第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考纲要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;2.了解二元一次不等式的几何意义,

能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问

题，并能加以解决.

•、知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

I.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

Ar+B)，+CX)直线At+8y+C=0某一侧的所有不包括边界直线

Ar+B.v+C20点组成的平面区域包括边界直线

不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.点P,(xi，》)和8(X2,竺)位于直线Av+8.v+C=0的两侧的充要条件是(AYi+8yi+C)(AT2

+5”+0<0;位于直线Ax+By+C=O同侧的充要条件是(Ari+8)，i+C)(At2+4y2+O>0.

3.线性规划的有关概念

名称意义

线性约束条件由X,)，的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对X,>，的约束条件

目标函数关于X，)，的解析式

线性目标函数关于x,y的i次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x,y)

可行域所有皿解组成的集合

最优解使目标函数达到最大值或量小值的可行解

线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

♦一常用结论与微点提醒

1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(I)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)

或(1,0)来验证.

2.判定二元一次不等式表示的区域

⑴若B(4x+8_y+C)>0时，区域为直线Ar+B)，+C=0的上方.

⑵若B(AY+B_)・+C)VO时，区域为直线Ar+为+C=0的下方.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

（1）不等式Av+By+OO表示的平面区域一定在直线Av+By+C=O的上方.（）

（2）线性目标函数的最优解可能是不唯一的.（）

（3）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.（）

（4）在目标函数z=or+6）Q#0）中,z的几何意义是直线ar+^-z=0在y轴上的截距.（）

答案⑴X（2）V（3）V（4）X

解析（1）不等式x-），+l>0表示的平面区域在直线工一），+1=0的下方.

（4）直线ux-\-byz=0在y轴上的截距是东

〉教材衍化

工-3y+62Q,

2.不等式组表示的平面区域是（)

x-y+2<0

答案B

解析工一3），+620表示直线x—3），+6=0及其右下方部分，x—y+2Vo表示直线％—y+2

=0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.

3.已知x,），满足约束条件,x+）Wl,则Z=2Y+），+1的最大值、最小值分别是（）

冷一1，

A.3,—3B.2»—4

C.4,-2D.4,-4

答案C

解析不等式组所表示的平面区域如图所示.

其中4一1,-1),8(2,-1),

画直线配y=-2x,平移4）过3时，Zmax=4,平移/（）过点A时，Zmin=-2.

＞考题体骐

大-3y+IWO,

4.（2020•浙江卷）若实数满足约束条件32则zr+“的取值范围是（）

A.（—8,4]B.[4,+00）

C.[5,+8）D.（一8,十8）

答案B

解析画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x+2y=0,平移该直线，易知当直线经

过点42』）时，Z取得最小值，Zmin=2+2义1=4,再数形结合可得z=x+2），的取值范围是[4,

+00）.

x+y—2W0,

5.（2020・汉中质检）不等式经一120,所表示的平面区域的面积等于

怜0

答案!

解析画出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，

3

-

通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点2，(1。)和C(2,0)为顶点的三角

、

形区域(含边界)，因此S"sc=；X(2—l)X；=；.

x—y+520,

6.(2021.成都诊断)已知.X,y满足产+怜0，若使得z=ar+y取最大值的点(x,y)有

.xW3,

无数个，则〃的值为.

答案一1

解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z=*+)，和直线

A8重合时，z取得最大值的点(x,y)有无数个，.♦.一。=匕8=1,.♦.〃=—1.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一二元一次不等式［组)表示的平面区域自主演练

1.已知点(一3,—1)和点(4,—6)在直线3x—2)，一〃=0的两侧，则〃的取值范围为()

A.(-24,7)

B.(-7,24)

C.(—8,—7)U(24,+00)

D.(一8,-24)U(7,+8)

答案B

解析根据题意知(-9+2—a>(12+12—〃)<0,即(a+7)(a—24)<0,解得一7〈a<24.

1Wx+yW3,

2.在平面直角坐标系M>，，中，不等式组表示图形的面积等于()

1Wx—yW1

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形A8CQ,其中A(0,l),0(1,0),

边长AO=啦，则正方形的面积S=/X&=2.

x-y=l

*+）=l

2x+yW2,

3.若不等式组《、八表示的平面区域的形状是二角形，则。的取值范围是（）

、x+）Wa

A.1.+8）B.（0,1]

C.1,1D.（0,l]u[1,+8）

答案D

x—y^O,

解析作出不等式组«2x+）W2,表示的平面区域（如到中阴影部分表示）.由图知，要使

怜0

原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直或/：x+y=a在八，/2之间（包含，2,

4

不包含/i）或A上方（包含人），故0<aWl或a上].

