2026新高二数学暑假专题：奔驰定理遇上了三角形四心的向量表示原卷版

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暑假作业04重难专题02:“奔驰定理”遇上了“三角形四心

的向量表示”

【知识点1三角形“四心”的概念】

1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成.

2.内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到相等.

3.外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形的距离相等.

4.垂心：高线的交点，高线与对应边.

【知识点2重心的向量表示】

设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：

1.＋＋＝0.

2.��＝����

1

3.�若�＝3λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的.

4.若��＝λ����＋，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的.

｜｜｜｜

����

����sin���sin�

【知识点3内心的向量表示】

设P是ABC的内心，则有以下结论：

1.｜｜△＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是ABC的三边BC，

AC，�A�B的��长.��������������△

＝＋，，＋，则的轨迹一定经过三角形的

2.λ｜｜｜｜λ[0∞)P.

����

����∈

【知��识点4外心的向量表示】

设O是ABC的外心，则有以下结论：

1.｜｜△＝｜｜＝｜｜＝＝.

222

������⇔������

1/11

2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝

动�点��满�足��＝��＋�＋�����＋����，，＋，则的轨迹一定经过的

3.Pλ｜｜｜｜λ(0∞)PABC.

��������

��2��cos���cos�∈△

【知识点5垂心的向量表示】

设O是ABC的垂心，则有以下结论：

1.·△＝·＝·.

2.�｜���｜2＋��｜��｜�2＝�｜��｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.

若动��点满足��＝��＋��，��，＋�，�则的轨迹一定经过的

3.Pλ｜｜｜｜λ(0∞)PABC.

����

����cos���cos�∈△

【知识点6奔驰定理】

1.奔驰定理

如图，已知P为ABC内一点，则有.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.

2.奔驰定理的证明

如图：延长OA与BC边相交于点D

BDSSSSS

则ABDBODABDBODAOB

DCSACDSCODSACDSCODSAOC

DCBD

ODOBOC

BCBC

SS

AOCOBAOBOC

SAOCSAOBSAOCSAOB

ODSSSSS

BODCODBODCODBOC

OASBOASCOASBOASCOASAOCSAOB

S

ODBOCOA

SAOCSAOB

2/11

SSS

BOCOAAOCOBAOBOC

SAOCSAOBSAOCSAOBSAOCSAOB

SBOCOASAOCOBSAOBOC0

3.奔驰定理的推论

推论1：O是ABC内的一点,且xOAyOBzOC0,则

（）

1SBOC:SCOA:SAOB

S△BOC|x|SCOA|y|SAOB|y|

（2）,,.

S△ABC|xyz|SABC|xyz|SABC|xyz|

【知识点7奔驰定理与“四心”联系（“四心”在三角形内部）】

奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关

系.

是的重心

(1)OABCSBOC:SCOA:SAOB1:1:1OAOBOC0

：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得

证明S△BOC:S△COA:S△A0B1:1:1OAOBOC0

是的内心

(2)OABCSBOC:SCOA:SAOBa:b:caOAbOBcOC0

111

证明：Sar，Sbr，Scr（r为ABC内切圆的半径），所以

BOC2COA2AOB2

，再由奔驰定理可得

SBOC:SCOA:SAOBa:b:caOAbOBcOC0.

是的外心

(3)OABCSBOC:SCOA:SAOBsin2A:sin2B:sin2C

sin2AOAsin2BOBsin2COC0；

1

证明：SOBOCsinCOB，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得COB2A，所以

BOC2

11212

SOBOCsin2ARsin2A（R为ABC外接圆的半径），同理可得SRsin2B，

BOC22COA2

12

SRsin2C，所以S:S:Ssin2A:sin2B:sin2C，再由奔驰定理可得

AOB2BOCCOAAOB

sin2AOAsin2BOBsin2COC0

（4）P是△ABC的垂心：

SBPC:SCPA:SAPBtanA:tanB:tanCtanAPAtanBPBtanCPC0

3/11

PDPD

证明：如图P为△ABC的垂心，则有tanA，tanB，所以BD:ADtanA:tanB，所以

ADBD

11

S:SCPBD:CPADBD:ADtanA:tanB，同理可得

BPCAPC22

，所以，再由奔驰定理可得

SAPC:SAPBtanB:tanCSBPC:SAPC:SAPBtanA:tanB:tanC

SBPC:SCPA:SAPBtanA:tanB:tanCtanAPAtanBPBtanCPC0.

