小学数学五年级上册“循环小数”核心知识清单

小学数学五年级上册“循环小数”核心知识清单一、数的扩展：从有限走向无限——循环小数的概念建构（一）核心概念：为什么“除得尽”与“除不尽”？【基础】【重要】在除法运算中，两个数相除，其结果（商）按照小数部分的位数情况可以分为两大类。1、有限小数：当两个数相除，如果除到被除数的末位，余数为0，那么商的位数是有限的，这样的小数叫做有限小数。例如：10÷4=2.5，3.2÷5=0.64。这就是我们通常所说的“除得尽”的情况。【基础】2、无限小数：当两个数相除，除到被除数的末位后，仍然有余数，并且余数不断重复出现，导致商的小数部分的位数是无限的，这样的小数叫做无限小数。本节课的核心“循环小数”就是无限小数中的一种特殊且重要的形式。这就是我们所说的“除不尽”的情况。【核心】【高频考点】（二）情景导入与问题发现：蜘蛛和蜗牛谁爬得快？【热点】通过具体情境感知“除不尽”现象。蜘蛛3分爬行73米，蜗牛11分钟爬行9.4米。求它们各自的速度。★核心算式与竖式分析：1、蜘蛛速度：73÷3竖式计算过程：除到个位商2，余1；落下0变成10，商3，余1；再落下0变成10，商3，余1……我们会发现，余数“1”不断重复出现，商的小数部分也不断重复出现数字“3”。这个商是24.333…472、蜗牛速度：9.4÷11竖式计算过程：个位不够商1，商0；94除以11商8，余6；落下0变成60，商5，余5；落下0变成50，商4，余6；再落下0变成60，商5，余5……我们会发现，余数“6”和“5”交替重复出现，商的小数部分也依次不断重复出现数字“5”和“4”。这个商是0.85454…47（三）【难点】循环小数的精确定义与要素剖析1、定义：【非常重要】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。1282、核心要素——循环节：【重要】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。2810例如：24.333…的循环节是“3”；0.85454…的循环节是“54”；0.142857142857…的循环节是“”。3、【难点辨析】定义中的关键信息：“从某一位起”：意味着循环不一定是从小数点后第一位开始。如0.85454…就是从第二位开始循环的。“一个数字或者几个数字”：循环节可以是1个数字（如3.666…），也可以是两个或两个以上数字（如0.5454…的循环节是54，7.…的循环节是123）。“依次不断重复出现”：这是循环小数的本质特征，强调的是无限的、永恒的重复。（四）【高频考点】循环小数的分类根据循环节开始的位置，循环小数可以分为两类：1、纯循环小数：【基础】循环节从小数部分第一位（十分位）就开始的循环小数。例如：3.666…（写作3.\dot{6}），0.142857142857…（写作0.\dot{1}4285\dot{7}）。32、混循环小数：【基础】循环节不从小数部分第一位开始的循环小数。例如：0.85454…（写作0.8\dot{5}\dot{4}），7.…（写作7.23\dot{4}5\dot{6}）。3二、数学的简洁美：循环小数的表示法与读写规范（一）【非常重要】循环小数的两种表示方法1、一般表示法：在写出商的小数点后，写出几次重复的循环节后，用省略号“…”表示无限延伸。例如：73÷3=24.333…，9.4÷11=0.85454…，1÷7=0.142857142857…。42、简便表示法（点循环点）：为了书写简便，只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点“·”。2810（1）当循环节是1个数字时，就在这一个数字上点一个点。例如：24.333…写作24.\dot{3}，读作“二十四点三，三循环”。4（2）当循环节是多个数字时，就在循环节的首位和末位数字上各点一个点。例如：0.85454…写作0.8\dot{5}\dot{4}，读作“零点八五四，五四循环”。0.142857142857…写作0.\dot{1}4285\dot{7}，读作“零点一四二八五七，一四二八五七循环”。4（二）【易错点】简便记法的特别注意事项1、循环节的确定必须准确。