2026年中考数学真题知识点专题 三角形(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（二）一．选择题（共7小题）1．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0的正整数解．则等腰三角形的周长为（）A．3 B．4 C．5 D．4或52．（2026•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∠ABC＝45°，AE⊥BC，边BC分别与AE，AF相交于点M，N．若BC＝12，则MN＝（）A．23 B．33 C．433．（2026•安徽）如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（）A．DF＝CE B．CM=2DN C．CH＝CN D．AN=4．（2026•台湾）如图，直角柱ABCDEF的底面为正三角形，图中标示各顶点名称．判断此角柱中的∠ABC、∠BCF的度数分别为何？（）A．∠ABC＝90°，∠BCF＝90° B．∠ABC＝60°，∠BCF＝60° C．∠ABC＝90°，∠BCF＝60° D．∠ABC＝60°，∠BCF＝90°5．（2026•台湾）如图，圆O与菱形ABCD中，A、B、D在圆上，C在圆内，O在AC上．若圆O的半径为13，BD＝24，则CO的长度为多少？（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2026•台湾）△ABC的边上有三点D、E、F，各点位置如图所示．若BE＝AF，∠BED＝∠AFC，ED＝FC，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF周长为何？（）A．20 B．22 C．24 D．257．（2026•台湾）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D点为AC的中点，E点在BD上，AE为∠BAC的角平分线．若∠C＝40°，则∠AEB的度数为何？（）A．105 B．110 C．115 D．120二．填空题（共11小题）8．（2026•广东）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝2，连接BD，∠BDC＝110°，∠ABD＝20°，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EF，FG，EG，则EG＝．9．（2026•齐齐哈尔）数学活动课上，同学们把底角为30°的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点A1在经过原点的直线l上，OA1＝1，点B1在x轴正半轴上，△A1OB1是以OB1为底边的“友好三角形”，以A1B1为底边向右作“友好三角形A1B1C1”；过点C1作A1B1的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A2，B2，以A2B2为底边向右作“友好三角形A2B2C2”；过点C2作A2B2的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A3，B3，以A3B3为底边向右作“友好三角形A3B3C3”…按此规律，点C2026的纵坐标为．10．（2026•河北）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，则CE＝m．11．（2026•深圳）如图，在菱形ABCD中，点E为边BC的中点，连接AE，DE．若AE＝4，且DE2＝AB•BE，则菱形ABCD的边长为．12．（2026•新疆）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑动，另一顶点C在地面上滑动，O，A，B，C在同一平面内，若AB＝3，BC＝4，则木块顶点A到墙角O的距离的最大值为．13．（2026•河南）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD是角平分线．点E为边BC上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．若AE＝25，则BF的长为．14．（2026•福建）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选择一点C，连接AC和BC，分别取AC和BC中点M，N，测得MN＝100米，则A，B两点间的距离是米．15．（2026•山西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10．点E是AB边上的一点，且AE＝3，连接DE，过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F，交CD边于点G．若CF＝CG＝5，则线段BF的长为．16．（2026•上海）等腰三角形ABC中，∠A≠∠B，∠A＝80°，∠B＝．17．（2026•攀枝花）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝2，BC＝6，∠B＝30°，则△ABD的面积为．18．（2026•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（二）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案CABDBBA一．选择题（共7小题）1．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0的正整数解．则等腰三角形的周长为（）A．3 B．4 C．5 D．4或5【考点】等腰三角形的性质；一元一次不等式的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】C【分析】解不等式2x﹣5≤0，得x≤2.5，则该不等式2的正整数解为1，2，由于1+1＝2不满足两边之和大于第三边，因此1不能是等腰三角形的腰，只能是底边，此时该等腰三角形的三边长为2，2，1，据此可得等腰三角形的周长为5．【解答】解：解不等式2x﹣5≤0，得：x≤2.5，∴不等式2x﹣5≤0的正整数解为1，2，依题意得：该等腰三角形的两边为1，2，又∵1+1＝2不满足三角形两边之和大于第三边，∴1不能是等腰三角形的腰，只能是底边，∴该等腰三角形的腰长为2，底边长为1，此时该等腰三角形的三边长为：2，2，1，∴等腰三角形的周长为：2+2+1＝5．