【题型1重心的向量表示】

1．（25-26高一下·全国·单元测试）O为平面上一动点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足

OAOBOC0R，则O点的轨迹必过ABC的（）

A．垂心B．外心C．内心D．重心

π

2．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知D是ABC的重心，AB3，AC2，BAC，则AD在AB上

3

的投影向量为（）

4112

A．ABB．ABC．ABD．AB

9323

3．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知ABC所在平面内的动点M满足AMxACyAB，且实数x，

1

y形成的向量ax,y与b1,2向量共线，则动点M的轨迹必经过ABC的（）

2

A．垂心B．内心C．外心D．重心

4．（2025高三·全国·专题练习）O为ABC平面内一定点，该平面内一动点P满足

M{P|OPOA(|AB|sinBAB|AC|sinCAC),0}，则ABC的（）一定属于集合M.

A．重心B．垂心C．外心D．内心

2

5．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）已知G为ABC的重心，AGBC2，则ABAC__________.

3

6．（25-26高一下·福建宁德·期中）在ABC中，G是重心，过G的直线交AB于D，交AC于E，设

11

ADAB，AEAC，且m1，n1，则mn的值为________.

mn

7．（25-26高一下·天津红桥·阶段检测）点G是ABC的重心，用AB和AC表示AG，则AG__________．

4/11

【题型2内心的向量表示】

ABAC

1.（25-26高一下·上海·期末）已知ABC，若点P满足AP，其中R，则点P的轨迹

|AB||AC|

一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．垂心D．重心

2．（2025高三·全国·专题练习）已知ABC，角A,B,C的对边分别为a,b,c，P为三角形所在平面上的一点，

且点P满足aPAbPBcPC0，则P为三角形的（）．

A．外心B．内心C．重心D．垂心

ACABBCBA

3．（25-26高三下·广西崇左·期中）点O为ABC所在平面内一点，若OAOB0，

ACABBCBA

则点O为ABC的（）

A．内心B．重心C．垂心D．外心

4．（2025高三·全国·专题练习）设G为ABC的内心，AB2，AC4，CB3，AGxAByBC，则

xy______.

【题型3外心的向量表示】

222

1．（2026高三·全国·专题练习）已知O是ABC所在平面上一点，若OAOBOC，则O是ABC的

（）

A．重心B．外心C．内心D．垂心

AB

2．（2026·浙江·三模）已知O为ABC的外心，且满足AOAB2AC，则的值为（）

AC

A．2B．5C．6D．7

3．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）在△ABC中，O为BC的中点，若MOBC0，则动点M的轨迹必通

过△ABC的（）

A．内心B．外心C．重心D．垂心

4．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知O为ABC的外心，AB6，AC4，则AO·BC__________．

5．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）在ABC中，已知AB4,AC3,A60，点O为三角形的外心，

则BCBO______．

【题型4垂心的向量表示】

1．（2025高三·全国·专题练习）已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足PAPCPAPBPBPC，

则P为三角形的（）．

A．外心B．内心C．重心D．垂心

5/11

2.（25-26高三下·甘肃·期末）设O是ABC的外心，点P满足OAOBOCOP，则P是ABC的（）

A．内心B．任意一点C．垂心D．重心

3．（2025高一·全国·专题练习）已知O为ABC所在平面内一点，动点H满足：

ABAC

OHOA，其中0,，则动点的轨迹一定通过的（）．

22HABC

ABsin2BACsin2C

A．外心B．内心C．重心D．垂心

4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足

ABAC

OPOA，0,，则P点的轨迹一定通过ABC的（）

ABcosBACcosC

A．重心B．垂心C．外心D．内心

【题型5“四心“的综合问题】

1（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知G,O,H在ABC所在平面内，满足

GAGBGC0,OAOBOC，HAHBHBHCHCHA，则点G,O,H依次是ABC的（）

A．重心，内心，外心B．重心，外心，垂心

C．垂心，内心，重心D．外心，重心，内心

2．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内

一点，下列说法正确的有（）

A．若O为ABC的外心，且3OA4OB5OC0，则OAOB

5

B．若O为ABC的内心，ABAC5,BC8,AOmABnBC(m,nR)，则mn

6

3

C．若O为ABC的重心，aOAbOBcOC0，则角A60

3

D．若O为ABC的外心，且O到a，b，c三边距离分别为k,m,n,则k:m:nsinA:sinB:sinC

3．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·期中）在ABC中，ABAC13,BC10,P为ABC内一点，若

APxAByAC(x,yR)，则下列命题正确的是（）

2

A．若点P为ABC的重心，则xyB．若点P为ABC的外心，则PCCB50

3

11913

C．若点P为ABC的垂心，则xyD．若点P为ABC的内心，则xy

28818

4．（多选）（25-26高一下·安徽芜湖·期中）点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

ABAC

A．若AOR，则动点O的轨迹一定通过ABC的重心

ABsinBACsinC

6/11

B．若2OAOB3OC0，SAOC，SABC分别表示△AOC，ABC的面积，则S△AOC:S△ABC1:4

ABCABACBBCCA

C．若OAOBOC0，则点O是ABC的内心

ABCABACBBCCA

D．若点O满足OAOBOC，AB2，AC6，则AOBC16

5．（24-25高三上·宁夏银川·阶段检测）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定

理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形

的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且OP∥BC，动点M在直线OP上，且AM2xAByAC，