感悟升华平面区域的形状问题主要有两种题型:

（1）确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；

（2）根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对

参数进行必要的讨论.

考点二求目标函数的最值多维探究

角度1求线性目标函数的最值

W1,

【例1】（2021.郑州模拟）设变量x,y满足约束条件，x—23，+320,则目标函数z=2x-

.x-y>0,

y的最小值为（）

A.-1B.0C.1D.3

答案C

解析由约束条件可得可行域如图阴影部分（含边界）所示,

V\>=2*7

工-2)+3=。

J=1

将z=2x—y变为)，=2x—z,

当z取最小值时，y=2t—z在y轴截距最大，由y=2］图象平移可知，当y=2x—z过点A

y=x,

时，在），轴截距最大，由<得4（1,1）,.・.Zmin=2X|-1=1,故选C.

尸工

角度2求非线性目标函数的最值

x—y+1W0,

【例2】⑴己知实数％,y满足•人+2）-8WO,则的取值范围是

X21,

2r-）W0,

（2）（2020・景德镇模拟改编）若变量X,），满足约束条件卜+y—3<0,则（》一1）2+）2的最小值

/20,

为•

24

-761⑵-

答案⑴y5

解析（1）作出不等式组

x-y+1WO,

<x+2y-8W0,表示的平面区域如图中阴影部分所示，

这是一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为仅1,2）,《1,0（2,3）,

我的几何意义是可行域内任一点（x,历与点尸（-2,0）连线的斜率，连接尸&PC,由于直线

AI4

7-

P4的斜率为I，直线PC的斜率为专由图可知2=忘的取值范围是整6-I

一

(2)画出约束条件

<x+y—3W0,表示的可行域，如图中阴影部分所示.

▲•20

设z=(x—l)2+)2,则其几何意义是区域内的点到定点(1,0)的距离的平方，由图知点(1,0)到

12X1-012

直线2x-y=()的距离最小，点(1,0)到直线2r-y=0的跄离d=则Zmin=

]22+(-1产-。

7,

4

所以(X—1)2+)2的最小值为亍

角度3求参数值或取值范围

x+3y+520,

【例3】(2021•太原调研)已知实数x,)，满足—+)L1W0,若z=x+2y的最小值为一

4,则实数。=()

A.1B.2C.4D.8

答案B

解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z=x+2y经过点

解得。=2.

感悟升华线性规划两类问题的解决方法

(I)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数

有：①截距型：例如z=at+〃y;②距离型：形如z=X(x—q)2+(y—〃)2;③斜率型：形如

y—b

z=

（2）求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：

①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出夹；②在符合题意的可行域里，寻求

最优解.

，一y-2W0,

【训练1】（1）（2021.昆明质检）设无，），满足约束条件<2x-y+3N0,则七y+4的取值范围

人IU

j+）wo,

B.[-3,1]

3

C.(-8,-3)U(1,+8)

T

3x—5y+620,

（2）若x,y满足条件，2Y+3），-15W0,当且仅当工=y=3时，z=or+y取最大值，则实数

J.0，

〃的取值范围是（）

A("i1

答案(1)B(2)C

解析（1）画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分（含边界）所示,

2x-y+3=(>

x-y-2=O

-2\

P(-6.T)，x+y=()

目标函数z=F表示可行域内的点与点P（—6,—4）连线的斜率，数形结合可知目标函数

X十6

1+4

在点A（-1.1）处取得最大值为二|：奇=1,

-7+4

目标函数在点次一5,—7）处取得最小值为二^^=-3,

故目标函数的取值范围是[一3,1].故选B.

（2）不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足一与2〈一4<34,即一会3a。2

时，z=ai+y仅在x=y=3时取得最大值，故选C.

考点三实际生活中的线性规划问题师生共研

【例4】（2020・安庆联考）某农户计划种植葛笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资

金不超过25万元，假设种植其笋和西红柿的产量、成本和售价如下表；

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价

葛笋5吨1万元0.5万元

西红柿4.5吨0.5万元0.4万元

那么，该农户一年种植总利润（总利润=总销售收入一总种植成本）的最大值为万

元.

答案43

解析设黄笋和西红柿的种植面积分别为x,y亩，一年的种植总利润为z万元.

[E+)W30,

x+0.5)W25,

由题意可得S

z=0.5X5x+0.4X4.5），一（i+0.5y）=1.5,v+1.3y,

作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分（含边界）所示,

当直线z=1.5x+1.3），经过点A时，z取得最大值,

x+y=30,

又,解得x=20,y=10,

x+0.5y=25,'

即4（20,10）,代入z=1.5x+1.3y可得z=43.

