2026新高二数学暑假专题：基本图形、直观图及几何体的表面积、体积（解析版）

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暑假作业10基本立体图形、直观图及几何体的表面积、体积

【知识点1多面体的结构特征】

1.简单多面体分类

名称棱柱棱锥棱台

图形

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点，但不一定延长线交于一点，但不

侧棱平行且相等

相等一定相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

2．特殊的棱柱和棱锥

(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多

边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．

(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等

的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中

心．

3．几点注意

(1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．

(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．

(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点．

【知识点2旋转体的结构特征】

1/35

名称圆柱圆锥圆台球

图形

旋转

矩形直角三角形直角梯形半圆形

图形

任一边所在的直任一直角边所在垂直于底边的腰

旋转轴直径所在的直线

线的直线所在的直线

互相平行且相

母线相交于一点延长线交于一点

等，垂直于底面

全等的等腰三角

轴截面全等的矩形全等的等腰梯形圆

形

侧面展开图矩形扇形扇环

【知识点3直观图】

(1)画法：常用斜二测画法.

(2)具体步骤：

①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°.x'O'y'

所确定的平面表示水平平面.

③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.

④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半.

⑤擦去辅助线，并将被遮线画成虚线.

（3）水平放置平面多边形直观图与原平面图形面积间的关系：

S直观图＝S原图形，S原图形＝2S

2

【知识点44圆柱、圆锥、2圆台的侧面展开图及侧面积公式】

名称圆柱圆锥圆台

侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l

【知识点5柱、锥、台、球的表面积和体积】

1.柱、锥、台、球的表面积和体积

2/35

名称

表面积体积

几何体

柱体S表＝S侧＋2S底V＝Sh

锥体S表＝S侧＋S底V＝Sh

1

3·

台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋上下)h

1

3

23��

球S表＝4πRV＝πR

4

2.求空间几何体的体积的常用方法3

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

【题型1空间几何体的结构特征】

1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的为（）

A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥

C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥

【答案】D

【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：假设成立，结合正六棱锥结构特征分析判断.

【详解】对于选项A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形不一定是棱柱，

可能是两个棱柱拼接而成，故A错误；

对于选项B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有一个公共的顶点，故B错误；

3/35

对于选项C：若各侧棱延长线不交于一点，则不符合棱台的定义，如图所示，正方体中取AD、BC、A1B1、

C1D1的三等分点，

依次连线得多面体显然不是棱台，故错误；

KLDCMNC1B1,C

对于选项D：如图所示的正六棱锥，满足ABBCCDDEEFFAGAGB，

O为底面正六边形中心，GO平面ABCDEF，

但注意到OAAB，GOAO，则有GAAOAB，

这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D正确.

2．（25-26高一下·广东肇庆·期中）下列说法中，正确的是（）

A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥

【答案】D

【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A

错误；

对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误；

对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，

4/35

故C错误.

对于D，由棱锥的定义可判断D正确.

3．（25-26高一下·宁夏·期中）下列说法正确的是（）

A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥

B．用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面

C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

D．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

【答案】B

【详解】对于A项，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误；

对于B项，用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故B正确；

对于C项，例如将两个棱柱底面错开拼接，满足有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形，

但是形成的多面体不是棱柱，如图，

故C错误；

对于D项，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D错误；

4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（）

A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线

D．圆台的轴截面不可能为直角梯形

【答案】D

【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定

义，即可判断D．

【详解】

5/35

图1图2

对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A

错误；

对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误；

对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误；

对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，

这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯

形，

故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确．

故选：D．

【题型2直观图】

1．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等

腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（）

A．2B．22C．32D．42

【答案】D

【详解】过C作CDAO，垂足为D¢，如下图：

1

由题意可得AOBCCD2，OC2CD，由斜二测画法，还原可得下图：

2

6/35

易知AOAO，BCBC，OC2OC22CD，

11

所以原梯形面积为AOBCOCAOBC22CD42.

22

2．（25-26高一下·山东临沂·期中）如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形ABCD，

已知AB2，O是AB的中点，则四边形ABCD的周长为（）

A．10B．12C．14D．18

【答案】A

【详解】由题意知OB1，BC1,OC2，

如图，将直观图复原为四边形ABCD，则四边形ABCD为平行四边形，

因为AB2，O是AB的中点，所以OB1，且OC22，故BCOB2OC2183，故AD3，

所以四边形ABCD的周长为2(23)10.

3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，ABC是利用斜二测画法画出的ABC的直观图，其中AC//y轴，

AB//x轴，且ABBC1，则ABC的边BC（）

A．1B．2C．3D．3

【答案】D

7/35

【详解】由题意可得还原后ABC如下：

ABC中，ABBC1,A45，

所以C45,ABC90，所以AC(AB)2(CB)22，

ABAB1，AC=2AⅱC=22，BAC90，则BC(22)213.

