考研数学（数学二）模拟试卷420

考研数学（数学二）模拟试卷420

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

1、设f（X）=’川田呐⑴布（）

A、两个可去间断点

B、两个无穷间断点

C、一个可去间断点，一个跳跃间断点

D、一个可去间断点，一个无穷间断点

标准答案：C

lim/(j)=limr-sinx=0*

•r-L1-X

=lim——sinz=0,

limf(x)=limsinx=sinl,

#-l*—T-]

)=lim§iar="sinl9

知识点解析：Lr

故X=o为f（x）的可去间断

点，x=i跳跃间断点，选c.

]imarctan」"）

2、设故）=・二z"+l,f（x）（）

A、处处可导

B、在点天=一1点处可导

C、在点％=0处可导

D、在点％=1处可导

标准答案：B

0,X<0,

x=0,

由于limarctan(e**)=W4

1,|x|<1,

lim-7------

….r2"+12

0,|x|>1.

£,0VzV1,

所以/⑺=!叫红詈等

0,其他,

知识点解析:因此f(x)在点％=

—1处可导，故选B.

3、设f(%)为微分方程y'xy=g(%)满足丫(。)=1的解，其中g(%)=Jo/in[(%—t)2]dt，则

有()

A、在点％=0处故)取极大值

B、在点％=0处政)取极小值

C、点(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点

D、点％=0不是f(»的极值点，点(0,f(0))也不是曲线y=f(%)的拐点

标准答案：B

知识点解析:由题意知，y'(0)=0,y"-y+xy'+g(x)，y"(0)=l+g'(0)，又g(x)

U'~'foysin(u2)du,g/(x)=sin(x2),g'(0)=0,所以y"(0)=l>0,故选B.

4、设F(%,y)具有二阶连续偏导数,且F(%o,yo)=O,4式即，yo)=O,Fy(xo,yo)

>0.若一元函数y=y(：0是由方程F(%,y)=0所确定的在点(%o，yo)附近的隐函

数，则xo是函数y=y(%)的极小值点的一个充分条件是()

A、F”次(勘，yo)>O

B、F""(xo，yo)<O

C、F"yy(xo»yo)>O

D、F"yy(Z(),y())<0

标准答案：B

受=比也=_(%十/豹「A(比,十也定)匕

dx―巴，业2—(F^P—

由匕(4•“)=0知学=0，

dz

/»I=_吃(1°,yo)H(Zo，w)

知识点解析：&"“飞—―，£了‘由

F'yCco，yo)＞。知，当F'MXo，yo)〈O时，乙厂*。〉。，y=y(%)在x=%o处取极

小值.

5、设丫=丫(%)在[0,+8)可导,在V%w(0，+8)处的增量满足△y(l+z\y)=1+N+

a,当△%->()时a是△X的等价无穷小.又y(0)=l,则y(x)=()

A、1+x

B、(1+Z)[ln(l+Z)+1]

1++1+N)

c、2

D、ln(l+x)+l

标准答案：B

yAx十得by([+△)——y

知识点解析：由△y(l+Ay)=l+工°’得△工"-1+]+AQx',

y1

△X->0,得y，=l+i+l.这是一阶线性微分方程，其通解为：Y=(l+Z)[fl+x

d%+C]=(l+%)[ln(%+l)+C]由y(0)=L得C=l,所以y=(l+%)[ln(l+%)+1],

故应选B.

6^设平面区域Di=((%,y)IO<x<l,l-7<y<l),D2={(『y)I0<%<l,1-

l

V2i-x<y<1},二重积分h=

l|ln(x4-y)d(jfl2=JJlnG+=jjln/z*+，cb.

Di则11，12,13的大小

关系为()

A、11<12<13

B、13V12Vli

C、I2<l3<ll

D、IlVI3VI2

标准答案：B

知识点解析：由于D1UD2，记D3=D2—DI={(X，y)IOVyVl,I~<y

f

VI—%),当(x，y)WD3时，x+y<l,从而有ln(x+y)VO,所以匕-h=%ln(%+

y)d?VO,即有I2VI1，而当(1,y)#D2且(0,l#(0,1),(1,0)时,ln(X+y)>in

介十丁,所以l2>13,综上可知13Vl2<h，应选B.