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，解一元一次不等式，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边之间的关系，解一元一次不等式是解决问题的关键．2．（2026•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∠ABC＝45°，AE⊥BC，边BC分别与AE，AF相交于点M，N．若BC＝12，则MN＝（）A．23 B．33 C．43【考点】勾股定理；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】依题意得△ABC是等腰直角三角形，根据AE⊥BC于点M，得AM＝BM＝CM＝6，∠AMN＝90°，再求出∠MAN＝∠EAF＝30°，在△AMN中得AN＝2MN，然后由勾股定理可得MN=23【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AE⊥BC于点M，BC＝12，∴AM＝BM＝CM=12BC＝6，∠在△AEF中，∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∴∠EAF＝30°，∴∠MAN＝∠EAF＝30°，在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝30°，∴AN＝2MN，由勾股定理得：AM=AN∴3MN＝6，∴MN=23故选：A．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．3．（2026•安徽）如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（）A．DF＝CE B．CM=2DN C．CH＝CN D．AN=【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】对于选项A，连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，记为⊙M，证明点D在⊙M上得∠ADB＝90°，进而得∠FEA＝45°，由此得△FAD是等腰直角三角形，则DF＝AF，证明△AFC和△CBE全等得AF＝CE，据此得选项A正确；对于选项B，由AD＝DC得弧AD＝弧DC，则∠1＝∠2＝22.5°，由垂径定理得MD⊥AC，证明△AMC是等腰直角三角形得∠MCA＝45°，由此得MQ＝AQ＝CQ，在Rt△MQC中，由勾股定理得CM＝MQ=2AQ，明△ADN是等腰直角三角形得AD＝DN，在△AQD中，由∠AQD＝90°得AQ＜AD，则AQ＜DN，由此得CM＜2DN，则选项对于选项C，证明∠CNH＝∠CHN＝67.5°得CH＝CN，据此得选项C正确；对于选项D，对于选项D，根据△ADN是等腰直角三角形且AD＝ND，由勾股定理得AN＝√2AD，然后根据AD＝CD得选项D正确，综上所述即可得出答案．【解答】解：对于选项A，连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，点C为直角顶点，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝BC，∴AB是△ABC外接圆的直径，∵点M是AB的中点，∴点M是△ABC外接圆的圆心，记作△ABC的外接圆为⊙M，∵△DBE是等腰直角三角形，点E为直角顶点，∴∠E＝90°，∠EDB＝∠EBB＝45°，∴∠CAB＝∠EDB＝45°，∴点D在⊙M上，∴∠ADB＝90°，∴∠FEA＝180°﹣（∠EDB+∠ADB）＝180°﹣（45°+90°）＝45°，∵AF⊥DE，垂足为F，∴∠F＝90°，∴△FAD是等腰直角三角形，∴DF＝AF，在△BCE中，∠E＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，又∵∠FCA+∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠FCA＝∠EBC，在△AFC和△CBE中，∠F=∠E=90°∠FCA=∠EBC∴△AFC≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∴DF＝CE，故选项A正确，不符合题意；对于选项B，∵AD＝DC，∴AD=∴∠1＝∠2=12∠由垂径定理得：MD⊥AC，∴∠MQC＝∠AQD＝90°，在△ABC中，AC＝BC，点M是AB的中点，∴CM⊥AB，CM＝AM＝BM=12∴△AMC是等腰直角三角形，∴∠MCA＝45°，又∵MD⊥AC，∴MQ＝AQ＝CQ=12AC，∠CMB＝∠在△MQC中，由勾股定理得：CM=MQ2+C∵CM⊥AB，AM＝BM，∵CM是AB边的垂直平分线，∴AN＝BN，∴∠3＝∠2＝22.5°，∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°，又∴∠CAD＝∠1＝22.5°，∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°，在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°，∴△ADN是等腰直角三角形，∴AD＝DN，在△AQD中，∠AQD＝90°，∴AQ＜AD，∴CM＜2AD故选项B错误，符合题意；对于选项C，在△BMN中，∠CMB＝90°，∠1＝22.5°，∴∠MNB＝90°﹣∠1＝67.5°，∴∠CNH＝∠MNB＝67.5°，在△AHN中，∠CHN＝180°﹣（∠MCA+∠CNH）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°，∴∠CNH＝∠CHN＝67.5°，∴CH＝CN，故选项C正确，不符题意；对于选项D，∵CM⊥AB，AM＝BM，∵CM是AB边的垂直平分线，∴AN＝BN，∴∠3＝∠2＝22.5°，∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°，又∴∠CAD＝∠1＝22.5°，∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°，在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°，∴△ADN是等腰直角三角形，∴AD＝ND，由勾股定理得：AN=AD∵AD＝CD，∴AN=2CD故选项D正确，不符合题意，综上所述：选项B错误，符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．4．（2026•台湾）如图，直角柱ABCDEF的底面为正三角形，图中标示各顶点名称．判断此角柱中的∠ABC、∠BCF的度数分别为何？（）A．∠ABC＝90°，∠BCF＝90° B．