空间向量、立体几何

2024年高考数学复习新题速递之空间向量、立体几何（2023年

12月）

一.选择题（共8小题）

1.如图，正方体中，直线6。与平面A6CQ所成角的正切值为（）

A.1B.近C.返D.返

223

2.已知空间四边形。A8C,点M在线段OA上，且不j=2而,点N为4C的中点，设赢

0B=b0C=G则而=（）

3.给出下列命题，其中错误的命题是（）

A.向量Z，E，3共面;即它们所在的直线共面

B.若对空间中任意一点O,有正寺X*而,而，则尸，A，B,C四点共面

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.己知向量Z=（9,4,-4>b=（1,2,2>贝Jattb上的投影向量为（1，2,2）

4.已知向量Z、E是平面c内的两个不相等的亦零向量，井零向量彳在直线/上，贝晨・二=0,

且c*b=0是Ila的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.如图，在平行六面体A8CO・AI8IGOI中，M为A］。，Bid的交点.若标=2，AE=

1-1——1—1——

C.-—a-—b+cD.—a-—b+c

2222

6.在正方体A8CO-486Qi中，点M为棱A8上的动点，则AiM与平面AB。。］所成角

的取值范围为（）

人nn_n7i.C「兀兀D「兀兀］

A.r——,——]DB.r「——,——ic•［廿V］I-1

L42」L63J

7.已知平面a={p后•晤=0}，其中点Po（1，2,3）,法向量W=（l,1,1）,则下

列各点中不在平面a内的是（）

A.(3,2,I)B.(-3,5,4)C.(-2,5,4)D.(2,-4,8)

8.平面O/W_L平面a,OAua,OA=V3>AB=2,二旦二平面a内一点夕满足附

6

LPB,记直线O尸与平面O4B所成角为3则sin。的最大值为（）

c

-410

（多选）9.已知棱长为1的正方体A8CO-A向an中，P为线段AC上一动点，贝！下列

判断正确的是（）

A.存在点P,使得C1P〃4力

B.三棱锥P-8。。的外接球半径最小值为近

3

C.当夕为4c的中点时，过P与平面BC\D平行的平面截正方体所得的截面面积为盟2

4

D.存在点P,使得点P到直线ACi的距离为名

5

（多选）10.已知直四棱柱A8CQ-底面ABCO是菱形，/虹），=2上，后AAI

3

=AB=4,M为48的中点，动点夕满足而二x丽"[+y而，且■）日。，1]，则下歹!说法

正确（）

A.当MP〃平面AQQIAI时，X，

x2

B.当x+），=1时，8。的最小值为2^2

C.若CPLBDi，则P的轨迹长度为加

D.当），=2x（xWO）时，若点。为三棱锥P・MB。的外接球的球心，则0P的取值范围

为[2,2V5）

（多选）11.卜列关于空间向量的命题中，止确的有（）

A.若向量R,7与向量；，m,彳分别构成空叵的一个基底，则7〃三

B.若非零向量2E,W满足Z1KE1Z,则有之〃工

C・若向，0B,无｝是空间的一个基底，且无4（加+3+66），则A，B，c,D

0

四点共面

D.若G+E,b+c,3+Z｝是空间的一个基底，则u,b,W｝也是空间的一个基底

（多选）12.如图，已知正方体44c0-4由iCiOi的棱长为I,则（）

A.AC1B\D

B.Ai。〃平面BiCQ

C.平面A8]CD与平面A8CO的夹角为45°

D.点Ci到平面&CD的距离为返■

三.填空题（共5小题）

13.如图，平行六面体ABC。-A'B'CD'中，AB=4D=1,A4'=2,ZBAD=ZBAA'

=ZDAA'=60°,则AC'的长为

14.点A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若。在线段A8上，且满足CO_LA8,

则点D的坐标为.