例如对于3.09090…，其循环节是“09”而不是“90”，因为从小数部分第一位后，依次重复出现的是09，所以应写作3.\dot{0}\dot{9}。32、如果循环节较长，必须找准起始和终止位置，只在这两个数字上点点，中间的数字不点。例如0.1234234234…的循环节是“234”，应写作0.1\dot{2}3\dot{4}。3、整数部分的数字无论是否循环，都不能点循环点。三、数与数之间的逻辑关系：有限小数、无限小数与循环小数的辨析【基础】【非常重要】这是本单元最为重要的概念辨析题，必须清晰理解各类小数的包含关系。1、按小数部分的位数分：（1）有限小数：位数有限，可以明确写出最后一位。例如：0.125，3.6，7.84。（2）无限小数：位数无限。它又包含两类：——无限循环小数：就是我们今天学习的循环小数。它的小数部分虽然无限，但有规律可循。——无限不循环小数：小数部分无限，但没有重复出现的规律。例如圆周率π=3.1415926535…，或者像0.1010010001…这样的数。注意：在小学阶段，无限不循环小数不作要求，但需要知道有这类数的存在。82、结论：【核心】循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数（还有可能是无限不循环小数）。有限小数一定不是循环小数。68四、【高频考点】循环小数的应用：比较大小与近似值（一）【难点】循环小数的大小比较比较循环小数的大小，不能只看形式，必须把循环小数的简便记法进行“还原”，写出至少23个完整的循环节，再按照小数大小的比较方法（从高位到低位逐位比较）进行。8★解题步骤：1、将简便记法还原：写出小数部分尽可能多的位数，直到能清晰看出每一位数字。例如比较0.8\dot{5}\dot{4}和0.\dot{8}5\dot{4}，需要写出0.85454…和0.…。2、竖式对齐比较：将两个小数的相同数位对齐。3、逐位比较：从最高位（十分位）开始比，如果相同，再比较百分位、千分位……直到比出大小。【例题】比较3.\dot{2}和3.2\dot{3}的大小。3.\dot{2}=3.22222…3.2\dot{3}=3.23333…对齐数位：3.2222…与3.2333…，十分位都是2，百分位前者是2，后者是3，所以3.2\dot{3}>3.\dot{2}。（二）【非常重要】求循环小数的近似值（四舍五入法）在实际应用中，往往不需要无限的小数，需要根据要求取它的近似值。方法与求小数近似值的方法一致，采用“四舍五入”法。146★核心法则：【重要】精确到哪一位，就要看它下一位上的数字。如果下一位上的数字大于或等于5，则向前一位进一；如果小于5，则舍去。【高频考题示例】1、保留两位小数：0.85454…≈0.85解析：保留两位小数，要看第三位（千分位）。0.85454…的千分位是4（小数点后第三位），4＜5，所以舍去，结果为0.85。42、保留三位小数：0.142857142857…≈0.143解析：保留三位小数，要看第四位（万分位）。0.…的第四位是8，8≥5，所以向前一位进一，第三位上的2变成3，结果为0.143。3、【易错点】近似数末尾的0不能去掉。例如2.…保留两位小数，应为2.60，这里的0起到占位作用，表示精确到了百分位，不能写成2.6。6五、【难点突破】商是循环小数的判断与除法中的规律探索（一）如何在不计算或初步计算时判断商是否是循环小数？1、基于除法的整除性质：当除数是整数时，如果除数中含有除了2和5以外的质因数，那么这个除法算式很有可能产生循环小数。2、【规律】一个最简分数，如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数可以化成有限小数；如果分母含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成循环小数。例如：1/2=0.5，1/4=0.25，1/5=0.2，1/8=0.125（分母只含2和5）；而1/3≈0.333…，1/7=0.…，1/9=0.111…，1/11=0.0909…（分母含有2、5以外的质因数）。1（二）【拓展】有趣的循环小数规律1、1÷9=0.111…=0.\dot{1}2、2÷9=0.222…=0.\dot{2}3、1÷11=0.0909…=0.