∠ABC＝60°，∠BCF＝60° C．∠ABC＝90°，∠BCF＝60° D．∠ABC＝60°，∠BCF＝90°【考点】等边三角形的性质；认识立体图形．【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；推理能力．【答案】D【分析】由直棱柱的概念，得到CF⊥BC，得到∠BCF＝90°，由等边三角形的性质推出∠ABC＝60°．【解答】解：∵这个棱柱是直棱柱，∴侧棱CF⊥底面ABC，∴CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，故选：D．【点评】本题考查等边三角形的性质，认识立体图形，关键是掌握等边三角的三个角是60°，直棱柱的概念．5．（2026•台湾）如图，圆O与菱形ABCD中，A、B、D在圆上，C在圆内，O在AC上．若圆O的半径为13，BD＝24，则CO的长度为多少？（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】勾股定理；菱形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】AC、BD相交于点E，连结OD，如图，先根据菱形的性质得到BE＝DE=12BD＝12，AC⊥BD，AE＝CE，再利用勾股定理计算出OE＝5，再计算出CE，然后计算CE﹣【解答】解：AC、BD相交于点E，连结OD，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴BE＝DE=12BD＝12，AC⊥BD，AE＝在Rt△ODE中，∵OD＝13，DE＝12，∴OE=1∵OA＝13，∴AE＝OA﹣OE＝13﹣5＝8，∴CE＝8，∴OC＝CE﹣OE＝8﹣5＝3．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了菱形的性质．6．（2026•台湾）△ABC的边上有三点D、E、F，各点位置如图所示．若BE＝AF，∠BED＝∠AFC，ED＝FC，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF周长为何？（）A．20 B．22 C．24 D．25【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由BE＝AF，ED＝FC，求得AF+EF+ED＝BE+EF+FC＝BC＝16，而∠BED＝∠AFC，可根据“SAS”证明△BDE≌△ACF，得BD＝AC＝9，AB＝15，所以AD＝AB﹣BD＝6，则AF+EF+ED+AD＝22，于是得到问题的答案．【解答】解：∵BE＝AF，ED＝FC，且BC＝16，∴AF+EF+ED＝BE+EF+FC＝BC＝16，在△BDE和△ACF中，BE=AF∠BED=∠AFC∴△BDE≌△ACF（SAS），∴BD＝AC＝9，∵AB＝15，∴AD＝AB﹣BD＝15﹣9＝6，∴AF+EF+ED+AD＝16+6＝22，四边形ADEF周长为22，故选：B．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△ACF是解题的关键．7．（2026•台湾）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D点为AC的中点，E点在BD上，AE为∠BAC的角平分线．若∠C＝40°，则∠AEB的度数为何？（）A．105 B．110 C．115 D．120【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】A【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BAC＝50°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得BD＝AD，从而可得∠BAC＝∠DBA＝50°，然后利用角平分线的定义可得∠BAE＝25°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝40°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝50°，∵D点为AC的中点，∴BD＝AD=12∴∠BAC＝∠DBA＝50°，∵AE为∠BAC的角平分线，∴∠BAE=12∠∴∠AEB＝180°﹣∠DBA﹣∠BAE＝105°，故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．二．填空题（共11小题）8．（2026•广东）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝2，连接BD，∠BDC＝110°，∠ABD＝20°，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EF，FG，EG，则EG＝2．【考点】三角形中位线定理．【专题】三角形；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】2．【分析】根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，∴EF是△ABD的中位线，FG是△BDC的中位线，∴EF∥AB，EF＝12AB＝1，FG∥CD，FG=1∴∠DFE＝∠ABD＝20°，∠BFG＝∠BDC＝110°，∴∠GFD＝180°﹣110°＝70°，∴∠EFG＝∠EFD+∠DFG＝20°+70°＝90°，∴EG=E故答案为：2．【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．9．（2026•齐齐哈尔）数学活动课上，同学们把底角为30°的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点A1在经过原点的直线l上，OA1＝1，点B1在x轴正半轴上，△A1OB1是以OB1为底边的“友好三角形”，以A1B1为底边向右作“友好三角形A1B1C1”；过点C1作A1B1的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A2，B2，以A2B2为底边向右作“友好三角形A2B2C2”；过点C2作A2B2的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A3，B3，以A3B3为底边向右作“友好三角形A3B3C3”…按此规律，点C2026的纵坐标为12×(【考点】含30度角的直角三角形；规律型：点的坐标；等腰三角形的性质．【专题】规律型；三角形．