15.已知Z=(o,1,m),b=(0,n,-3)分别是平面。，B的法向量，且a〃0,则加〃

16.己知向量a，b，c两两夹角为60°,且lai—Ibl—Icl—1，贝Ula十b-cl

17.如图，在二面角a-/-0中，AEhBEl,ACca,8Qu0且人C_LA4,BDA,AB,垂足分

别为4,B,已知AC=AB=BD=6,CD=12,则二面角a-/-0所成平面角

四.解答题(共5小题)

a

18.如图所示，在三棱柱ABC-481cl中，B8i_L平面4BC,ZBAC=90,AC=AB=AA],

E是BC的中点.

(1)求异面直线AE与AC所成的角的大小；

(2)若G为0C中点，求二面角C-AG-E的正切值.

19.平行/、面体A6cO-A向CiDi中，底面A6c。是边长为2的正方形，侧棱A4i=4,且

N4AO=NAiAB=6(T,M为8D中点，P为BBi中点,设标=Z，AD=b而二.

(1)用向量a，b，c表示向量PM：

(2)求线段PM的长度.

20.如图，在四棱锥尸-4BCO中，平面两B_L平面ABCD,AB1AD,AD//BC,PA=BC

=3,AB=AD=2,E为PO中点，点尸在尸。上，且PC=3/C.

(1)求证：A8_L平面附。；

(2)求二面角厂-的氽弦值；

(3)线段AC上是否存在点Q,使得QQ〃平面用E?说明理由.

21.如图，边长为2的等边△PC。所在的平面垂直于矩形ABC。所在的平面，BC=2~回,

M为8c的中点.

(1)证明：AM_LPM；

(2)求平面附M与平面0AM的夹角的大小：

(3)求点。到平面AWP的距离.

p

AB

22.如图，O],O分别是圆柱上、下底面圆的圆心,该圆柱的轴截面是边长为2的正方形

AHCD,P,。分别是其上、下底面圆周上的动点,已知P,Q位于轴截面ABCD的异侧,

且NAOQ=NOO]P=8（o<9<；

।2

（1）当A，P，Oi，Q四点共面时，：Re；

（2）当e时，求二面角A-PO-O\的正弦值.

4

frl

“・・”・・・・J

2024年高考数学复习新题速递之空间向量、立体几何（2023年

12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.如图，正方体ABCO-AIBICIOI中，直线B出与平面人BC。所成角的正切值为（）

A.1B.返C.返D.返

223

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】对应思想；综合法；空间角；数学运算.

【答案】C

【分析】连接80,由。平面/WCQ,知/。8出即为所求，再利用三角函数的知识

求解即可.

【解答】解.：如图所示，连接8Q,

因为。£＞」平面A8CD,

所以是直线85与平面ABCQ所成角，

设正方体棱长为1,则DDr1,DB斗75，

所以tan/DBDi=祟=*.

1UD/

故选：c.

【点评】本题考查空间中线面角的求法，熟练掌握线面角的定义与找法是解题的关键，

考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

2.已知空间四边形0A8C,点M在线段0A上，且8j=2而，点N为8c的中点，设赢

OB=bOC=G则而=（）

「2-1：1-2TI71-

C.丁nD.ya^b-c

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算，求解即“J.

【解答】解：由诬=2而，知而=2赢，

3

因为点N为8c的中点，所以示=2（族+丘），

2

所以而=度-m=2示-工（0&4-0C）=2a-1b-

32322

故选：C.

【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

3.给出下列命题，其中错误的命题是（）

A.向量Z，E，3共面，即它们所在的直线共面

B.若对空间中任意一点0,有用△•西△而J而，则P,4,B,C四点共面

442

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的•个基底，则这两个向量共线

D.已知向量彳=（9,4,-4），b=（l,2,2），贝在石上的投影向量为（1，2,2）

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用；共线向量

与共面向量.

【专题】时应思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】A,根据向量共面与直线共面的区别，可判断；B,根据向量的线性运算法则，

可得AP=PB+2PG再由空间向量基本定理，可判断；C,由空间向量基底的性质，可判

断；。，根据投影向量的计算方法，即可得解.