12a

1a+11

7、已知A=L2”,B是3阶非零矩阵，且AB=O,贝lj()

A、a=l时，B的秩必为1

B、a=l时，B的秩必为2

C、a=-3时，B的秩必为1

D、a=-3时，B的秩必为2

标准答案：C

知识点解析：本题考查秩的性质，属于基础题.tAB=O,得r(A)+r(B)53.若

a=l,则r(A)=l,从而r(B)W2.又B是3阶非零矩阵，即r(B)21,故r(B)=l或

r(B)=2.若a=-3,则r(A)=2,从而r(B)01.又r(B巨1,所以,r(B)=L故应

选C.

8、下列矩阵中，正定矩阵是()

124

250

A、1。-3

134

395

B、156

123

258

C、13711

2-20

-25-1

D、।。T2

标准答案：D

知识点解析：本题考查具体数字矩阵正定的判定，属于基础题.选项A中a33=-

13

3<0,选项B中二阶顺序主子式39=（）,选项c中|AI=0,均不是正定矩

阵，选项D中三个顺序主子式△[=2,42=6,43=5,均大于零，故应选D.

二、填空题（本题共5题，每题7.0分，共5分。）

9、1小附无=--------

标准答案：〃+11nx3+1>+C・+C.

L-lnxdx=[1^（1（-^）=^Inx-f-^ddnx）

JJ\n-I-1/兀+1Jn-F1

11r正.71rHyjrH

=一^T7111r——zi-clx=--r\nx-74二+C.

知识点解析：〃+1J〃+ln+1储+1>

9工

10、曲线y=一%十（工।2"的拐点是.

标准答案：（4,-3）.

।/___,_9（]-2）n__18（工一4）.=­54（工一6）

知识点解析：*=（x+2）3，>=Q+2）4~（x+2）5*因为

y"（4）=0,y"'（4）#）,y（4）=~3.所以拐点为（4,-3）.

dudy

11、设f,g为连续可微函数，u=f（x，xy）,v=g（x+xy）,则.

标准答案：（门+?2）（l+y）g'.

知识点解析：

空=（1+力；），黑=（1+,）/，票•票=（<+”；）（1+、），・

dxoxoloX

12、J*EV=

4-（>/2-1）.

标准答案：3

知识点解析：

原式=f行业=打尸Jdy=f-l/T+yl1

JoJo八十_2Jo/1+）323Io

T（々-i）.

J

w19

00l][ax00

010瓦仇010

100

13、ClCj00

仇

标准答案:

001

010

1°°J=E13，而EQ2=E，故E132°=E,E-9=E13用EQ右乘

知识点解析:

。2

仇bz仇8b?b\

A=Qcz等于将A的一、三两列对换，故EAEi3=

三、解答题（本题共9题，每题1.0分，共9分。）

lim/（X）

14、设f（%）在％=0处二阶可导，又一。1一COSN=A,(I)求£(0)与f〃(0)；(fl)

Gt—?）&

-------------.

求一。/

(I)由lim=A知Jim=A.即lim=鼻.

x-01—COSXX-O12L。JrL

lx

/(0)4-/(0)x-|-+o(x2)

4■一3z办Hm=lim-----------------?~:------------=

标准答案：i>ux2则

f(0),f(0)=0,fw(0)=A

(U)如2-J)由-f(u)du.

知识点解析：暂无解析

z

dz设2=我%,3%—y),%=g(y，z)+(p(*),其中f,g,5(p在其定义域内可微，求

石

-dz-zd1y

d%=g[dy+g?dz+(p'yZ

标准答案：dz=fidZ+f2(3dx-dy),变形为:

dz+£d_y=(1+3/)cLr,

(1+9')加+(/l/叫打=dx.

JJ

dz=八+3乙+1

"gi+-<pf+1

y

知识点解析：暂无解析

du也

16、已知五=3%+y+l,=x+2y+3,u(0,0)=1,求u(y,y)及u(x，y)的极

值，并问此极值是极大值还是极小值？

du

标准答案：由2”=2%+y+l,得uQ,y)=£+xy+%+(p(y),再由2，=%+2y+

3,得％+<p'(y)=%+2y+3,得(p<y)=2y+3,(p(y)=y?+3y+C.于是，u(%,y)=

x2+xy+x+y2+3y+c.又u(0,0)=1,所以u(%,y)=x2+xy+x+y2+3y+

J2z+y+1=0,

。得“解出《

[z+2y+3=0,

1.再由4=票=2>。1=藕=LC=2,

AC-B2>O,且

UI/-19-——5\I=—4—

A>0所以133/3是u(%,y)的极小值.

