2026年甘肃省兰州市中考数学试卷试题真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年兰州市初中学业水平考试数

学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的相反数是（

）A． B． C． D．2．数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（

）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．5．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（

）A． B． C． D．6．在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（

）A．2 B．3 C．5 D．77．《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（

）A． B．C． D．8．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（

）A． B． C． D．9．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（

）A． B． C． D．10．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（

）A． B． C． D．11．如图1，在菱形中，对角线与相交于点，是的中点，连接．动点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，如图2，关于的函数图象的最低点是点，则的长是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12．若，则__________．13．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个）14．在中，对角线与相交于点，是等边三角形，，则的面积是__________．15．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号）①函数图象与轴的交点坐标是；

②函数图象的对称轴是直线；③当时，随的增大而增大；

④当时，函数的最大值是10．三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算：．17．先化简，再求值：，其中．18．取哪些整数值时，不等式和都成立？19．解答下列各题：(1)初步探究：能被67整除吗？请你说明理由．(2)迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？20．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，．(1)求反比例函数的表达式；(2)求线段的长．21．问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周．(1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周：①作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________．(2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成．22．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，．23．近年来，我国加快推动能源绿色低碳转型，持续提高新能源供给比重，推进化石能源安全可靠有序替代，着力构建新型电力系统，建设能源强国．我国清洁能源（水电、核电、风电、太阳能）发电规模实现历史性跃升，能源结构转型成效显著．某综合实践研究小组根据我国相关部门公布的规模工业发电量的数据进行整理、描述与分析，给出部分数据信息：信息一：2016—2025年火电、清洁能源及太阳能年度发电量统计图信息二：2024年1—12月清洁能源月度发电量的中位数是2513；2025年1—12月清洁能源月度发电量从小到大排序，前四个数据为：2228，2299，2447，2558．信息三：2025年火电、清洁能源月度发电量统计图请根据以上信息，解答下列问题：(1)2016—2025年，清洁能源年度发电量的变化趋势：______________________________．(2)下列结论正确的是____________________．（填序号）①2025年，第二季度火电和清洁能源月度发电量都持续增长；②清洁能源月度发电量2025年有9个月超出2024年的中位数；③太阳能年度发电量2021—2025年比2016—2020年增长快．(3)结合以上信息，请你谈谈对我国未来能源发展趋势的看法．24．如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．25．如图1，在平面直角坐标系中，点，．给出如下定义：对于线段及外一点，若线段上存在两点，，满足且，则称点为线段的“等腰直角点”．(1)已知点是线段的“等腰直角点”，求的长；(2)当时，求线段的“等腰直角点”的坐标；(3)当时，直线上存在线段的“等腰直角点”，求的取值范围；(4)如图2，已知正方形的四个顶点为，，，．若正方形的边上存在线段的“等腰直角点”，求长的取值范围．26．综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系．(1)【建立模型】同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题．(2)【模型应用】小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由．(3)【模型迁移】小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【详解】解：的相反数是．2．C【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．3．A【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．4．D【详解】解：，A错误；，B错误；，C错误；，D正确．5．B【分析】根据旋转性质得到，再进行角度运算即可求解．【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到，∴，∵，∴．6．A【分析】先求出的增加量和的增加量，根据题意每增加1，也增加即可求出．【详解】解：∵由2增加到3，由5增加到7，∴的增加量为，的增加量为，∵每增加1，的增加量等于，∴．7．A【分析】根据两次购买的总价列方程组即可．【详解】解：根据题意，得．8．B【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解．【详解】解：∵四边形，均为正方形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，，∴，为等腰直角三角形，∴，∴，同理，∴，∴正方形与正方形的相似比是．9．C【详解】解：将代入，得，两边同时乘以，得，移项，得，开平方，得，∵，∴，解得．10．C【详解】解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州），画树状图如下：从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果只有种，恰好能组成“兰州”一词的概率是．11．B【分析】根据函数图象的转折点确定的长，根据图象最低点确定的长，结合菱形性质、勾股定理及直角三角形斜边中线性质求解．【详解】解：由函数图象可知，当时，图象出现转折，说明点运动到点，．