考研数学（数学一）模拟试卷324

考研数学(数学一)模拟试卷324

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

1、设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),则Z=max{X,Y}的

分布函数为

A、F2(X).

B、F(x)F(y).

C、1-[1-F(x)]2.

D、[1-F(x)][l-F(y)].

标准分索・A

知识点解扁暂无解析

2、下列矩阵中不能相似对角化的是

标准答案：C

知识点解析：A~4oA有n个线性尤关的特征向量.记C项的矩阵为C,由

|A-I-2-3

|AE-C|=|A-I-2=(A-I)'

A-।可知矩阵C的特征值为九=1(三重

ro-2-31

r(E-C)=r(J0-2=2

根)，而Lo00J那么n〜r(E—C)=3—2=1.说明齐次线性

方程组(E—C)x=0只有一个线性无关的解，亦即人=1只有一个线性无关的特征向

量，所以C不能对角化.故选C.

11o

耍使耳■o1都是线性方程组心=0的解，只要系数矩阵4为

-1/2J1-1/2.

(A)[T]2]<B>[o：[I

,01-1

(D)4-2-2

.011.

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析:

【解析】因为耳氐是Ax=0的2个线性无关的解，故，Lr(A))2,知r(A)&l.故选

(A).

4、

设P(±・S与。(z・y)在平面区域D内连续并且有连续的一阶偏导数，则“祟三爱，当6夕

是“对于D内的任意一条逐段光滑的封闭曲线LfPGr,y)dz+Q(H,y>dy=0”的().

(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件

(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

解先证必要性，反证法，若李若算，不妨设在点

oxOy

(x0,7o)6D处票一甯＞0.由连续性知，存在点(加，

y。)的邻域U,当Cr,y)£U时孕一孚＞0.在U内取一

oroy

条逐段光滑的正向封闭曲线L,记其内部区域为D1，R

CZU,由格林公式

,P(z,y)di+Q(N,3ddy=JJ(,—需)日”＞。，

LD}

与，P(z,y)dI+Q(i,y)dy=0矛盾，所以由，=0必有

LL

9Q_9P、仁n

芬=芬，当(/,?)£D.

但由段三言，当(K)6D推不出§Pdi+Qdy=

0.反例={(x»jz)|x?y>0},P=-3~~,Q=

工+y

1-%了，有爵三言当(i.y)eD,但若取L：N=cost.

y=sin£,Z从0到2久，有(|)Pd;r+Qdy(sin2Z+

L

cos2Od/=2兀产0.所以选(B).若命题前提添设“D为单

连通区域”，则应选(c).

5、设2=式乂，y)在点(0,0)可偏导，且Fx(0,o)=a,fy(0,0)=b,下列结论正确的

是

()•

(A)存在在(0.0)处连续

,T

(C)dz|.o,=actr+/>dy(D)与都存在且相等

(iL。L。

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

‘fl2,(3)X(0,0)・

产+V

知识点解析：取f(x,y)='.Cr，y)=(0,0).f(x,丫)在(0,o)处可偏导，但

lim/

l。(x,y)不存在，且f(x,y)在(0,0)处不连续，不选(A),(B)；因为z=f(x,y)可

偏导不一定可微，所以不选(C),应选(D).

6、

设a”,6是3个正实敷aY"V储则方程当+缶+占；=0(>•

(A)没有实根(B)正好1个实根(6正好2个实根(D)正好3个实根

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

解改写原方程为

<21(X-Ao)(X一入3)十々2(1—入］)(N一入3)十。3(1-

A))(x-A2)=0g

并不改变实根个数，记上述左边为了(工)，易知

/(AJ=卬(入-A2)(A1-入3)>0.

/(A2)=a?(A2-A|)(A2—A3)V0,

,/(A3)=%(入3—A|)(A3—A2)>0,

故在区间a「小)与(％,z)内分别各有i个实根.

而人工)为二次方程,至多有2个实根，所以正好有2个

实根，选(C).

Illi400O-

11110000

A=,B=

11110000

7、（2001年试题，二）设1111-0000」则A与B().

