2026新高二数学暑假专题：第02讲 空间向量的数量积运算（2知识点+6大题型）（解析版）

第02讲空间向量的数量积运算

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间向量的数量积运算

题型02空间向量的夹角运算

题型03空间向量模长的运算

题型04投影向量的运算

题型05空间向量中的垂直关系的运算

题型06空间向量中的最值（范围）问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.掌握空间向量的数量积,增强数学抽象的核心素养.

1.空间向量的数量积

2.了解空间投影向量的概念以及投影向量的意义,增强数学抽象和直观想象的

2.投影向量

核心素养.

3.向量垂直、夹角、模

3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题,提升逻辑推理与数

长问题

学运算的核心素养.

学习重点：空间向量的数量积运算

学习难点：空间向量数量积的运算性质及其应用

1/35

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01空间向量的数量积

一、空间两个向量的夹角

1、定义：如图已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则么AOB叫做向量a,b

的夹角，记a,b.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）

2、范围：a,b0,．

特别地，（1）如果a,b，那么向量a,b互相垂直，记作ab．

2

(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故a,b0(或

a,b)a//b(a,b为非零向量)．

(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0a．两非零向量的夹角是

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唯一确定的．

3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）

若两个向量a,b所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，

(1)向量夹角的范围是0<<a,b><，异面直线的夹角的范围是0<<，

2

(2)当两向量的夹角为锐角时，a,b；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为

2

钝角时，a,b.

二、空间向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cosa,b叫做a，b的数量积，记作ab；即

ab|a||b|cosa,b．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;

2、空间向量数量积的应用

(1)利用公式|a|aa可以解决空间中有关距离或长度的问题;

ab

(2)利用公式cosa,b可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;

|a||b|

3、数量积的运算：

（1）(a)b(ab)，R.

（2）abba(交换律)．

（3）a(bc)abac(分配律).

4、空间向量数量积的性质

设a，b是非零向量，e是单位向量，则

①aeeaacosa,e；②abab0；

2ab

③aaa或aaa；④cosa,b；

ab

⑤abab

即时即练

1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，若ABa，ADb，AAc，

则abbc（）

A．0B．2C．1D．4

3/35

【答案】C

【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为1的性质，先展开点积abbc，再根据垂直向量点积

为0，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果．

【详解】

由题意，正方体棱长为1，所以a,b,c两两垂直且abc1，

所以abbcabacbbbc，

因为ab、ac、bc，所以ab0，ac0，bc0，

2

又bbb121，代入得abbc00101．

2．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体ABCD所有棱长均为4，则ABADBC（）

A．43B．26C．25D．23

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可.

【详解】由题意知，ACD为等边三角形，所以ACAD44cos608.

222

所以ABADBCACADACADAC2ACADAD

42284243.

3．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量a，b，c的长度均为2，且ab0，cacb2，则c与ab

的夹角为（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

4/35

【答案】B

【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角.

【详解】因为cacb2cacb4cab4；

2

22

又aba2abb4048，所以ab22，c2，

cab

42

设c与ab的夹角为，则cos，

cab2222

π

又0,π，所以.

4

故选：B

．（高二全国暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向

425-26··ababe1e2ab

量，且m2e13e2，nke14e2，mn，则实数k的值为（）

A．6B．6C．3D．3

【答案】B

【分析】根据mn列方程，化简求得k的值.

【详解】由于mn，所以mn0，

即2e13e2ke14e20，

22

所以，

2ke13k8e1e212e22k120

解得k6.

【方法总结】

(1)空间向量数量积运算的两种方法

①利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算.

②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行

运算.

(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤

①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.

③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.

5/35

知识点02投影向量

1、向量a的投影

（1）如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面

内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，

b

c|a|cosa,b向量c称为向量a在向量b上的投影向量．

|b|

类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．

（2）如图(3)，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，

B，得到AB，向量AB称为向量a在平面上的投影向量．这时，向量a，AB的夹角就是向量a所

在直线与平面所成的角．

2、空间向量数量积的几何意义：向量a，b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影

|b|cosa,b的乘积或等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosa,b的乘积.