【答案】12【分析】如图过点A1作A1D⊥x轴于点D，得出A1D=OA1sin30°=12，OD=OA1cos30°=32，OB1=2OD=3，进而可得OA1=【解答】解：如图过点A1作A1D⊥x轴于点D，∵∠A1OD＝30°，OA1＝1，∴A1D=OA1sin30°=∴OA∴A1∵∠C1A1B1＝30°＝∠A1B1O，∴A1C1∥x轴，则C1的纵坐标为12∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°，同理可得：A1C1∴OA∴A2的纵坐标为12同理可得A2C2∥x轴，则C2的纵坐标为12∵∠A1OD＝30°，∴OA∴A2B2=OA∴OA∴A3的纵坐标为12…，∴An的纵坐标为12又∵An∁n∥x轴，则∁n的纵坐标为12∴点C2026的纵坐标为12故答案为：12【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形，规律型：点的坐标，等腰三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．10．（2026•河北）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，则CE＝2m．【考点】勾股定理的应用；平行线的性质．【专题】三角形．【答案】2．【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得BD∥AC，结合已知AB∥CD可判定四边形ABDC为平行四边形，从而得出CD＝AB；利用平行线的性质得出∠DCE＝∠BAC，最后在Rt△CDE中利用三角函数求解CE的长，即可求解．【解答】解：∵BD⊥DE，AC⊥DE，∴BD∥AC，又∵AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴CD＝AB＝4m，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠BAC＝60°，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠DCE＝60°，∴CE=CD⋅cos60°=4×1故答案为：2．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，平行线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．11．（2026•深圳）如图，在菱形ABCD中，点E为边BC的中点，连接AE，DE．若AE＝4，且DE2＝AB•BE，则菱形ABCD的边长为22【考点】勾股定理；菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】22【分析】设菱形的边长为a，根据中点定义和已知条件表示出BE和DE2；过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，过点D作DF⊥BC于点F，证明△ABH≌△DCF，设BH＝CF＝x，利用勾股定理分别表示出AE2和DE2，建立关于a和x的方程组，求解即可．【解答】解：四边形ABCD是菱形，设边长为a，∴AB＝BC＝CD＝DA＝a，AB∥CD，∵点E为边BC的中点，∴BE＝CE=12BC∵DE2＝AB•BE，∴DE2＝a•12如图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，过点D作DF⊥BC于点F，∴∠AHB＝∠DFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠DCF，在△ABH和△DCF中，∠AHB=∠DFC∠ABH=∠DCF∴△ABH≌△DCF（AAS），∴BH＝CF，AH＝DF，设BH＝CF＝x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2＝a2﹣x2，在Rt△AHE中，HE＝HB+BE＝x+1由勾股定理得：AE2＝AH2+HE2=a∵AE＝4，∴54在Rt△DFE中，EF=CF−CE=x−1由勾股定理得：DE2＝DF2+EF2=a∵DE∴54∴ax=3将②代入①得54解得a=22故答案为：22【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．12．（2026•新疆）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑动，另一顶点C在地面上滑动，O，A，B，C在同一平面内，若AB＝3，BC＝4，则木块顶点A到墙角O的距离的最大值为2+13【考点】勾股定理；三角形三边关系；直角三角形的性质．【答案】2+13【分析】取BC中点D，连接OD，AD，OA，根据直角三角形的性质求出OD＝2，利用勾股定理求出AD=13，由OA≤AD+OD【解答】解：取BC中点D，连接OD，AD，OA，∵BC＝4，∴BD=1由题意得∠ABC＝∠BOC＝90°，∴OD=1∵AB＝3，∴AD=A∵OA≤AD+OD，∴OA的最大值为AD+OD=2+13即木块顶点A到墙角O的距离的最大值为2+13故答案为：2+13【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．13．（2026•河南）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD是角平分线．点E为边BC上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．若AE＝25，则BF的长为22或102【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】22或10【分析】过点A作AI⊥BC于点I，先由等腰三角形的性质求出BI＝CI＝3，则AI=AB2−BI【解答】解：过点A作AI⊥BC于点I，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BI＝Cl＝3，AI=A当点E在I左侧时，记作点E1，∴IE∴BE1＝BI﹣IE1＝3﹣2＝1，CE1＝CI+IE1＝3+2＝5＝CA，∵CD平分∠ACB，∴AF1＝E1F1，过点F1作F1M⊥BC于点M，则F1M∥AI，∴△E1F1M∽ΔE1AI，∴E1∴F1M＝2，E1M＝1，∴BM＝1+1＝2，∴BF当点E在I右侧时，记作点E2，则同理IE2＝2，∴CE2＝IC﹣IE2＝3﹣2＝1，过点A作AO∥BC交CD延长线于点O，则∠1＝∠3，△AOF2∽ΔE2CF2，∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AO＝AC＝5，∵△AOF2∽ΔE2CF2，∴AOC同理可得，ΔE2F2N∽ΔE2AI，∴E2∴E2N=2×1∴BN=BC−CE∴BF综上：BF的长为22或10故答案为：22或10【点评】本题考查了勾股定理，一次函数的性质等，掌握综合知识是解题的关键．