感悟升华1.解线性规划应用题的步骤.

（］）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题;

（2）求解——解这个纯教学的线性规划问题；

(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.

2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，

列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题.

【训练2)某旅行社租月A,B两种型号的客车安排900名客人旅行，A,B两种车辆的载

客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不

超过21辆，且8型车不多于A型车7辆，则租金最少为()

A.31200元B.36000元

C.36800元D.38400元

答案C

解析设旅行社租用A型客车X辆，B型客车y辆，租金为z元，则线性约束条件为

厂xW7,

36x+60.v2900,

y£N.

目标函数为z=1600A+2400y.

画出可行域如图中阴影部分所示,

可知目标函数过点N时，取得最小值,

y—x=l,x=5,

由‘解得c故M512）,

36x+60y=900,>'=12,

故Zmin=1600X5+2400X12=36800（元）.

核心素养/“除性”的线性规划问题

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研窕对象的素养.主要包括：从

数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景

中抽象出•般规律和结构，用数学语言予以表征.

近几年的高考及模拟考试中常出现一类隐性线性规划问题，即通过数最与数量的关系，抽象

出线性规划问题，有时以解析几何、函数、数列为背景综合考查.

【典例】如果函数/)=；(〃?-21+(〃-8"+1(杉0,〃20)在区间停21上单调递减，

则mu的最大值为()

QI

A.16B.18C.25D.—

答案B

解析f(x)=(〃z-2)x+〃-8.由已知得：对任意的工£2,/(x)WO,所以/'(，W0,

/(2)<0,所以，

2〃z+〃W12.

画出可行域，如图，令

则当n=0时，，=0；当时，加=：.

由线性规划的相关知识，只有当直线2〃?+〃=12与曲线机=；相切时，/取得最大值.

In2T

由j1/解得4=6,1=18.所以(m〃)max=18.

[6-呼二%

素养升华1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，本例要求

从题设中抓住本质条件，转化为关于“"I，/'的约束条件.

2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中

所求点的相应几何意

义.该题立意新颖，在注意基础知识的同时，提升了数学抽象核心素养，渗透了等价转化思

想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力.

【训练】在等差数列｛%｝中，已知首项0>0,公差上1,ai+a2W60,色+43石100,则5al

+。5的最大值为，取到最大值时d=，a\=.

答案2002020

£?|>0,

dX),

解析由题意得点Si,d)满足«

2ai+dW60,

、2m+3d<100,

画出可行域,

又5。1+的=6d+44,

故经过8点，

即ai=d=20时，5m+的取最大值20().

-------课后巩固作业--------------------分层训练-提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.下列各点中，不在x+y—1W0表示的平面区域内的是()

A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(2,—3)

答案C

解析把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合，故选C.

x+2y-3N0,

2.(2021・合肥模拟)若实数尤)，满足不等式组，M+)，一320,

则Zt+3y的最小值为()

*+y—3W0,

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析画出不等式组

卜+2)-320,

*2丫+厂320,

,x+y-3<0

表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，

令z=2t+3y,则y=—1A+|Z,

分析知，当x=l,y=\时，z取得最小值,

且Zmin=2+3=5.故选B.

x—y+320,

3.设点（x,y）满足约束条件r—5y—lW0,且文£Z,y£Z,则这样的点共有（）

、3x+y—3W0,

A.12个B.II个C.1（）个D.9个

答案A

x—y+320,

解析画出＜x—5_y—1W0,表示的可行域如图阴影部分所示（含边界），

.3x+y—3WO

由图可知，满足x£Z,y£Z的(x,y)为(一4,-1),(-3,0),(-2,1),(-2,0),(-1,0),

(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),共12个，故选A.

pi+y—2W0,

Ix—y+220,

4.设变量x,y满足约束条件〈」则目标函数z=-4x+y的最大值为（）

、/一1,

A.2B.3C.5D.6

答案C

解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示.

*/z=-4x+y可化为y=4r+z,

...作直线版y=4x,并进行平移，显然当/o过点八（一1』）时，z取得最大值，

Znu、=—4X（—1）+1=5.故选C.

x—y，O,

5.（2021•哈师大附中模拟）己知实数x,y满足约束条件卜+y—4W0,则z=2Z+）•的最大

»1，

值为（）

A圭B.1C.1D.2

答案C

解析由实数x,y满足约束条件

卜一卢0,

―+厂4W0,作出可行域如图，则z=2'+y的最大值就是〃=一然+)，的最大值时取得.