A、合同且相似

B、合同但不相似

C、不合同但相似

D、不合同且不相似

标准答案：A

知识点解析：首先要明确合同与相似的定义：两个实对称阵相似一它们特征值全

一样；两个实对称阵合同一它们特征值符号全一样.由此，计算A的特征

-A11

=0

11-AI

值.由IA—证|=0,则有।1II-4可算得九1=4，

九2=入3=屹=0，对应于入1=4,A有相应的特征向量eq；对应于九=0,由

11111iiir

Illi0000

A-0,E=一则r(4-0•

11110000

1IIHn0nn-则r（A-O.E）=l从而它有

4•1-3个线性无关特征向量,记为02,。3,04，令P-®1,（12,1X3,04），必有p-

AP=B,因而A与B相似，同时由前述已知，可用施密特正交化P为正交阵

户，使得户1户=5,综上知A与B合同且相似，选A.注意相似和合同的区别：

实对称矩阵合同时，它们不一定相似，但相似时一定合同.如：

4I1°】与BI[0]

=lo2r=lo3]它们的特征值不同，故A与B不相似，但它们的正惯性指数

均为2,负惯性指数均为0,故而它们合同.

8、

1111-4000-

1111

设0000

A=B=，则A与〃

1I110000

L1110

1-000J

（合同且相似.

A）（B）合同但不相似.

（C）不合同但相似.

（D）不合同且不相似]

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：

【”网目的)考查矩阵合同与相似的概念.

【禅依M答】因为A是实对称矩阵,且其特征值为:九=4,%=Aj=A,=0,故存在正交矩阵

Q,使得

,4000)

0000

。乂。=。7。=

0000

^0000>

可见，则A与8既合同又相似.

［易错辨析］要掌握矩阵合同与相似的定义及判别法.

［延伸拓展］两个实对称矩际相似必合同，合同未必相似.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

厂*,x至0

9、设随机变量X的概率密度为°,”(。求随机变量Y二eX的概率密

度fy(y)=-

标准答案：l/y2

知识点解析：暂无解析

10、

若lim--1—[---——d/=1,贝I]。=.

x-oX-sinxJo</a+t--------

标准答案：x-y+z=O

知识点解析：

{1,2,1}X(0,1,1}={1,-1,1}是所求平面的法向量，故平面

方程为X-y-^-z—0.

11、设“(7)="(，)(,=〃•+r当wo时有连续的二阶偏导数且满足

IaJIaj则u=u(r)满足的常微分方程是

标准答案：““⑺+刊⑺:/⑺

知识点解析♦：由复合函数求导法，建立U对X,y的偏导数与u对r的导数间的关

系，把题设方程转化为u(r)的常微分方程.u(x,y)是u(r)与『="^的复合，注

乎=丁⑺/=u'(r)三

dxdxr

意—…一★由对称性一

—duu(r)——/

dyr

d:u”w)号它们相加得

k

(黑+篇=/⑺，*噜='⑺­'⑺因此u=u(r)满足的常微分方程

M!4"(r)♦二u'(r)«u，2(r)

12、

交换枳分顺序:

f(xty)dy=.

标准答案：

W271+yf2-y

知识点解析：

分析:解此类问题，一般可由所给累次积分的积分限，画出积分区域D的图形，如图1一8—1,然后

按新次序写出二次积分.

由已给二次积分的积分限，可知积分区域为

。号一】41y《2-6&N42.

作区域D的图形，交点坐标为A(-6,8),8(2,0),故

L间0(*，y)dy=£,d41X/(x,y)dx

图1-8-1

13、

设函数y=y(x)由参数方程｛":♦')所确定，则*=

标准答案：

由参数方程求法则¥=4,

dxx]

有立=£±2,=孙2==3/-2,

dx.1tt

1—:■■•

1+t14t

所以"=T(?>・¥=(&+5)・；=如q=g+5段土D

dxdtdxdxdx_lt

dtI+t

知识点解析：暂无解析

设随机变量X的概率密度为

g,[0,1]

[3同‘

0,其他

若4使得P{X>8=V，则上的取值范懵是^

14、3-----------

标准答案：[1,3]

知识点解析：

先计算X的分布函数

0,x<0

[JcLr=卷，0<x<1

Jooo

F(x)=j/(x)dr="»1&ZV3,

1+Kfdr=fx-1,34H<6

1,m26

而P{X»}=1-F⑴，故F(4)T，可见当在[1,3]时,F(A)T・

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

15、

计算二重积分/=+外加.其中。为，+/=11+产=2%所围中间一块区域.