四边形是菱形，，．当时，线段的长最小，由图象可知，的最小值为．，，，，，是的中点，，，．在中，，，是的中点，．12．4【分析】将所求代数式变形后，整体代入已知条件计算即可．【详解】解：∵，∴对提取公因式变形，得，将代入上式，得．13．（或或或）【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答．【详解】解：，，即．又，可添加的条件有：（1）添加，在和中；（2）添加，在和中；（3）添加，则，由（1）可知；（4）添加，则，由（2）可知．14．【分析】由平行四边形的对角线互相平分得到，，由是等边三角形得，这样我们可以得到对角线．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，得出是矩形，所以为直角三角形，借助勾股定理得，最后根据矩形面积公式即可求出结果．【详解】解：如图所示：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵是等边三角形，∴，∴，，∴，∴是矩形，∴，在中，由勾股定理得，∴．15．①②④【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可．【详解】解：①：把代入，得，∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确；②：二次函数的对称轴为直线，故②正确；③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，故③错误；④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值，∴代入得，即函数最大值是，故④正确；综上，正确结论的序号是①②④．16．【分析】利用乘法分配律展开原式，化简二次根式后合并计算得到结果．【详解】解：原式．17．，【详解】解：当时，原式．18．满足条件的的整数值为，．【详解】解：解不等式得，解不等式得，∴使不等式和都成立的解集为，∴满足条件的的整数值为，．19．(1)能被67整除，理由：，∴能被67整除；(2)能被三个连续的整数整除理由：，∵为大于1的整数，∴、n、是连续的整数，∴能被三个连续的整数整除．【分析】（1）先提公因式66，再利用平方差公式因式分解，进而可得结论；（2）先提公因式n，再利用平方差公式因式分解，进而可得结论．【详解】（1）略（2）略20．(1)(2)【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式．（2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，两点横坐标绝对值的差，即可得到的长度．【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到，得与为同一函数，，，一次函数为，其交轴于点，则，过点作轴于点，，则的横坐标为，在上，代入得，，点坐标为，点B在反比例函数上，将点B坐标代入得，，则反比例函数表达式为（2）解：过点作轴于点，为的中位线，，，，轴，，点的横坐标为，又点在一次函数上，代入得，，点的坐标为又为水平线，为与的交点，将代入得，，点的坐标为．21．(1)①作的任意直径，如图：②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示：依据：,得到的圆心角,在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧,故点，，，将四等分．(2)圆周八等分如图所示：【分析】（1）①过点O作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，此时，得到的圆心角，根据相等的圆心角所对的弧相等，即可证明四等分．（2）根据（1）的解题思路，相等的圆心角所对的弧相等，所以只需要分别作第一问中四个圆心角的角平分线，形成八个相等的圆心角，得到八段相等的圆弧，即可使圆八等分．具体作法：分别以点B，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接，交于点F，同理，分别以点A，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点H，再分别以点B，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点G，最后分别以点A，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点E，此时，八个圆心角大小相等，得到八段相等的圆弧，即完成八等分．【详解】（1）略．（2）略．22．【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可．【详解】解：设，，由题意知，∵，，，∴，又∵，即且，∴四边形为平行四边形，∵，即，∴四边形为矩形，同理可得四边形、四边形也为矩形，∴，，，∴，，∴，解得，∴，∴．23．(1)逐年持续增长(2)①②③(3)我国未来能源结构中清洁能源的发电量占比将不断提升，同时太阳能等新能源产业会保持高速发展，推动能源体系向更安全、绿色、可持续的方向升级．（表述合理即可）【分析】（1）根据信息一的统计图中清洁能源年度发电量分析即可；（2）根据信息三的火电、清洁能源月度发电量统计图第二季度，即4、5、6月份的数据分析可判断①；根据信息二的2024年中位数与2025年从小到大排序后的前四个数据比较可判断②；根据信息一的太阳能年度发电量数据可判断③；（3）结合三个信息中数据体现的特征：清洁能源发电量持续快速的增长、火电占比逐步相对下降，可从能源结构优化、新能源发展等角度展开合理表述即可．【详解】（1）略；（2）解：①第二季度为4、5、6月，从信息三的统计图读取对应数据，火电和清洁能源都是持续增长的，故该结论正确；②∵2024年1—12月清洁能源月度发电量的中位数是2513，2025年1—12月清洁能源月度发电量从小到大排序，前四个数据为：2228，2299，2447，2558，其中2558大于2513，∴剩余8个月的数据均大于2513，即有9个月超出2024年的中位数，故该结论正确；③根据信息一，太阳能年度发电量2016—2020年增长了（亿千瓦时）；2021—2025年增长了（亿千瓦时）；∵∴太阳能年度发电量2021—2025年比2016—2020年增长快，故该结论正确；（3）略．24．(1)证明：连接，是的直径，是的切线，，，，，，，，四边形中，，，，是的半径，是的切线；(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论；（2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径．【详解】（1）略（2）解：，在和中，，，，，，，，，中，，在中，，即，解得，即的半径为．25．(1)(2)或(3)或(4)【分析】（1）证明为等腰直角三角形，进而解题；（2）证明为等腰直角三角形，，推出此时点与原点重合，与点重合，进而解题；（3）将（1）中的沿轴向左平移至处，此时点与点重合；将（1）中的沿轴向右平移至处，此时点与点重合；推出直线与轴的交点应在线段上，代入对应坐标即可解题；再根据对称性得到全部结果；（4）过点作交于点，过点作交于点，延长交轴于点，延长交轴于点，证明点为正方形的边上所有线段的“等腰直角点”中的最低点，点、为正方形的边上所有线段的“等腰直角点”中的最高点，进而得到范围．【详解】（1）解：如图，过点作轴交于点，则，，∵点是线段的“等腰直角点”，∴，，∴为等腰三角形，∵，∴平分，即，∴，∴，∴，即，∴；（2）解：如图，由（1）知，为等腰直角三角形，，∴，当时，，解得，∴，∴，此时点与原点重合，与点重合，∴；由对称性可知，在第四象限也存在满足题意，∴线段的“等腰直角点”的坐标为或；（3）解：如图，当时，得到的与（1）中的全等，将（1）中的沿轴向左平移至处，此时点与点重合，；将（1）中的沿轴向右平移至处，此