知直线及点.(1)若与垂直的直线过点，求与的值；(2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16．（1）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）已知的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程.17．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.

(1)若点满足，求证：平面；(2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.18．如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点．(1)证明：；(2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)当二面角的余弦值为时，求．19．在空间直角坐标系Oxyz中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中a，b，，，且），在空间中，给定平面内一点和该平面的法向量，也可以确定该平面的方程，例如已知是平面内一点，是平面的法向量，设是平面内任意一点，根据可得平面的方程为.如图，在正方体中，，点是线段的中点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.(1)求平面的方程；(2)①求证：是平面的一个法向量；②求证：到平面的距离为.(3)若过点的平面PQN的方程为，求平面与平面PQN夹角的余弦值.参考答案1．A【详解】，，设倾斜角为，，，，，.故选：A.2．C【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为.故选：C3．D【详解】由题意得，解得.故选：D.4．A【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：，，当直线从的位置旋转至与的位置靠近时，此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则；当直线从靠近的位置旋转至的位置时，此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：A.5．A【详解】由题意得为中点，所以，又因为，所以，所以，故A项正确.故选：A.

6．C【详解】由空间向量在基底下的斜坐标为，得，设在基底下的斜坐标为，则，所以，解得，所以空间向量在基底下的斜坐标为.故选：C.7．C【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点，

在正三棱锥中，所以，平面，又平面，所以，则.又，所以，所以当与重合时，取最小值0，此时有最小值.故选：C8．D【详解】因为在直线上，设点关于直线的对称点为，则解得故，连接交直线于点，当在点时，取得最小值，其最小值为.故选：D.9．AB【详解】因为直线与直线平行，则，解得或.故选：AB.10．BD【详解】不妨设点D坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，即，所以，，，所以点D坐标为，故A错误；，故B正确；，，所以，故C错误；因为，所以四边形的面积，故D正确.故选：BD11．AD【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，

则，所以，解得，故，即，，，四点共面，故A正确；因为，，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意，设（），则，若平面，则，,因为，，所以，此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；故选：AD.12．/【详解】将直线化为一般方程可得，由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.故答案为：13．/【详解】因为，所以，设平面EFG的一个法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离.14．/【详解】根据题意，连接交于点，连接与交于点，在平行六面体中，∽，则，故，根据平面的基本性质可知点与点重合，故，其中，故，所以，所以.故答案为：15．(1)，(2)或【详解】（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，所以.（2）因为点与点到直线的距离相等，由点到直线的距离公式得.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16．（1）或；（2）.【详解】（1）显然直线的斜率存在且不等于0，设直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，令，解得，又直线在两坐标轴上的截距相等，所以，解得或，所以直线的方程为或.（2）设的外接圆的方程为，则，解得，，，所以的外接圆的方程为，所以的外接圆的标准方程为.17．(1)以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.

所以，，，，，，所以，.设平面的一个法向量，所以，令，解得，，所以平面的一个法向量.若，则，所以，所以，，又平面，所以平面.(2)存在，.【详解】（1）略（2）假设底面内存在一点，使得平面，设，又，所以，又平面的一个法向量，所以，所以，解得，，所以底面内存在一点，使得平面，此时.18．(1)证明:因为，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．(2)(3)【详解】（1）略；（2）因为，所以，则．由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，当点为棱的中点时，．设平面的一个法向量，则即令，解得，故，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．（3）由（2）可知，设，则，设平面的一个法向量，则即令，解得，故，设平面的一个法向量为，由得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．19．(1)(2)①在平面上任取两点，则有因为，所以，所以，即垂直于平面内任意一条直线，所以是平面的一个法向量.②取平面上一点，则，所以点到平面的距离为.(3)【详解】（1）由