标准答案:

【分析与求解】。如图，关于*仙对称n

其中D,=Dn|r>0|.

方法1。在。町直角坐标系中先4后y的积分顺序（不必分块）=

（专（-?,

其中，两圆周的交点是(小亨).于是

JL.।GT年____

/=212.—X2|,dy=](-1+2>/1-y2)dy

=_^+2j；47‘dy

=-亨+24.年+以・[•亨)

J373irtr-J3

=-T+T+T=T-T'

方法2°作极坐标变换，并选用先对e枳分后对r积分的顺序•

x2+y2=2x的极坐标方程是r=2co50,于是，的极坐标表示是

OWr&l,0W6&arccos—.

=2Jr2sin(arccos-■)dr=2//Ji-(-^-)2tlr

======2J*23sin2fcos2tdf=22Jsin22zdz

fT.IT1

=21(1-cos4i)<^=2(--------sin4t。）一了-了

Jo64

方法3。作极坐标变换后,若选择先对，积分的取序•则D,要分块表示:

f)i：0&8W[•,()WrW1《gW,0这rW2cos^v

I与*2+y2=2x的交点(j~,空)对应的e-.于是•

其中，一+y2

/=2.(kdy=2(1d心,rcos^dr+J.dd]r•rcos^dr)

a

=2,/sin。|+2,寺].cos'ddG

Q[产

+2,-Z-,-z-|(3+4co$2。+cos4。]d"

3O/y

.

+,[3号~*y)+2sin28

+丁sin4。

T4f

知识点解析：暂无解析

16、

设/（z）在［0,1］上有连续导数，且/<0）-0.

2<x）dr

证明：至少37610,1］,使f'（m=f/,

标准答案：

【分析】因为，（工）在［0.1］上有连续导致,所以只需证明常数21八公上在函数f'（幻的最大值与

最小值之间，由介值定理即可证明.

【证明】因为/（x）在［0,1］上有连续导数，所以，函数f'（工）在［0,以上取到最值.

设最大与最小值分别为M与m,即有m&f'（幻£［0,1］.

又由中值定理有/Cr）=/（x）-/（0）=xf'（©,得2^f（.x）dx-

2mJxdx42/(x)dr=21if'(0<£r42叫「山工，即

（力a4M,由介值定理，至少力6［0,1］,使广卬=217（x）dz.

I评注】本题集合了最值定理、介值定理、中值定理及定积分的性质.：/1

知疯司渐：暂无解析

17、

设总体X〜未知,Xi，Xz，…,又36是取自X的一个简单随机样本，如果以区间

（又一1,京+1）作为〃的置信区间，求置信度.伉=2玄X,）

标准答案：e

【解析】依题设，置信区间的长度为2,所以

2zan•二=2.2Z〃2•—2,zan=-^^/~2%2.12,

VzTV362V22

1_。=20（2.12）-1=0.966.

因此以（又一1,灭+1）作为〃的置信区间，其置信度为0.966.

知识点解析：暂无解析

18、

设A是3阶实对称矩阵，巳知A的每行元素之和为3,且有二重特征值福=而=L

求A的全部特征值、特征向垃，并求A".

标准答案：

解A是3阶矩阵,每行元素之和为3,即有

故知A有43=3,2=[Liar.

又A是实对称阵，不同特征值对应的特征向景相互正交，故设儿=A2=1的特征向♦为

4=[*1，工2,43],应有

祈=q+工2+工3=0

解得两个新=22=2线性无关特征向量为

备=[-1,1,O]T,=[-1,0,1]T

1-1r

取尸==1o1

0ii.

P-1AP=A故

A=PAP1A"=PAPIPAPT…PAP-1=PAnP-l.