即时即练

1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1上任意一点，则AM

在平面ABCD上的投影向量为（）

A．ACB．ABC．AC1D．AD

【答案】A

【分析】利用投影向量的定义可得结果.

【详解】如下图所示：

6/35

因为CC1平面ABCD，M是棱CC1上任意一点，

所以AM在平面ABCD上的投影向量为AC.

故选：A.

2．若向量a,b满足a5,b2，则向量a在向量b上的投影向量可能为（）

A．2bB．4bC．3bD．23b

【答案】A

abab

b

【分析】由向量a在向量b上的投影向量为2，利用向量数量积的定义求ab，进而得2的范围，逐

bb

一验证即可求解.

ab

b

【详解】由题意有：由向量a在向量b上的投影向量为2，

b

因为ababcosa,b52cosa,b10cosa,b，

因为1cosa,b1，所以10ab10，

abab55

所以2=,，

b422

所以向量a在向量b上的投影向量可能为2b，

故选：A.

【方法总结】

b

c|a|cosa,b向量c称为向量a在向量b上的投影向量

|b|

7/35

题型01空间向量的数量积运算

1．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，ABDC1（）

A．42B．4C．22D．2

【答案】B

【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.

【详解】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，

22

易知AB2,DC12222，

π

因为ABDC,DC与DC1的夹角为,，

4

ππ2

所以AB与DC1的夹角为,ABDC1ABDC1cos2224.

442

故选：B

2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2,BB13，则AB1AC（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】A

【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得.

【详解】AB1ACAA1ABACAA1ACABAC

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=AA1⋅ACcosAA1,AC+AB⋅ACcosAB,AC

ππ

32cos22cos022.

23

8/35

3．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体ABCD的棱长都为1，点M,N分别是AD,BC的中点，则

ABMN（）

113

A．0B．C．D．

422

【答案】C

【分析】把MN用AD,BC,DB表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解.

【详解】因为M,N分别是AD,BC的中点，所以

11111111

MNMDDNADDBDCADDBDBBCADBCDB，

22222222

1111

所以ABMNABADBCDBABADABBCABDB

2222

11111111

ABADcos60ABBCcos120ABDBcos60111111.

22222222

故选：C

4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥PABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，

11

且POPAPBPCR，则POPB（）

32

5734

A．B．C．D．

121243

【答案】B

【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案.

【详解】由题意可作图如下：

9/35

由PAPBPCABBC1，则APBBPC60，

111

由O,A,B,C共面，则1，解得，

326

111

所以POPBPAPBPBPBPCPB

362

1117

11cos601111cos60.

36212

故选：B.

5．（多选题）（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间向量a,b,c，则下列说法正确的是（）

A．abba

B．若abac，则bc

C．abcabc

D．若向量a,b同向共线，则abab

【答案】AD

【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果．

【详解】选项A，因为a·babcosa,bb·a，所以A正确；

选项B，当a0时，abac0，但无法得到bc，所以B错误；

选项C，a·b·cmcmR，b·c·ananR，而a与c未必共线且m,n不一定同时为0，所以C错误；

选项D，由于向量a,b同向共线，所以cosa,b1，所以abab，所以D正确．

故选：AD．

6．（多选题）（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD

的中点，则下列计算结果正确的是（）

10/35

11

A．EFBAB．EFBD

42

11

C．EFDCD．ABCD

47

【答案】ABC

【分析】利用空间向量数量积的定义分别求解即可.

1

【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，

2

1111

所以EFBABDBABDBAcosBD,BAcos60，A正确；

2224

1121

EFBDBDBDBD，B正确；

222

1111

EFDCBDDCBDDCcosBDDCcos120，C正确；

2224

ABCDAB(ADAC)ABADABAC

ABADcosAB,ADABACcosAB,ACcos60cos600，D错误．

故选：ABC.