4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，已知用斜二测画法画出的ABC的直观图是边长为2的正三角

形，则原图中边BC在x轴上的射影长度为（）

51

A．B．3C．31D．3

22

【答案】C

【详解】由题意，过点C作CD//y轴，交x轴于点D¢，还原后的图形如图．

ACAD

ππππππ62

在△ADC中，ππ，又因为sin=sinsincoscossin=，

sinsin343434

412124

所以AD31，故BDADABADAB31，故C正确．

【题型3圆锥与圆台的相关计算】

2

1．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为2的扇形，则该圆

3

锥轴截面的面积S（）

8/35

A．5B．25C．2D．22

【答案】D

2

【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则2l，解得l3，又2r2，解得r1，所以圆锥

3

1

的高为hl2r222，所以圆锥的轴截面的面积是S2rh22.

2

2．（25-26高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面周长为16π，侧面积为80π，则过该圆锥顶点的平面截此圆

锥所得截面面积的最大值为（）

A．48B．50C．96D．100

【答案】B

【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，

2πr16πr8

则，解得.当截面过中心轴PO时，则PAPBl10，AB2r16，

πrl80πl10

1021021627

所以cosAPB0，

2101025

π1

由三角形面积公式可得，当CPD时，截面面积最大，最大为101050.

22

3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台O1O2的高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积

14π

为，则该圆台的母线长为（）

3

A．3B．2C．5D．22

【答案】C

【详解】如图，作出圆台的轴截面ABDC，设上底面圆O1的半径为r，则下底面圆O2的半径是2r，

214π

所以圆台的体积为r24r22r2π，解得r1，所以母线AC长是145.

33

4．（25-26高三·北京·二轮复习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正

切值为2，则该圆台的表面积为（）

9/35

A．125B．24C．44D．20125

【答案】D

【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则ABAOBO422，

因为底角A1AB的正切值为2，设圆台的高为h，即该等腰梯形的高hAB·tanA1AB224，

则母线22，所以圆台的表面积22

lA1A4225Sπ2π4π·(24)2520π125π.

故选：D.

【题型4展开图中的最短路径问题】

1．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现

测量其中一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为6m，母线SA长为12m．若C是母线SA的一个三等

分点（靠近点S），从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（）

A．67mB．410mC．16mD．10m

【答案】B

【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为.由题意可知，2r6，即r3，

π

lSA12.根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，可得2πrl，即2π312，解得.

2

将圆锥侧面沿母线SA展开，得到如图所示的扇形SAA，其中SA与SA重合于圆锥的母线SA，点A与点A

在圆锥上重合.因为C是母线SA的一个三等分点（靠近点S），

11

所以SCSA124.从点A到点C绕屋顶侧面一周的最短路径，即为展开图中线段AC的长度.

33

在ASC中，SA12，SC4，ASC，由勾股定理得ACSA2SC212242160410.

2

故灯光带的最小长度为410m.

10/35

2．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知P为

该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的

最短路径长为（）

A．16B．162C．8πD．16π

【答案】B

【详解】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图，分别设小扇形和大扇形的半径为r,R，圆心角为，

则由题意可知，弧长AC为2π24π，弧长BD为2π612π，Rr16，则r4π,R12π，得R3r，

π16

则R24,r8,，因P为该圆台某条母线的中点，则OPr16，因OPP'为等腰直角三角形，且

22

腰长为16，则PP'162，故该质点运动的最短路径长为162.故选：B

3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，正三棱锥PABC的底边长为2，APB30.一只小虫从点A出

发，沿三个侧面爬行一周，回到点A.则爬行的路径最短为________.

【答案】232

11/35

【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示，因为PABC为正三棱锥，所以PAPBPC，

依题意可知APA33090，所以三角形PAA是等腰直角三角形，在△APB中，由余弦定理可得：

32

AB2AP2BP22APBPcos304，所以AP2AP22APAP4，解得：AP284362，

2

所以AP62.所以最短路程为AA2AP232.

4．（2026·云南·三模）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3,AA12.一只蚂蚁从底面顶点A出发，沿正四

棱柱表面爬到顶点C1，则蚂蚁爬行的最短路程为_________.