【解答】解：对于A,向量可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直

线，即4错误：

对于B,,•*OP-JOAU-OB-4OC，•••y(OP-OA)(OB-OP)-4(OC-OP)*即

士七乙3*x乙

AP=PB+2同，

:・P,4,B,。四点共面，即B正确；

对于C,根据空间向量基底的性质可知这两个向量共线，即C正确；

对于。，Z在卫上的投影向量为|7卜1•工=名邑・卫=箜卫・(1，2,2)

laHlblIbl|b|29

=(I,2,2),即D正确.

故选：4.

【点评】本题考查空间向量的概念，包含共面向量，基底等，还涉及投影向量的计算，

考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

4.已知向量彳、E是平面a内的两个不相等的非零向量，非零向量W在直线/上，则Z：=0,

且c*b=0是/±a的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】向量的数显机判断向晟的共线与垂直；充分条件与必要条件.

【答案】B

【分析】根据充分条件，必要条件的概念，及线面垂直的判定定理及性质，以及两非零

向量垂直的充要条件印可判断出7工=0,且工・5=是/_La的什么条件.

【解答】解：(1)由3Z=0,c-b=0^^cl；,clb^

•••之，三所在直线不一定相交，工所在直线为/;

・・.得不到/±a：

即c・a=O,且c・b=C不是/_La的充分条件；

（2）若/_La,向量彳，石所在直线在平面a内，W在直线/上;

•—♦—♦—♦—•

,•cJ_atc_Lb;

•**c•a=0>且c•b=C：

即ZW=O，且ZE=是/_La的必要条件;

综上得ZZ=O,且ZE=是/_La的必要不充分条件.

故选:B.

【点评】考查两非零向量垂直的充要条件，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，以

及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念.

5.如图，在平行六面体ABC。-Ai6|Ci。中,M为A1C1，301的交点.若AB-a，AE-

b，AA；=C,则向量BM=（）

1-i——1—i——

C.-—a-—b+cD.—a-—b+c

2222

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】计算题；数形结合；定义法；空间向量及应用.

【答案】A

【分析】向量后!=函+B]D；=函-4-（BA+AD）»由此能求出结果.

【解答】解：•・•在平行六面体ABCO-AIBICOI中，M为Ai。，团力|的交点.

AB=a，AE=b.=c，

・•・向量百1=可,Bp；

=画卷（或+记）

故选：A.

【点评】本题考查向量的求法，考杳空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力,

考查函数与方程思想，是基础题.

6.在正方体48CO-AiB6Z）i中，点M为棱4B上的动点，则4M与平面ABCiDi所成角

的取值范围为（）

A「7TJT_Qi•兀兀r厂「兀兀rnr兀兀r

A.r——,——1B.r——,——1c.r-,——iD.r——,——1

L42JL63JL64JL43J

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】对应思想；定义法；立体几何；逻辑推理；直观想象.

【答案】C

【分析】设AD|AA|Q=。,连接0M,则可得N4M。即为4M与平面所成角仇

设人人|=2,表示出tan。，求出其范围，从而可求出。的范围.

【解答】解：设AQiM|O=O,连接0M,则4QiJ_4。，

因为在正方体ABCO-AiBCiDi中，平面ADDiAi,4Du平面ADDiAi,

所以4B_LAOi,

因为AD|CA8=A,A。]，A8u平面ABCiOi，

所以4]O_L平面43。。,

所以乙AiMO即为41M与平面ABCIQI所成角0.

Ai0Jo

设AA।=2,tan8=-------=------，

ON0M

因为正＜0M《泥，

所以tan8€"g"，I】'

因为0f[0,所以0W-T-],

Zb4

故选：c.

小

【点评】本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题.

7.己知平面a={pG•贷=0}，其中点Po(1，2,3),法向量W=(l,1,1)，则下

列各点中不在平面a内的是()

A.(3,2,1)B.(-3,5,4)C.(-2,5,4)D.(2,-4,8)

【考点】平面的法向量.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】结合各个选项分别求出席，计算三.存的值是否为0,从而得出结论.