【技巧归纳】

求空间向量数量积的步骤：

第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；

第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；

第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；

第四步：代入ababcosa,b求解．

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题型02空间向量的夹角运算

1．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量a，b，c的长度均为2，且ab0，cacb2，则c与ab

的夹角为（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

【答案】B

【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角.

【详解】因为cacb2cacb4cab4；

2

22

又aba2abb4048，所以ab22，c2，

cab

42

设c与ab的夹角为，则cos，

cab2222

π

又0,π，所以.

4

故选：B

2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别是AB，CD的

中点，直线BN与DM夹角的余弦值为（）

32312

A．B．C．D．

3333

【答案】D

【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可.

11

【详解】由图可得，BNBCBD,DMDBBMBDBA，

22

11

设正四面体的棱长为a，则BN·DMBCBD·BDBA

22

11111

a2cos60a2cos60a2a2cos60a2,

24242

12/35

2

2a3

结合题意可得BNDMaa.

22

π

因为两条异面直线的夹角的范围是0,，

2

1

a2

BN·DM22

故直线BN与DM夹角的余弦值为cosBN,DM.

BNDM333

aa

22

故选：D.

3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACABAA12，BC2AE2，

则向量与的夹角的余弦值是（）

AEA1C

123

A．B．C．D．0

222

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解.

【详解】在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，

222

则A1AAB,A1AAC，由ACAB2，BC2，得ABACBC，则ABAC，

1

由BC2AE2，得E为BC的中点，则AEABAC，

2

112

由，得，则，

ACAA12A1C2AEA1CABACACAA1AC1

22

AEAC1

1

因此cosAE,A1C＝，

AEA1C2

1

所以向量与的夹角的余弦值是

AEA1C.

2

1

4．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥PABC中，PBPC1,APC90,ABPC，

2

则BPC___________．

13/35

【答案】60

【分析】由空间向量数量积的定义和运算性质即可求解.

【详解】设BPC，因为PBPC1,APC90，

所以AP·PC0，

1

则ABPCAPPBPCPBPC11cos．

2

所以60，即BPC60．

故答案为：60

π

5．（23-24高二上·浙江温州·期中）把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD

3

的中点，O是原正方形ABCD的中心，则EOF的余弦值为_________．

1

【答案】/0.25

4

【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解.

π

【详解】由于OBCA,ODCA,所以BOD,

3

1

不妨设正方形的边长为2，则OAOBOCOD2,OEOFBC1,

2

11

OEOBOC,OFOAOD,

22

11

所以OEOBOC,OFOAOD,

22

11

故OEOFOBOCOAODOBOAOCOAOBODOCOD

44

111

022220,

424

OEOF1

所以cosEOFcosOE,OF,

OEOF4

1

故答案为：

4

14/35

【技巧归纳】

求两个非零向量夹角的两种途径

(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.

(2)利用数量积求异面直线夹角的余弦值.

题型03空间向量模长的运算

1．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知i,j,k是空间两两垂直的单位向量，空间向量ai2j2k，则向

量a的模为（）

A．1B．3C．9D．1,2,2

【答案】B

15/35

22

【分析】由aa，结合向量数量积的运算即可求解.

【详解】因为i,j,k是空间两两垂直的单位向量，

2

22222

所以aai2j2ki4j4k4ij4ik8jk9，

故a3.

2．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥ABCD中，

ABACAD2,BAC90,BADCAD60,M,N分别为BC,AD的中点，则|MN|（）

A．22B．2C．2D．1

【答案】D

111

【分析】利用空间向量的线性运算可得MN=AD-AB-AC，结合空间向量数量积的运算律计算可得

222

MN.

【详解】由题意得，ABACAD2，AB,AC=90°，AB,AD60，AC,AD=60°，

11

∴ABAC0，ABAD222，ACAD222.