【答案】34

【详解】

将正四棱柱从A到C1的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有

本质不同的展开方式可归为以下两类．

情况1：经过相邻两个侧面．

将侧面ABB1A1与BCC1B1（或侧面ADD1A1与DCC1D1）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形．

22

该长方形的长为ABBC6，宽为AA12．所以，此时的最短路程为62210．

情况2：经过一个侧面与一个底面．将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1（或侧面ADD1A1与上底面A1B1C1D1）

沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形．该长方形的一边为AB3，另一边为AA1A1D15．所以，

此时的最短路程为325234．比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此

12/35

21034．所以，蚂蚁爬行的最短路程为34．

【题型5空间几何体的表面积计算】

1．（2026·山东菏泽·二模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，ABBC，BCCD2，AB4，

以直线CD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（）

A．20πB．24πC．16π42πD．20π42π

【答案】D

【详解】过点D作DEAB于点E，由AB//CD，ABBC，BCCD2，AB4.

得DEBC2，AEABCD2，故ADDE2AE222.

以直线CD为轴旋转一周，形成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，圆柱底面半径r=BC=2，高hAB4，

圆锥底面半径r2，高h2.

该几何体的表面积由圆柱的侧面积、圆柱的下底面积和圆锥的侧面积组成.

圆柱侧面积S12πrAB2π2416π.

22

圆柱下底面积S2πrπ24π，圆锥侧面积S3πrADπ22242π.

故表面积SS1S2S316π4π42π2042π.

2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正三棱台ABCA1B1C1的高为3，AB3A1B133，则该棱台的侧面

积为（）

A．243B．123C．63D．43

【答案】B

【详解】不妨设上、下底面中心为O1，O，A1B1，AB的中点分别为D，E，易知DE为斜高，

1313

由AB3A1B133，得OD3，OE3O1D，作DFDE于F，所以EFOEO1D1，

13222

13/35

3332

，2222，故所求棱台的侧面积为．

DFOO13DEDFEF(3)123123

2

3．（2026·安徽合肥·模拟预测）设圆锥的表面积为S1，体积为V1，球O的表面积为S2，体积为V2.已知圆锥

VS

的轴截面是等边三角形，且其体积之比123，则圆锥与球O的表面积之比1（）

V2S2

33

A．B．C．2D．3

162

【答案】D

【详解】设圆锥底面半径为r，球O的半径为R，

由圆锥的轴截面是等边三角形可得圆锥的高为3r，

12

πr3r33

V133rrr

则32382，

V434RRR

2πR

3

Sπr2πr2r3r2

1

所以圆锥与球O的表面积之比223．

S24πR4R

4．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）（多选题）已知圆台的上底面半径r2，下底面半径R4，圆台

有内切球，则（）

A．圆台的母线长为6B．圆台的高为42

C．圆台内切球的半径为2D．圆台的侧面积为72π

【答案】AB

【详解】有内切球的圆台满足性质：母线长lRr6，圆台高

222

hl2RrRrRr2Rr42，内切球直径等于圆台的高42，故半径为22；

2

圆台侧面积S侧πRrlπRr36.

【题型6空间几何体的体积计算】

方法一：直接法求几何体的体积

1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为60的菱形，且上下底面的边长分别为

2和3，若该棱台的高为3，则该棱台的体积为（）

14/35

19191919

A．B．C．D．

12642

【答案】D

1193

【详解】由题意，得棱台的上底面面积为222sin60=23，下底面面积为233sin60=，

222

1939319319

所以该棱台的体积为23+23+3=23+33+3=

.

322322

2．（2026·河北邯郸·三模）已知正三棱台ABCA1B1C1，AB3A1B19，侧棱A1A4，则正三棱台的体积

为（）

133393

A．B．133C．D．393

22

【答案】C

【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥SABC，作SO平面ABC分别交平面ABC、平面A1B1C1于O、

O1，作A1N平面ABC交AO于N，则O、O1分别为ABC、△A1B1C1的中心.因为AB3A1B19，所以

AO3A1O133，A1O13，所以ANAOA1O123，设该正三棱台的高为h，

因为，所以22，

A1A4A1NhAA1AN2

1193273813393

故，故选

V台SSS1S1h2C.

334442

3．（2026·广西河池·模拟预测）如图，已知正四棱台ABCDA1B1C1D1的上下底面边长分别为2和4，且

BB1DD1，则该棱台的体积为__________．

15/35

28228

【答案】/2

33

【分析】根据给定条件，结合正四棱台的结构特征求出该正四棱台的高，再求出其体积.

【详解】在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，连接B1D1,ACBDO，取OD中点E，连接OD1,D1E，

1

由BD//BD,BOBD22BD，得四边形BODB为平行四边形，

1121111

则OD1//BB1,OD1BB1，而BB1DD1,BB1DD1，于是OD1DD1,OD1DD1，

11

则DEBD,DEODBD2，由正四棱台的结构特征知平面BDDB平面ABCD，

112411

D1E平面BDD1B1，平面BDD1B1平面ABCDBD，得D1E平面ABCD，

1282

所以该棱台的体积V(222442)2.