其中pT

-1-1100'一101=010'0010'

10i010011!0101001

.011：001.0-12：1Q■003

121

O

3--3

3

O112

--3-

33

I1

11

--

333

An=

?]

2+3s-1+3""3+3"'

i-1+3"

2+3-1+3-

L-1+3"

-1+3"2+3".

知识点解析：暂无解析

19、求空间第二型曲线积分《3一'〉”+评一/)力1=一,)&其中匕为球面

x2+y2+z2=|在第1象限部分的边界线，从球心看L,L为逆时针.

标准答案：法一参数式法.将L分成3段，在xOy平面上的一段记为Li，参数式

为x=cost,y=sint,z=0,从2到i=0.于是

(sin2t(.~sin/)-ct)s:t•cosl)dt-y

3其他两段计算类似，于是

4r

3法二用斯托克斯公式.取曲面S：x2+y2+z2=1,x>0,y>0,z>0,

I=—2/（y+c）dyck+"?r）dr（i.r^Cr-bjOcbdy.

法向量指向原点.于是二取

:IT<7+_y）drd_y

s计算之.S在xOy平面上的投影为D、y=｛（x,y）Ix2+y2q.x>0,

IJ（j--^y）d.rdy=—\\

<j（才+y）d.rdyqI'd8jL（cos6十sin。）”一

y>0）.于是二%

其他两个类似,从而L=T-])X3=4,

知识点解析：暂无解析

20、

x|siar|dz

（I）求极限㈣J。（〃+>

(n)记4=-----------，证明级数S(-1)&收敛.

xIsinz|dz…

标准答案:

解（I）xIsinxIdx=/,x|sinx|dx

.0JAir

而

x|sinxIdxCkn4-r)sinrdi=(2A+1)TT,

所以

1r-1

xIsinxIdz=Z(24+1)TT=

so

故

原式=阳白*

<n）由（I）知

〃1

a

n2nnn

xIsinxIdr

显然，lima.-0,且数列｛%｝单调减少.由莱布尼兹判别法，知级数X（一1）七・收敛•

L8N.|

知识点解析：暂无解析

21、（2002年试题，五）计算二重积分*其中D=｛（x,y）10<x<l,0<y<l）

标准答案：由于题设所给被积函数为emax（xl,yl），因此应将积分区域D分块，分别

求相应部分的积分值再累加，由己知D=｛（x,y）I0<x<l,0<y<l｝,则如图1一

67所示.显然应将D划分为Di与D?两部分，在Di±maxH，y：｝=x2,在D2

原积分=Je,2dxdy+,』dxdy=

0)

dx+(dy[e^dx=

1max{x2,y2)=y2,由此="；+"X=e-l

ni<6-4解析二由于被积函数中的X,y具有可交换性，即f（x,

y)=emax(x2,y2)=f(y>x),f(x,y)关于直线y=X对称,故而

jjf(x,y)dxdy=2”(“)dxdy=2,xe-1

oX**

知识点解析：暂无解析

22、

巳知平面区域0={(x,y)I0W",0&yW川，L为O的正向边界.试证：

(I)jxe^dy-ye'^dx=ge-叼dy-ye^dx；

(2),e""dy-ye^dxM2TT:.

标准“答案：

【命IS目的】考查第二类曲线积分的计算.

本题边界曲线为折线段,可将曲线积分直接化为定积分证明，若曲线为封闭正向曲

线，自然可想到用格林公式;(2)的证明应注意用(I)的结果.

【悼・M¥l】(I)左边=(宣/而打-fne・"2dx=口，(1-+^石)也，

,im

右边=£irc-^dy-jye^dx=JL+e')dX,

所以jxe^dy-ye…'<k=夕e^dy-ye^dx.

LI

(2)由于J"1+/旧"2,

故由(I)得料.打-ye^dx=irpeMK+e'^jdxN2TT2.

L

【"MM咎2](1)根据格林公式，得

dy-ye-,Mdx"n?+C—)do,

刎23-ye^dx=+e.)do,

因为。关于y=为对称，所以

|(e^+eTa)db=,(