知识点解析：暂无解析

17、设函数f(»在闭区间⑶b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且「(%)>0,若极

1而.2工二^

限LJ1一。存在，讦明：(I)在(a,b)内f(%)>0：(口)在(a.b)内存在一点

一一M

JT^一“

。使;(m)在⑶b)内存在与(D)中自相异的点n，使？⑺仔

且「

b

-a2)=e-aJ.faf(x)dZ.

lim〃工-a)Hm

标准答案：(I)因为一・♦工一0存在，故*—+(2%—2)=0,由f(»在［a,b］上连

续，从而f(a)=O.又由F(%)>0知政)在(a,b)内单调增加,故f(%)>0.(口)设

卜口)=八g(X)=JaZt'(t)dt(a<x<b),贝I」g'(X)=f(X)>0，故卜(力g(%)满足柯西中值定

理的条件，于是在(a,b)内存在一点。使

F(6)—F(a)=6一！=叱)‘I=互

g⑹晨。)『/⑺一『八八市。九)出)/一/")’

一一a"=2g

7^一"

•(皿)因解户

f(9—0=f(9—f(a),在［a,可上应用拉格朗日中值定理，知在(a,§内存在一点n，

。⑺业——1一)'

使f(9=f(n)G—a),从而由(D)的结论得J・即有f\n)(b

26「

—a)=f-aJ-f(x)dx.

知识点解析：暂无解析

18、计算二重枳力1Iy-ezIdo,其中枳分区域D={(%,y)I0<%<1,0<y<2e).

标准答案：如图，将D分成D］、D2两部分，Di，D2除边界无公共部

4Iy一dIdr=jjxIy-/|cky4-jJx|>-e*

D0%

=1dzj—ex)dy-hjdxjx(ex—

1如+也近一手工

=1(2/l-2叱+哈亚+『与dz

J04Jo4

2e+}.

=孚一44

分.

知识点解析：暂无解析

19、设函数f(外在［0,+8)上可导，f(0)=0且存在反函数，其反函数为g(力.若

Jo"')g⑴dl+JFf(t)dl=%e2-e%+1,求f(x).

标准答案：将分(，8。出+〕0%。出=洌€—/+1两边对％求导数，得：F(%)g(f(x))+

取)=木人即：「(%)+敢)=殍。即：［为故)］'=%。'，两边积分得：xf(Z)=Ixczdx=

zx

Xe-e+C,即/”-e工,因为f(x)在=0处连续，所以f(0)=

k+匕匚工〉0,

..r,C-eM/(x>=<x

limexi-------I八

iL工」=o,所以c=i所以10，z=0・

知识点解析：暂无解析

20、设直线L是曲线y=，过点（1,0）的切线，记L与曲线y=e，以及％轴围成的

向无轴负向无限伸展的图形为D.（1）求口的面积；（U）求D绕％轴旋转所生成的

旋转体的体积V.

标准答案：（I）设切点为P（%o,yo）,于是曲线y=d在点P处的切线方程为：y-yo

二°”（无一刈），将点（I，0）和yo=e”°代入切线方程得：xo=2,yo=e2.于是切线

SD=f（1+eTy-l”）dy

=-he-,—ylny+y-犷其

方程为：y=e2（x—1）.D的面积：°

「'lim

中knydy为反常积分，i+ylny=0.（II）由旋转体体积的套筒法公式有:

标准答案：（I）由于向量组四，62,013与由，位，的等价，可知向量01，「2，03

都能由向量组ai，a2，c（3线性表示，也即线性方程组（ai，a2，ct3）x~Pi»i=1»

2,3有解.为此，对增广矩阵（ai，a,a,由，彷，的）作初等行变换,

99923

112a40]1112a40

(a,a0，/L,住，优)=-110—10c-*022a—14c

1011610—1—11—ab—41

112a40]

-*0—1-11-ab-41

0001—a缪一4c+2,

可知a=l,b=2,c=-2(II)

fl21011

0—1—100110

00000000

ai，a2为ai，a2,013的一

个极大无关组，且仇={1-k)ai—ka2+ka3,k为任意常数.

知识点解析：暂无解析

0100

000

00y1

22、设矩阵A=0012.有一个特征值是3.(I)求y的值；(II)求正交矩阵

P,使(AP)TAP为对角矩阵；(ID)判断矩阵A2是否为正定矩阵，并证明你的结论.

标准答案：(1)3是A的特征值，故I3E—AI=8(3—y—1)=0,解出y=

010o1000

100o0100

(n)A=,ATA=A2=

002i0054

002