22

11111

∵MN=AN-AM=AD-AB+AC=AD-AB-AC，

22()222

2

骣111

∴MN=琪AD-AB-AC

桫222

121212111111

=AD+AB+AC-2鬃ADAB-2鬃ADAC+2鬃ABAC

444222222

=1+1+1-1-1+0=1.

故选：D.

3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角l的大小为，点A，B分别在半平面，内，ACl

3

于点C，BDl于点D．若AC5，BD6，CD52，则AB（）

16/35

A．141B．7C．8D．9

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.

π

【详解】依题意，ABACCDDBCACDDB，而CACD,DBCD,CA,DB，

3

1

所以AB(CACDDB)252(52)2622569.

2

4．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知a,b,c是两两垂直的单位向量，则a2b2c________________．

【答案】3

【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可

【详解】解：因为a,b,c是两两垂直的单位向量，

所以a·bb·ca·c0,abc1，

2

222

所以a2b2ca2b2ca4b4c4ab4ac8bc93

故答案为：3．

5．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若A1ABBADA1AD60，

ABBC2，AC117，则AA1______.

【答案】1

【分析】运用空间向量基底法，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为AC1ABBCCC1ABADAA1，

2

所以，即

AC1ABADAA1

2222

设AAmm0，

AC1ABADAA12ABADcos60AA1ADcos60ABAA1cos60.1

代入得44m242m2m17，

即m24m50，解得m1或m5（舍去），

故AA11.

故答案为：1

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【技巧归纳】

利用向量方法求长度或距离的基本方法

(1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模.

(2)因为a·a=|a|2,所以|a|=a·a,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为

|a±b|=(a±b)2=a2±2a·b+b2.

(3)可用|a·e|=|a||cosθ|(e为单位向量,θ为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量上的投影向量的大小.

题型04投影向量的运算

3π

1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知a2，空间向量e为单位向量，a,e，则空间向量a在向量

4

e方向上的投影向量为（）

A．2eB．eC．2eD．e

【答案】C

【分析】利用投影向量公式求解即可.

【详解】由投影向量公式得空间向量a在向量e方向上的投影向量如下，

3π

为acosa,eecose2e，故C正确.

4

故选：C

2．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量AB1在AC上的投影向量为（）

111

A．ACB．ACC．ACD．AC

234

【答案】B

【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向

AB1CB1B1OACOAB1AC

18/35

1

量为AOAC.

2

【详解】因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1B1CAC,

所以AB1C正三角形，过点B1作B1OAC，垂足为O.

11

则AOAC，所以向量AB在AC上的投影向量为AOAC.

212

故选：B

3．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体ABCDABCD中，点E是CC的中点，AB2.设AE在AD

上的投影向量为a,DCb，则ab（）

3233

A．B．2C．D．3

22

【答案】A

【分析】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得.

1

【详解】AEABBCCEABADAA，ADADAA，

2

1

ABADAAADAA

AEADAD

则2

a2ADAA

ADADADAA

2112

ABADABAAADADAAAAADAA

22

22ADAA

AD2AAADAA

1

00220022

1，

2

22ADAAADAA

2024

2221221

abab2abADAADC2ADAADC

164

12221

AD2AAADAAABADABAAAB

162

1119

2202222004，

16222

19/35

932

故ab.

22

故选：A.

4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交

点，G为CC1的中点，则A1O在AC上的投影向量的模为________；DG在平面ABCD内的投影向量的模为

________．

【答案】22

【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.

【详解】根据正方体的性质可知，AA1平面ABCD，

而AC平面ABCD，所以AA1AC，

所以A1O在AC上的投影向量为AO，模为2.

根据正方体的性质可知，CG平面ABCD，

而CD平面ABCD，所以CGCD，

所以DG在平面ABCD内的投影向量为DC，模为2.

5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量a，b满足a3b3，且a2b在ab上的投影向量为

1

ab，则ab=______．

2

【答案】1

a2bab1

【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得22，将已知