»1

fx-y=0,

联立|),=]解得41.1),

化目标函数u=-2x-^-y为y=2x+〃，

由图可知，当直线)，=2H■〃过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值2-2+1

=3.故选C.

x+y26,

6.(2019・全国川卷)记不等式组、表示的平面区域为D命题p：3(x,y)eD,2x+

2x—

y-9；命题/V(x,y)ED2\+yW12.下面给出了四个命题：

①pVq；②多蒲pVq：③pA睇g：④㈱〃八㈱g.

这四个命题中，所有真命题的编号是()

A.①③B.®®C.②③D.③④

答案A

解析法一画出可行域如图中阴影部分所示.

目标函数z=2x+y是一组平行移动的直线，且z的几何意义是直线z=2x+y的纵截距,显

然，直线过点A(2,4)时，2mm=2X2+4=8,即z=2x+y28.

.•办+)，£[8,4-oo).

由此得命题〃：A(x,加U/XNc+y2g正确；

命题q：V(x,y)£O,2r+yW12不正确.

二.①@真，②④假.

x+y26,

法二取x=4,y=5,满足不等式组、'、且满足2t+y29,不满足2x+yW12,故

2x—y^0,

〃真，＜7假.

真，②④假.

7.(2019•北京卷)若x,y满足RW1—y,且冷一1,则3x+y的最大值为()

A.-7B.IC.5D.7

答案C

%—y+12(),

解析由MW1—y,且y2—I,得＜x+y-lW0,

)2—1.

作出可行域如图阴影部分所示.

设z=3x+y,则y=-3x+z.

作直线Zo：y=-3x,并进行平移.

显然当/o过点4(2,—1)时，z取最大值，Zmax=3X2-l=5.故选C.

X-yWO,

8.(2021•全国大联考)设不等式组,左一)，+220,表示的平面区域为M,则()

9

A.M的面积为，

B.M内的点到x轴的距离有最大值

C.点y)在M内时，壬＜2

D.若点P(x°,yo)仁M，则xo+州W2

答案C

解析作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，可行域为开放区域，所以选项A、B

错误；由图可知点(1,1)在可行域内，而此时x+y=l+l=2,故选项D错误；一七表示区域

AI4

M内的点(x,y)与M—2,0)连线的斜率，由图知|min=kNR=§,

2x-r+2=O

•••一%£[(2),故选项C正确，故选C.

XI乙z

二、填空题

3x-2_y-6W0,

x+y—220,则z=x-2y的最小值是

(x—4y+820,

答案一4

解析由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，将z=x-2y化为可知z的

1217

最小值即为)，=那一]在y轴上截距最大时z的取值，由图可知，当y=那一京过点A时，在)，

fx+j-2=0,

轴上的截距最大，由,一八得402),，Zmin=0—2X2=-4.

X—4y+8=0

%+2厂2W0,

2x+y—2W0,

10.(2021,平顶山一模)已知0为坐标原点*(-1,-2),。为平面区域“：＜、

.G0,

、/0

内任意一点，则切V为的最小值为.

答案一2

解析由题意可得，平面区域M(如图)是由点。(0,0),D(O,1),5(1,0),C0,§围成的四边

形区域(包括边界)，由数量积的坐标运算得力•标=-x-2y,设z=—%—2y,当直线z=

一工一2、，平移到与。。重合时，目标函数z=-x—2y有最小值(此时点P为线段OC上任意

一点)，且最小值为-2.故040P的最小值为一2.

x+3yW15,

2x+yW12,

11.(202().昆明诊断)已知x,y满足4则z=3x+2y的最大值为________.

x£N,

答案19

解析根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点，由图可知z=3x+2)，在点“处

取得最大值，

由尸产⑵

(x+3y=15

得M(g,号，但M点的坐标不是整数，经过平移可知经过点(5,2)满足耍求，且代入得z

=19,故最大值为19.

12.已知点A(l,-1),B(3,0),C(2,l).若平面区域D由所有满足崩=2布+从启

(1・2・2,0・"五1)的点夕组成，则D的面积为.

答案3

解析设尸(x,y),且矗=(2,1),AC=(1,2),

/.OP=OA+AP=(lf-1)+A(2,1)+//(1,2),

x=1+2i+〃，

[y=-1+2+2〃

3〃=2y-x+3,

3A=2.r-y-3,

又ygWl,

OWx—2）W3,

'八表示的可行域是平行四边形及内部.

66—yW9

如图，点8（3,0）到直线x—2y=0的距离d=芈.

又因2=小.，区域D的面积5=不乂小=3.

B级能力提升

x+y—3W0,

13.若函数），=2'图象上存在点（x,），）满足约束条件＜%—2｝，一3忘0,则实数m的最大值为

3

C-2

B.2