2027届高中数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念、运算及几何意义教学课件

第一节导数的概念、运算及几何意义

真题分布2025年全国Ⅰ卷T122024年新高考Ⅰ卷T132022年新高考Ⅰ卷T15，新高考Ⅱ卷T1401.必备知识·回归教材知识导图

回归教材1．(人教A版选修二P70练习T2)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(

)A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0B．f′(1)＜f′(2)＜f′(3)＜0C．0＜f′(1)＜f′(2)＜f′(3)D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3)答案：A解析：由函数f(x)的图象可知当x≥0时，f(x)单调递增，∴f′(1)，f′(2)，f′(3)>0，∵随着x的增大，曲线在每个点处的切线斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，∴f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选A.

答案：D

答案：C

02.多元视角·拓展教材

答案：CD

答案：D

学霸笔记：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可尽量避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．

答案：A

答案：BCD

答案：A

答案：B

题型2过某点的切线例3曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为______，______．

学霸笔记：(1)设切点(x0，f(x0))，则切线的斜率f′(x0)，切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)因为切线过点(a，b)，带入得b－f(x0)＝f′(x0)(a－x0)，求x0.(3)把求得的x0再次带入y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．跟踪训练函数y＝(x＋1)ex过原点的切线方程为________________________________．

题型3已知切线方程求参数值(范围)例4(1)(2025·全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝_____．(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________.4(－∞，－4)∪(0，＋∞)

学霸笔记：处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．跟踪训练

(1)(2026·南京模拟)若直线y＝2x＋a是曲线y＝ln

x＋x＋1的一条切线，则a＝________．0

答案：BCD

题型4公切线问题例5(1)(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax2与y＝ln

x＋1在公共点处存在公共的切线，则a＝________．(2)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．

ln2

答案：A

(2)(2026·漳州模拟)若曲线y＝ln

x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，则实数a＝_____．2

03.课时作业15

答案：B

答案：C

3．(2026·芜湖模拟)在曲线y＝x2－lnx的所有切线中，斜率为1的有(

)A．0条

B．1条C．2条

D．3条答案：B

答案：B

答案：C

答案：B

由于函数f(x)＝ex在x＝0处的切线为y－f(0)＝f′(0)(x－0)⇒y－1＝x⇒y＝x＋1，而函数f(x)＝ln(x＋1)＋1在x＝0处的切线为y－f(0)＝f′(0)(x－0)⇒y－1＝x⇒y＝x＋1，由于两分段函数在分界点处的切线相同，所以可取公切线y＝x＋1上的点P，再作函数f(x)的另一条切线即可，根据选项分析，只有(1，2)在公切线y＝x＋1上．故选B.7．已知过点A(a，0)作曲线y＝(2－x)ex-1的切线有且仅有1条，则a的值为(

)A．－2或2 B．－1或3C．3 D．－2答案：A

8．已知曲线y＝x2与y＝e2x＋a恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为(

)A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)答案：D

9．(2026·襄阳模拟)下列函数的图象与x轴相切于点(0，0)的是(

)A．y＝x3＋3x2 B．y＝ex－1C．y＝cosx－1 D．y＝sinx答案：AC解析：经检验当x＝0时，y＝x3＋3x2，y＝ex－1，y＝cosx－1，y＝sinx都等于0，故只需验证在x＝0处的切线斜率是否为0即可，对于A，y′＝3x2＋6x，在x＝0处的切线斜率为0，故A正确；对于B，y′＝ex，在x＝0处的切线斜率为1，故B错误；对于C，y′＝－sinx，在x＝0处的切线斜率为0，故C正确；对于D，y′＝cosx，在x＝0处的切线斜率为1，故D错误．故选AC.

答案：AC

11．若直线y＝2x＋a是曲线y＝2ex＋x2－1的一条切线，则实数a的值为______．1

2

13．(13分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

14．(15分)已知函数f(x)＝lnx＋ax，其中a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线过原点，求x0的值．(2)当a＝1时，①判断过点(0，1)，(2，0)的切线条数，直接写出结果；②判断过点(1，2)的切线条数并说明理由．

若切线过点(2，0)，则m＋2＋mlnm＝0，令y＝m＋2＋mlnm，则y′＝2＋lnm，所以当0<m<e-2时，y′<0，当m>e-2时，y′>0，则y＝m＋2＋mlnm在(0，e-2)上单调递减，在(e-2，＋∞)上单调递增，当m＝e-2时y＝2－e-2>0，x→0时y→2，x→＋∞时y→＋∞，所以y＝m＋2＋mlnm在(0，＋∞)上无零点，即没有过点(2，0)的切线；②切线过点(1，2)，则1－2m＋mlnm＝0，令y＝1－2m＋mlnm，则y′＝－1＋lnm，所以当0<m<e时，y′<0，当m>e时y′>0，则y＝1－2m＋mlnm在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，当m＝e时y＝1－e<0，m→0时y→1，m→＋∞时y→＋∞，所以y＝