则xy的最大值________________

【题型6奔驰定理的应用】

1．（多选）（25-26高三下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：O是ABC内一点，BOC，

△AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOASBOBSCOC0．若3OA4OB5OC0，则

以下命题正确的有（）

A．SA:SB:SC3:4:5

B．O有可能是ABC的重心

C．若O为ABC的外心，则sin2A:sin2B:sin2C3:4:5

D．若O为ABC的内心，则ABC为直角三角形

2.已知点O为ABC内一点，且，则AOB、AOC、BOC的面积之比等

于△.��+2��+3��=0△△△

11

已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、

3.PABCAPABACPBCPCA△PABS1S2

34

S3，则S1:S2:S3______．

4．若点M是ABC所在平面内的一点，且满足3AM－AB－AC＝0，则ABM与ABC的面积之比为

________△△△

5.已知S△ABC3，点M是ABC内一点且MA2MBCM，则MBC的面积为_____

6.已知O是ABC内部△的一点，A，B，C所对△的边分别为a3，b2，c4，若

sinAOAsinBOBsinCOC0，则AOB与ABC的面积之比为______

7/11

1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知G为ABC的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，

2

N点，若ABxAM，ACyAN，则xy的最大值为（）

2781

A．2B．C．4D．

816

2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）设ABC的外心为O，若AOBC2BOCA3COAB0，

2

sinCsinA，则cosA（）

2

7353656

A．B．C．D．

24181212

3．（2025高三·全国·专题练习）已知H为ABC的垂心，且CHxCByCA，AHmABnAC，3xy1，

4mn1，则sinB（）

123

A．B．C．D．1

222

4．（多选）（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在ABC中，ABC的角平分线BD交AC于点D，BA2BC，

O为ABC的外心，则（）

A．OAOBOC0B．AD2DC

122cosABD3

C．BDBABCD．

33BDBA

5．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

cosCsinC2a9

，sinAsinC，则下列选项正确的是（）

cosBsinBb2b2

π

A．B

3

3

B．若点G是ABC的重心，则ABG的面积为

2

3

C．cosAcosBcosC的最小值为

2

1

D．若点O是ABC的外心，且BOBABC，c2，则

6

6．（多选）（25-26高一下·安徽淮南·期中）已知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点I、O、G、

H分别为该三角形的内心、外心、重心和垂心，则下列结论正确的是（）

A．aIAbIBcIC0

1

B．若|OA||OB||OC|1且4OA3OB2OC0，则OBOC

4

8/11

ABAC

C．R，使得AG

|AB|sinB|AC|sinC

7

D．若2HA3HB4HC0，则cosACB

7

7.(多选)（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（）

A．若a1,2，b1,1，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是,5

1

B．平面向量e和e满足e2e2，e在e上的投影向量为e，则e在e上的投影向量为e

12212111222

C．若O是ABC的外心，且AB3，AC5，则OABC8

ABAC

D．平面向量，，满足，且AOR，则ABC为等

OAOBOCOAOBOAOC

ABAC

腰三角形

8（.25-26高一下·云南红河·阶段检测）已知ABC的内心为O，且4OA3OB2OC0，则cosABC______．

S△APQ

9．（25-26高一下·上海·期中）已知G为ABC的重心，过G的直线分别与边AB,AC交于点P,Q，则

S△BGC

的最小值为_____．

10．（25-26高一下·湖北荆州·期中）如图，已知ABC为等边三角形，点G是ABC内一点．过点G的直

线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设ADAB，AEAC，且0，0．

12S

(1)若AGABAC，求GAB；

55SABC

(2)若点G是ABC的重心，设ADE的周长为c1，ABC的周长为c2．

11

（i）求的值；

c

（ii）设t，记ft1t，求ft的值域．

c2

9/11

1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设不共线的a,b的夹角为，定义运算abasinb．其中

正确命题的个数为（）

①abba；②abcacbc；③若abac，则bc；④若平面向量OAa，OBb，

平面内动点P满足OPabba，则动点P的轨迹过△OAB的内心．

A．0B．1C．2D．3

2．（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(1,0)，Cx0,y0，点F,H分别是ABC的

1m

外心和垂心，若FHAB，则m的取值范围是（）

22m

1

A．(,0)B．(1,0)C．,D．(0,)

2

3．(多选)（25-26高三下·福建福州·期中）在Rt△OAB中，OAOB2,C在以O为圆心，1为半径的圆周

上运动，G为ABC的重心，D为ABC的外心，下列说法正确的是（）

1224

A．|OG|