\dot{0}\dot{9}4、著名的“走马灯数”：1÷7=0.142857142857…=0.\dot{1}4285\dot{7}，其循环节“”是一个非常神奇的数字，它与2/7、3/7等有着密切的循环关系。4六、【易错诊所】典型错误分析与规避【易错点1】对循环小数定义理解不深，误以为重复出现几次就是循环小数。【案例】判断：5.3232323232是循环小数。（×）8【分析】这个小数虽然由“32”重复组成，但末尾没有省略号，表示它是一个有限小数（位数是确定的），因此它不是循环小数。循环小数必须是“无限”的。【易错点2】循环节找错。【案例】3.09090…的循环节是（）A.09B.90C.0903【分析】正确答案是A。从小数部分第一位后，依次重复出现的是09，所以循环节是09，写作3.\dot{0}\dot{9}。【易错点3】取近似值时，进位处理错误。【案例】4.…保留两位小数约是（）。A.4.38B.4.3910【分析】正确答案是A。保留两位小数看第三位千分位。4.…的第三位是3，小于5，所以舍去，应为4.38。部分同学会错误地认为第三位是3，但看到后面是838，误以为进位。【易错点4】比较大小或取近似值时，没有将循环小数展开足够的位数。【案例】比较0.4\dot{5}和0.\dot{4}5的大小。【分析】必须展开：0.4555…与0.4545…，显然前者大。【易错点5】混淆无限小数和循环小数的关系。【案例】判断：无限小数都是循环小数。（×）【分析】无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数（如π），因此该说法错误。七、跨学科视野与思维拓展（一）与生活的联系——“循环”现象数学中的循环现象，在生活中比比皆是。例如：一年四季的“春、夏、秋、冬”周而复始；一周七天的“星期一、星期二……星期日”循环往复；钟表上的时针、分针转动一圈又回到原点。这些自然和社会现象中的“循环规律”，正是数学家们创造“循环小数”概念的灵感来源之一。（二）与分数的互化（初中衔接）循环小数可以化成分数，这是初中数学的重要基础。1、纯循环小数化分数：分母由若干个9组成，9的个数等于循环节的位数；分子就是一个循环节所组成的数。例如：0.\dot{3}=3/9=1/3；0.\dot{1}4285\dot{7}=/999999=1/7。2、混循环小数化分数：分母由若干个9后面带若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数；分子是小数部分所有数字组成的数减去不循环部分数字组成的数。例如：0.8\dot{5}\dot{4}=(8548)/990=846/990=47/55。八、【实战考场】典型题型与解题策略（一）题型一：概念辨析题【考题】在0.3232，3.121121112…，4.777…，0.\dot{3}，π这些数中，有限小数有（），无限小数有（），循环小数有（）。【解题策略】严格按照定义分类。有限小数是位数确定的；无限小数是位数无限的（含省略号或π）；循环小数是无限且有重复规律的。【答案】有限小数：0.3232；无限小数：3.121121112…，4.777…，0.\dot{3}，π；循环小数：4.777…，0.\dot{3}。（二）题型二：竖式计算与表示题【考题】用竖式计算28÷18，商用循环小数的简便记法表示，并保留两位小数。3【解题步骤】1、列竖式计算：28÷18=1.555…，余数重复出现10，商重复出现5。2、简便记法：1.\dot{5}3、保留两位小数：看第三位千分位是5，向前一位进一，所以1.555…≈1.56。【答案】28÷18=1.\dot{5}≈1.56（三）题型三：循环节与周期问题【考题】循环小数4.\dot{3}8\dot{2}的小数部分第50位上的数字是几？8【解题策略】先确定循环节的位数和起始点。该小数是4.…，循环节是“382”，共3位。求第几位上的数字，用序号除以循环节位数，看余数。1、第1位“3”是循环节第一位，第2位“8”是第二位，第3位“2”是第三位。2、50÷3=16（组）……2（个）3、余数是2，说明第50位是第17组循环节中的第2个数字，即“8”。【答案】第50位上的数字是8。（四）题型四：比较大小题【考题】把0.6\dot{7}，0.\dot{6}7，0.67\dot{7}按从