【解答】解：平面a={p后・耳了=0}，其中点尸o(1，2,3),法向量(1,1,1),

对于A,设P(3,2,1),则不病=<2,0,-2),

•・•京・7=2・2=0,J(3,2,1)在平面a内，故A错误：

对于B,设尸(・3,5,4),则p°j5=(-4,3,1)，

•・•酹・7=-4+3+l=0,:.(-3,5,4)在平面a内，故B错误；

对于C,设尸(-2,5,4),则可干=-3,3,1),

VpQp*n=-3+3+1=1=#0,/.(-2,5,4)不在平面a内，故C正确；

对于。，设夕(2,-4,8),则可？=(1，-6,5),

VPgP*n=l-6+5=0,/.(2,-4,8)在平面a|司，故。错误.

故选：C.

【点评】本题考查平面的法向量、向量数量积公式、向量坐标运算法则等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题.

8.平面0A4_L平面a,OAua,OA=V3>AB=2,2/QAB=12L,平面a内一点夕满足以

6

LPB,记直线OP与平面04B所成角为e,则sine的最大值为（）

A.AB.AC.在D.2/12-

23510

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】数形结合；综合法；空间角；逻辑推理.

【答案】B

【分析】通过线面角的定义作出线面角，根据点尸的轨迹确定角最大时的位置，利用直

线与圆的位置关系结合直角三角形求解即可.

【解答】解：如图：过8作8"垂直OA的延长线，垂足为“，连接PH,OP,

取A”的中点为E,连接PE,过点P作P/LLOA,垂足为「，

因为平面。A4_L平面a,且平面O/WG平面a=Q4,

BHu平面OA8,PFua,所以B〃_La,PF_L平面Q4B,

所以OP在平面OAB上的射影就是直线OA,

故NAOP就是直线。尸与平面O4B所成的角仇即/A0P=6,

因为APua,

所以附_L3”，又附_LP8,P3C3H=8,

PBu平面PBH,平面PBH,

所以E4_L平面。4H,P〃u平面P/汨，

则见_L尸从所以点P的轨迹是平面a内以线段4〃为直径的圆（A点除外），

因为0人=如，A8=2，NAOB=¥"，

6

所以NBAH=3，AH=2cos

66

所以当且仅当PE_LOP,

22

即。P是圆七的切线时，角0有最大值，

V3

PE二2二1

则sin。的最大值为

【点评】本题考查了空间中直线与平面所成角的计算，考查了直线与平面垂直的判定,

考查r数形结合思想，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.已知棱长为1的正方体中，尸为线段AC上一动点，见下列

判断正确的是（）

A.存在点P,使得C1P〃4力

B.三棱锥P-BC\D的外接球半径最小值为渔

3

C.当P为4c的中点时，过P与平面BC1D平行的平面截止方体所得的截面面积为型2

4

D.存在点P,使得点P到直线81cl的距离为刍

5

【考点】点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；平面的

基本性质及推论.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算.

【答案】BCD

【分析】建立空间直隹坐标系，根据向量共线求解4根据正三棱锥的性质，结合外接

球半径的求解即可判定B；根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C；

建立空间直角坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解Q.

【解答】解：对于从由/3C=CO=4Q=2,可得为等边三角形，

且其外接圆的半径为r=lx®。

2sin603

由于AA|_L平面48CQ,4Du平面48C。，所以A4|_L4D,

又4CJ_BQ,ACOAA\=A,AC,Mu平面A4CC，

所以平面AAiCiC,ACC平面A4cC，

故BD_LACi，同理可证BCi_L4。,

又BDCBQ=B,BD,6C]U平面5DC”故A。_L平面6OCj,

因此三棱锥P-BC\D为正三棱锥,

设外接球半径为R，球心到平面BDC】的距离为h,

则^=Vr2+h2,故当〃=。时，R=为最小值，故B正确;

