2025年青海省数学专升本考试真题及答案

2025年青海省数学专升本考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=1处取得极小值

C.f(x)在x=2处取得极大值

D.f(x)在x=2处取得极小值

答案：A

解析：求导得f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=1和x=1。再求二阶导数f''(x)=6x，可知在x=1处f''(1)=6>0，故f(x)在x=1处取得极小值。

2.已知函数y=ln(x1)，则函数的定义域是（）

A.(∞,1]

B.(∞,1)

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)

答案：C

解析：由于对数函数的定义域为正实数，所以x1>0，解得x>1，故函数的定义域为(1,+∞)。

3.设a是方程x^36x+9=0的一个实数根，则方程x^33ax^2+3a^2xa^3=0的实数根之和是（）

A.6

B.3a

C.0

D.a

答案：B

解析：将a代入原方程得a^36a+9=0，解得a=3。将a=3代入新方程，得x^39x^2+27x27=0，方程的根为3，3，3，故实数根之和为3a。

4.设函数f(x)=x^2+kx+1在区间(0,1)内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）

A.k<2

B.k>2

C.2<k<2

D.k=2

答案：C

解析：函数f(x)=x^2+kx+1在区间(0,1)内有两个不同的实数根，即f(0)f(1)<0。代入得1(1+k)<0，解得k<1。又因为f(x)在区间(0,1)内有两个不同的实数根，所以判别式Δ=k^24>0，解得k>2或k<2。综合得到2<k<2。

5.已知a,b,c是等差数列，且a+b+c=12，abc=27，则等差数列的公差是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：B

解析：由于a,b,c是等差数列，设公差为d，则a=bd，c=b+d。代入a+b+c=12得3b=12，解得b=4。代入abc=27得(bd)(b)(b+d)=27，代入b=4得4(4d)(4+d)=27，解得d=3。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，则f(x)的极值点为__________。

答案：x=0和x=2

解析：求导得f'(x)=3x^26x+2，令f'(x)=0，解得x=0和x=2。再求二阶导数f''(x)=6x6，可知在x=0处f''(0)=6<0，故f(x)在x=0处取得极大值；在x=2处f''(2)=6>0，故f(x)在x=2处取得极小值。

2.设函数f(x)=e^x/(1+x^2)，则函数的垂直渐近线为__________。

答案：x=0

解析：当x趋近于0时，分母1+x^2趋近于1，分子e^x趋近于1，故函数f(x)趋近于无穷大，即x=0是函数的垂直渐近线。

3.已知函数f(x)=x^36x+9在区间(0,3)内的实数根个数为__________。

答案：2

解析：求导得f'(x)=3x^26，令f'(x)=0，解得x=1和x=2。由于x=2不在区间(0,3)内，所以只需考虑x=1。再求二阶导数f''(x)=6x，可知在x=1处f''(1)=6>0，故f(x)在x=1处取得极小值。又因为f(0)=9，f(3)=12，所以f(x)在区间(0,3)内有两个实数根。

4.设a,b,c是等差数列，且a+b+c=12，abc=27，则等差数列的公差d=__________。

答案：3

解析：由题意得b=4，(bd)(b)(b+d)=27，代入b=4得4(4d)(4+d)=27，解得d=3。

5.设函数f(x)=x^2+kx+1在区间(0,1)内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是__________。

答案：2<k<2

解析：由题意得k<1且k>2或k<2，综合得到2<k<2。

三、解答题（每题25分，共50分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的极值点及极值。

答案：极值点为x=0和x=2，极大值为f(0)=1，极小值为f(2)=3。

解析：求导得f'(x)=3x^26x+2，令f'(x)=0，解得x=0和x=2。再求二阶导数f''(x)=6x6，可知在x=0处f''(0)=6<0，故f(x)在x=0处取得极大值；在x=2处f''(2)=6>0，故f(x)在x=2处取得极小值。

2.已知函数f(x)=e^x/(1+x^2)，求函数的垂直渐近线和水平渐近线。

答案：垂直渐近线为x=0，水平渐近线为y=0。

解析：当x趋近于0时，分母1+x^2