14．（2026•福建）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选择一点C，连接AC和BC，分别取AC和BC中点M，N，测得MN＝100米，则A，B两点间的距离是200米．【考点】三角形中位线定理．【专题】三角形；推理能力．【答案】200．【分析】由三角形中位线定理，即可计算．【解答】解：∵M、N分别是AC和BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AB＝2MN＝2×100＝200（米）．故答案为：200．【点评】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．15．（2026•山西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10．点E是AB边上的一点，且AE＝3，连接DE，过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F，交CD边于点G．若CF＝CG＝5，则线段BF的长为14．【考点】勾股定理；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】14．【分析】过点E作EH∥BF，交CD于点H．通过等角对等边证明HG＝EH＝DH，过点G作GM⊥AB于点M，作GN⊥BF于点N，证明AD∥EH∥MG，根据平行线分线段成比例求出EM＝AE＝3，进而得出BM＝4，证明四边形BNGM是矩形得到GN＝MB＝4，根据勾股定理求出NC，得到NF的长，从而可得tanF的值，进而在Rt△BEF中解直角三角形即可求解．【解答】解：过点E作EH∥BF，交CD于点H．∴∠HEG＝∠F，∵CF＝CG，∴∠CGF＝∠F，∴∠HEG＝∠CGF，∵∠CGF＝∠HGE，∴∠HEG＝∠HGE，∴EH＝HG．∵DE⊥EF，∴∠DEG＝90°，∴∠DEH+∠HEG＝90°，∠EDG+∠DGE＝90°，∵∠HEG＝∠DGE，∴∠DEH＝∠EDG，∴EH＝DH，∴DH＝HG．过点G作GM⊥AB于点M，作GN⊥BF于点N，则∠AMG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠AMG＝∠B，∴MG∥BC，∵AD∥BC，EH∥BC，∴AD∥EH∥MG∥BC，∴AEEM∴EM＝AE＝3，∴MB＝AB﹣AE﹣EM＝10﹣3﹣3＝4．∵∠B＝90°，GM⊥AB，GN⊥BC，∴四边形BMGN是矩形，∴GN＝BM＝4，∴在Rt△GNC中，NC=G∴NF＝NC+CF＝3+5＝8．∴在Rt△GNF中，tanF=GN∵在Rt△EBF中，BE＝EM+MB＝3+4＝7，∴BF=EB故答案为：14．【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质等，掌握综合知识是解题的关键．16．（2026•上海）等腰三角形ABC中，∠A≠∠B，∠A＝80°，∠B＝50°或20°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】50°或20°．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数即可确定正确的选项．【解答】解：当∠A是顶角时，∠B=180°−80°当∠A是底角时，∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°，综上所述，∠B的度数是50°或20°，故答案为：50°或20°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．17．（2026•攀枝花）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝2，BC＝6，∠B＝30°，则△ABD的面积为32【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】32【分析】过点A作AE⊥BC于点E，根据含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，再根据三角形中线的性质求解即可推出结果．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠B＝30°，∴AE=1∵AD是BC边上的中线，BC＝6，∴BD=1∴△ABD的面积=1故答案为：32【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．18．（2026•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝5．【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】5．【分析】由勾股定理得，AC=AB2+BC2=10，由∠ABC【解答】解：由勾股定理得，AC=A∵∠ABC＝90°，D是AC的中点，∴BD=1【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．

考点卡片1．一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．2．规律型：点的坐标1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．3．认识立体图形（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．（3）重点和难点突破：结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．4．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．5．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．6．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．7．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．8．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．9．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．10．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（