3

对于C,取48,CiDi，AO的中点分别为M,Q,N,

连接NM,MQ,NQ,

当P是AC的中点时，也是QM的中点,

则该截面为与平面BCiD平行的平面截正方体所得的截面,

进而可得该截面为正六边形，边长为NM=&AM=Y2,

2

所以截面面积为6Xgx与X除Xsin600）至%，

故C正确;

乙乙乙4x

对丁D,建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(0,0,0),C(0,1,0),4(1,0,1),

C1B1=DA=⑷°，°)，

设A]户=。A]d=。(-1,1，-1)=(-a,a,-a),(OWaW1),

则B]g=A]g-A]B；=(-小〃，")-(。，匕0)=(-a,a--a).

所以点夕到直线的距离为:

I・2/°C]B]

d=、师-(B^-^4-a^-2a+l_a2

=42』-23+1

由于OWiWl,所以d=1]，

由于小限1],故。正确;

对于A,由于Big=(-ma-I，~a),/.P(1-a,a,1

又Ci(0,1,1),则c]，=(1-a,a-1,-a),

又A（1,0,0）,B（1,1,1）,AB=（0,1,1）,

若AB=（0,1,1）与C[3=（1-。，a-1，-。）共线，

贝i]1-4=0,a=l,止匕时C]g=（0，0，・1），

止匕时AB；=（05L1）与C]?=<0,0,-1）不共线，

故。P,ABi不平行，却不存在点P,使得CiP〃ABi，故4错误.

故选：BCD.

【点评】本题考查空间点线距离的计算，考杳线线关系的判定，考查棱锥外接球相关计

算等知识，属中档题.

（多选）10.已知直四棱柱4BCO-48CNI，底面/WCO是菱形，^/^Q=22L,且A4I

3

=AB=4,M为48的中点，动点P满足而二x丽"[+y而，且无）40，“，则下列说法

正确（）

A.当MP〃平面AOQIAI时，Y=A

x2

B.当戈+），=1时，BP的最小值为2^2

C.若CPJ_8。，则P的轨迹长度为加

D.当y=2x（xWO）时，若点。为三棱锥P・M8。的外接球的球心，则OP的取值范围

为[2,2V5）

【考点】点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用：棱柱的结构特征.

【专题】对应鬼相：综合法：平面向量及应用：立体几何：数学i云算.

【答案】BD

【分析】取。向的中点。1,8。中点。2,证明平面MOiOz〃平面4054,由此确定P

的轨迹，可判断4由条件确定P的轨迹是。小，可判断4；分别取A。，BBi中点。2,

M证明平面CNQ，由此确定P的轨迹为NQ,可判断C；取。Qi的中点。连

接BQ交0102于点5,过8作。交O2O1于点E,由条件确定点P的轨迹，由此

判断。.

【解答】解：因为动点P满足而=乂丽~^+7而，且大，）日0，1〕，

所以点P为矩形8QA以内一点（含边界），

对于选项A,取Q出的中点01，3。中点3,连接0。2,OiM,

因为M为4B的中点，所以O2"〃A。，

又AQu平面AOOIAI，MQU平面AOOIAI，

所以〃平面A。。山,

同理0。2〃。。1，QQu平面AQOIAI，0102c平面AOD1A],

所以0i3〃平面4。。出，

乂013。02M=。2，。1。2,OzMu平面MQ3,

所以平面“。|02〃平面4。。31,

因为MP〃平面AQO14，则P的轨迹是线段01。2,

所以逐场+踮二夕前+入西,

又面二xBB；+y而，所以y」，工日0,1],故A错误；

对于选项8,因为为=xBB；+y而，A+V=1,H..ve[O,lbye[O,lb

所以而-丽=x（西-而），所以而二乂函…日。，1】，

所以P的轨迹是DB],

由已知，AB=AD=4,/BAD三，所以8D=4,又抽产4,

3

所以四边形8DU81为正方形，所以8P的最小值为KjQ,故8正确;

对于选项C，分别取8D,8B1中点02,N,

因为底面A4C。为菱形，所以C3J>B。，

又。。△平面ABC。，CQu平面ABC。，所以C02工DDi，

乂BDClDDi=D,且两直线在平面内，

所以CO2_L平面BDD1B1，

又BQiu平面8OQ181，所以8QI_LCO2.