33

方法二：等价转化法求几何体的体积

1．（2020·海南·高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三

棱锥A-NMD1的体积为____________

1

【答案】

3

【详解】

因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点

111

所以VV112

ANMD1D1AMN323

1

故答案为：

3

2．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥PABC中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥EABD

16/35

的体积为V1，三棱锥PABC的体积为V2，则V1:V2______．

1

【答案】#0.25

4

1

【详解】因为D,E分别为PB,PC的中点，则SS

ABD2PAB

1111

所以VVVVV，则V:V1:4.

12EPAB4CPAB4PABC4212

3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知三棱台ABCA1B1C1的体积为V，上、下底面边长之比为1:3，

若截去三棱锥C1A1B1B，则剩余部分的体积为__________．（用V表示）

12

【答案】V

13

【详解】由相似可知，三棱台上、下底面的面积之比为1:9，设棱台的高为h，上底面的面积为S，则点B到

1

Sh

VV

C1A1B1BBA1B1C131

平面A1B1C1的距离也是h，从而有，

VV113

ABCA1B1C1ABCA1B1C1S9SS9Sh

3

12

则剩余部分的体积为V．

13

方法三：割补法求几何体的体积

1．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中，A，B1，C，D1

四个顶点恰好是正三棱锥AB1CD1的顶点，则正三棱锥AB1CD1的体积与正方体ABCDA1B1C1D1的体积

之比为（）

17/35

A．1:2B．1:3C．1:2D．1:3

【答案】D

3

【详解】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，可得该正方体的体积是Va，

11113

由三棱锥AA1B1D1的体积为VSAAaaaa

13A1B1D11326

11

正三棱锥ABCD的体积为VV4Va34a3a3，

112163

所以正三棱锥AB1CD1的体积与正方体ABCDA1B1C1D1的体积之比为1:3.

2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，圆柱O1O2的表面积为(424)，AB，CD分别是圆柱上、下底面

圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（）

4282643

A．B．C．D．

3333

【答案】B

【详解】

连接CO1，DO1，O1O2，因为四面体ABCD为正四面体，所以ABCD，设AB2r，在Rt△ACO1中，AC2r，

，22，在，，22，故圆柱的

AO1rCO1ACAO13rRtCO1O2CO2rO1O2CO1CO22rO1O2

2218

表面积为22r2r(424)，解得r2.故VS△CDOAB．

313

18/35

uuuuruuur

3．（2026·福建·三模）在正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别满足A1D2DA，BEEB1，点F在棱CC1

CF

上，若平面DEF将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则（）

FC1

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】将平面DEF下方的几何体拆分成棱锥或棱柱，列体积方程求解即可

【详解】设三棱柱高为h，底面积为S，则体积为VSh，

1h

平面DEF将三棱柱体积平分后每部分体积为Sh，设FCx，由已知x，

212

uuuuruuur121

因为D，E分别满足AD2DA，BEEB，有ADh,ADh,BEEBh，

1131312

过点DGBB1，垂足为G，过点D作DHCC1，垂足为H，连接GH，

将平面DEF下方的几何体体积VABCDEF拆分为三棱柱ABCDGH和四棱锥DEFHG，

11

由题意VV总Sh，设DI为四棱锥DEFHG高，

ABCDEF22

1111121

可得VABCDGHVDEFHGShShhhxGHDISh，

2332632

2

h

1CF

因为GHDI2S，所以代入解得xh，因此32

FC1

31h

3

4．（2026·陕西西安·三模）在四面体ABCD中，ABCDADBC3，且ACBD23，则四面体

ABCD的体积为（）

929

A．23B．C．D．3

42

【答案】A

【详解】如图，四面体ABCD可内接于长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，

2222221

则有ab9，ac9，bc12，解得a3，bc6，所以VABCDabc4abc23．

6

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1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（）

164

A．16πB．4πC．πD．π

33

【答案】C

【详解】由题意得：正三角形内切圆半径，就是圆锥内切球的半径，且边长为4的正三角形内切圆半径为：

2

323，所以圆锥内切球的表面积为：22316π

R4S4πR4π.

6333

2．（25-26高一下·山东临沂·期中）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对

的圆心角为180°，则圆台的体积为()

7000π70003π

A．B．C．7000πD．70003π

33

【答案】B

【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为C1，下底面周长为C2，

因为扇环所对的圆心角为180°，所以C1πSA102π，解得SA20，C2πSB202π，解得SB40，

故圆台的母线ABSBSA20，高hAB2(2010)2103，故圆台的体积

170003π

V102π202π102π202π103，

33

3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球O的球面上，

则球O的表面积为（）

A．36πB．100πC．144πD．256π

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【答案】B

【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示，

11

设球O的半径为R，由题意可知ON63，NA84，则