因为四边形8QQ131为正方形，所以8DI_LNO2，

又。。2m。2=。2，CQ，N02U平面OV02，

所以B/力_1_平面CN（h，所以〜的轨迹为NO?,

^N02-1B1D=2>/2>故0错误;

对于。，取。。।的中点Q,连接4Q交O1O2于点S,过8作8七_1_8。交。2。1于点£，

当y=2x(xN0)时，BP=xBB^+2xBD=2x(yBB^+BD)=2xBQ*x€[0,打

所以P的轨迹是线段BQ,

因为△A3。为等边三角形，M为AB的中点，所以QM_LAB,

又因为O为三棱锥P-MBD的外接球球心，所以OM=OB=OD,

所以点。在直线。2。|上，

在△P8Q中，()P=()B,则点。在线段的垂直平分线上，

所以点O为直线3Oi与线段BP的垂直平分线的交点，

当P与Q重合时，点。为S；

当尸与B重合时，点。为E；

当P在线段8Q上时，点。在线段SE上；

因为0尸=。8,所以08加〃=。28=2,OB=EB=2\/5,

IR3X

因为X,)ao,1],且x#0,所以OP的取值范围是[2,275),故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考杳面面平行的证明，空间图形中的轨迹问题，空间向量的线性运算，多

面体与球的切接问题，线面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属难题.

(多选)II.下列关于空间向量的命题中，正确的有()

A.若向量=T；与向量二m；分别构成空向的一个基底，则7〃三

B.若非零向量W,b>[满足软_Lbb_Lc»则有a〃c

C若血，OB,正｝是空间的一个基底，且而4(茁+而+66)，则A，B,C,D

四点共面

D.若G无，b+c,W。｝是空间的一个基底，则｛a,b,W｝也是空间的一个基底

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理..

【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理.

【答案】CD

【分析】由基底的概念可判断A；举反例，例如空间直角坐标系，可判断及结合向量的

线性运算与平面向最基本定理可判断C：根据空间向最基本定理可判断D.

【解答】解：选项八，由基底的概念知，:与七可能平行，可能相交，即人错误；

选项B,举反例，由空间直角坐标系知，Z与7可能垂直，即8错误；

选项C，因为而i］（而+而+玩）,

O

所WO^OEH-OE=OA+OB+OC，

所以而-m=（0B-0D）+（0C-0D）»即标=而+庆，

由平面向量基本定理知，4,B,C,。四点共面，即C正确；

选项。，设空间任何一个向量力存在唯一的实数对（x,y,z）,使得力=工（*%）+>'

—♦—♦—♦—♦

（b+c）+z（a+c），

所以d=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c，

所以G，b,彳）也是空间的一个基底，即。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查空间向量基本定理，空间向量基底的含义，考查空间立体感，逻辑推

理能力和运算能力，属于中档题.

（多选）12.如图，已知正方体ABC。-A出ICIOI的棱长为1,则（）

A.AC1B\D

B.Ai。〃平面BiCQ

C.平面48CD与平面A8CO的夹角为45°

D.点Ci到平面AC。的距离为亚

2

【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；直线与平面平行；二面角的平面

角及求法.

【专题】整体思想：综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【答案】ACD

【分析】根据正方体性质可利用线面垂直判定定理证明AC_L平面5与。，由线面垂直性

质可知A正确；易知平面8c。即为平面由4OC,显然4G与平面BCD相交于点4,

即3错误；根据二面角的定义可知N%CO即二面角的平面角为45°,即C正确；利用

等体积法即可求得点Ci到平面B\CD的距离为Y2,可得D正确.

2

【解答】解：连接AC,B。,如图所示：

对于4,由正方体性质可知，4B1_L平面ABCQ,

又ACu平面ABC。，所以

又因为A8CD是正方形，所以AC_L8O,

又凫BBi，BOu平面B8Q所以ACJ_平面88。，

8iDu平面8团。，所以可得AC_L8i。，即A正确：

对于8,平面BCD即为平面31AOC,又4cm平面5i4OC=Ai，

即4。与平面BCD相交，所以4错误；

对于c,平面4mleon平面/WCQ=CQ,易知BCLCD,

所以NB1CO即为平面与平面ABC。夹角的平面角，显然/8|。。=45°,

即平面48C。与平面ABC。的夹角为45°,可知C正确；

对于D,易知三棱锥Ci-BiCD与三棱锥B\-CiCD的体积相等，

设点G到平面BCD的距离为d,BP1SCD64sACCD^iCf

可得/X,X&Xl.d。xK1X1X1，所以d斗-

即点Ci到平面BCD的距离为亚，可得。正确.

2

故选：ACD.

【点评】本题考查空间点线面的位置关系，考查二面角，考查点到平面距离的求法，属

中档题.

三.填空题(共5小题)

13.如图，平行六面体A4C£>-A'B'C。'中，A6=月。=1,AA'=2,ZBAD=ZHAA

=ZDAA'=60°,则AC'的长为

【考点】空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】VH.

【分析】直接利用向量的运算求出结果.

【解答】解：利用向量的运算：|AC，,|2=|AB+BC+CC1*|2=l2+l2+22+2X1X1X

cos600+2X2X1Xcos600+2X1X2Xcos600=11.

所以|AC^l=VIi.

故答案为：vn.

【点评】本题考杳的知识要点：向量的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属

于中档题.

14.点4(1,2,I),B13,3,2),C(I,4,3),若加在线段AB上，且满足CO_LA8,

则点。的坐标为(二，为，旦).

【考点】空间向量及其线性运算；空间中的点的坐标.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【答案】(|,|).

【分析】结合题意，利用五il屈，AD//AB，建立方程组解出即可.

【解答】解：设。的坐标为Q(x,y,z),贝ij而=(K-I,y-4,z-3>

AB=(2,1,1>AT=(x-1,y-2,z-l)»

因为。在线段AB上，且满足CO_LAB,

2(x-l)+(y-4)+(z-3)=0

所以而1版，ADR熊,即，

-x---1—_y_2—z_1

2-1-1

88__5

解得:y=y,所以点。的坐标为

3,~3

5

z=-^r

故答案为：(工，1,1

333

【点评】本题考杳审问向量的坐标运算,空间点的坐标的求法,是基础题.

15.已知］=(0,1,m),1=(0,n,-3)分别是平面B的法向量，且。〃0，则〃”

=-3.

【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；共线向量与共面向量；平面的法向量.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】-3.

【分析】根据题意，分析可得2〃1>由此设a=/b，即(0,1,〃?)=k(0,n,-3),

进而分析可得答案.

【解答】解：根据题意，若a〃仇则有之〃E，

设即(0,1,勿)=k(0,n,-3),则有(卜kn,

Im=-3k

变形可得：加〃=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查平面向审的法向量，涉及平面平行的判断方法，属于基础题.

16.已知向量之，E，7两两夹角为60。，且可=市=|3=1,则iZ+E-3=_dE_.

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】转化思想：向量法：空间向量及应用：数学运算.

【答案】V2.

【分析】由数量积的性质，将向量的模转化为向量平方进行计算.

【解答】解：由题意，a*b=b*c=a*c=—»

2

则Ia+b-cl=V(a+b-c)2

_2~—2~—♦2二~二二~二二~二

—Va+b+c+2a・b-2a・c-2b・c

=V3-1

=V2.

故答案为：V2.

【点评】本题考查空叵向量数量积运算，属基础题.

17.如图，在二面角a-/-0中，AG/,B0,ACua,8Ou0且AC_LA/3,BDVAB,垂足分

别为A,B,已知AC=AB=BD=6,。力=12,则二而角a-/-R所成平面角为⑵)。.

【考点】二面角的平面角及求法.

【专题】转化思想；转化法；立体几何：逻辑推理.

【答案】120°.

【分析】设二面角a-/-S的大小为①且AC_L/,BDL,则V菽，而>=仇希=

(-AC+AB+BD)2=144,进而可得答案.

【解答】解：设二面角aT-0的大小为8且ACJJ,BDJJ,

所以V菽，而>=。，

所以五2=(-AC+AB+BE)2=AC2+AB2+B?-2AC-AB+2AB-BE-2AC-BE

=62+62+62-0+0-2X6X6Xcos0=144,

所以cos0=-

2

所以8=120°.

故答案为：120°.

【点评】本题考查二面角，解题关键是向量法的应用，属于中档题.

四.解答题（共5小题）

18.如图所示，在三棱柱人AC-4阳。中，AB」平面ABC,NBAC=90°,AC=AB=AAi，

E是8c的中点.

（1）求异面在线AE与4c所成的角的大小;

（2）若G为GC中点，求二面角C-AG-E的正切值.

【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角.

【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算.

【答案】（1）2L；

3

⑵V5.

【分析】（1）取以。的中点后，连4田，EC根据异面直线夹角定义可得，ZEiAiC

是异面直线AE与4c所成的角，设AC=A8=A4i=2,解三角形可得答案：

（2）连接AG,设尸是AC的中点，过点P作PQL4G于Q,连EP,EQ,则ER1AC,

由直三楂锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP_L平面ACQAi，再

由二面角的定义可得N尸QE是二面角C・AG・E的平面角，求解三角形得答案.

【解答】解：（1）取61cl的中点Ei,连4国,EC,则

・•・NEiAC是异面直线AE与4c所成的角.

设AC=A8=A4i=2,则由NBAC=90°,

可得4e=4£=a，4C=2近，EICI=EC=LBC=®

2

・・・EC=、E[C[2+C]C2=7^.

・・•在△EIAIC中,cosZEiAiC=-2+8-61

2XV2X2V2彳

・•・异面直线AE与AiC所成的角为三；

3

(2)连接AG,设P是AC的中点，过点P作PQL4G于Q,连EP,EQ,

贝I]EP±AC,

又•・•平面ABCJ_平面4CC|Ai，平面ACC1A1，而PQ_L4G,则EQJ_AG.

・・・/尸。£：是二面角。-46-七的平面角.

由EP=1,AP=\,00=二，得1211/。0七=四=返.

V5PQ

・•・二面角C-AG-E的平面角正切值是遍.

B

【点评】本题考查异面直线的夹角与二面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考

查运算求解能力，是中档题.

19.平行六面体A8CO-AiBCiG中，底面ABC。是边长为2的正方形，侧棱人小=4,且

N4AO=/AM8=60,,M为4。中点，P为中点,设而二Z，AD=b»AA^=C'

（1）用向量a，b，c表示向量PM；

（2）求线段PM的长度.

【考点】空间向后及其线性运算.

【专题】综合题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】（1）

⑵V6.

【分析】（1）利用平面向量加减法的三角形法则和数乘运算法则求解;

（2）利用基底向帚｛彳，b,七表示出面，然后平方即可求解.

【解答】解：（1）由-平行六面体的性质可知:

而=丽+丽=总为蒋丽=方为卷（而-靛）=李亭亲；

（2）由已知得|aI=bI=2»IcI=4»<之，b>=90°',"c>=<b,"c>

=60°,

所以而2=（-1-a-kybc）2=）（a2+b2+c2-2aPb-2t>Pc+2a*c）

乙乙乙dt

=_lx（22+2