初中七年级数学《立体图形的展开与折叠》第一课时教学设计

初中七年级数学《立体图形的展开与折叠》第一课时教学设计

  本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，遵循北师大版初中数学七年级上册第一章“丰富的图形世界”之内容逻辑。设计旨在超越传统对立体图形与平面图形关系的简单辨认，引导学生经历从三维到二维的“数学化”过程，深化空间观念，发展几何直观、推理能力与创新意识。教学过程以“做数学”为核心理念，通过序列化、结构化的探究任务，驱动学生主动建构知识，体验数学思想方法的应用价值，为后续学习几何证明、三视图等奠定坚实的认知与能力基础。

  一、课标要求与教材分析

  《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域对7-9年级学段明确提出：“通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体……；了解直棱柱、圆锥的侧面展开图；了解展开图在现实生活中的应用。”“空间观念”与“几何直观”作为核心素养的重要组成部分，要求学习者能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；能够感知各种几何图形及其组成元素，并依据图形的特征进行分类。本课时内容“立体图形的展开与折叠”正是实现这些目标的关键载体。北师大版教材将其安排在“生活中的立体图形”与“截一个几何体”之后，旨在让学生积累一定的立体图形直观经验基础上，深入探究立体图形与平面图形之间的内在联系。教材通过观察、操作、想象、推理等活动，引导学生从棱柱（特别是正方体）的展开图入手，理解展开图的概念，探索其规律。本节课的学习不仅是对前一阶段立体图形认识的深化，更是为后续学习“三视图”、立体图形的表面积计算以及高中阶段空间向量等内容提供重要的认知工具和思维铺垫。

  二、学情诊断与学习起点

  七年级学生正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。在知识经验上，他们已经学习了小学阶段基本的立体图形（长方体、正方体、圆柱、圆锥等）的直观认识，并在本章前几课时中进一步熟悉了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等几何体的基本特征，具备了一定的空间感知能力。然而，他们的空间想象能力尚处于发展阶段，从三维立体到二维平面的转化（展开）以及从二维平面到三维立体的重构（折叠）存在普遍困难，往往依赖于实物操作和直观观察，抽象概括规律的能力较弱。在思维特点上，学生好奇心强，乐于动手操作，但探究活动的目的性和系统性有待引导；能够进行简单的归纳，但归纳的严谨性和全面性不足。因此，本节课的设计必须充分尊重学生的认知阶梯，从最熟悉的正方体入手，通过大量的、有目的的动手操作活动积累感性经验，再逐步引导观察、比较、分类、归纳，最终实现从操作感知到理性认知的飞跃。同时，需要关注学生个体差异，为不同思维层次的学生设计分层任务和脚手架。

  三、学习目标（素养导向）

  基于以上分析，确立本课时如下学习目标：

  1.知识与技能目标：通过动手操作与观察，理解立体图形展开图的概念；能够识别常见几何体（重点是正方体）的平面展开图；能根据展开图判断能否折叠成指定的立体图形，并能尝试画出简单几何体（如正方体、三棱柱）的展开图。

  2.过程与方法目标：经历“观察-猜想-操作-验证-归纳”的完整探究过程，发展动手实践能力；在探索正方体展开图多样性的活动中，学习分类、归纳、有序思考等数学方法；在从平面图形想象立体图形的过程中，提升空间想象和推理能力。

  3.情感、态度与价值观目标：在解决富有挑战性的展开与折叠问题中，体验数学探究的乐趣和成功的喜悦；感受立体图形与平面图形相互转化的数学思想之美及其在包装、建筑、艺术等领域的广泛应用价值，增强数学应用意识。

  四、教学重难点

  教学重点：探索并理解正方体展开图的基本形态和规律；能够进行立体图形与相应平面展开图之间的对应与转换。

  教学难点：根据平面展开图想象并判断其能否折叠成指定的立体图形（尤其是非正方体图形）；探索并归纳正方体展开图的系统分类方法。

  五、教学准备

  教师准备：多媒体课件（包含动态展开与折叠的动画）、多种几何体模型（正方体、长方体、三棱柱、圆柱、圆锥等）、磁贴式正方体展开图教具、实物包装盒若干、探究学习任务单。

  学生准备：每小组准备多个可展开的正方体纸盒（或橡皮泥、土豆块与牙签制作的正方体框架）、剪刀、透明胶带、彩笔、方格纸。

  六、评价设计

  为落实“教-学-评”一致性，本课时采用过程性评价与终结性评价相结合的方式。

  1.过程性评价：贯穿于整个探究活动。通过观察学生在小组活动中的参与度、操作规范性、讨论发言的数学表达、任务单的完成情况，评价其空间观念的发展水平、合作交流能力及探究精神。利用课堂提问、即时展示（如展示小组找到的展开图类型）进行反馈与调节。

  2.终结性评价：通过课后分层作业和后续课时的衔接性问题进行。作业设计包含基础辨识题、动手操作题和拓展想象题，以检测不同层次学生对核心知识与技能的掌握程度，以及对空间想象能力的迁移应用水平。

  七、教学过程实施

  （一）情境激趣，提出问题（预计时间：5分钟）

  活动1：生活链接，感知转化

  教师出示一个精美的长方体茶叶盒实物，并现场演示沿着棱线小心剪开，将其平铺成一个平面纸板。

  师生活动：教师提问：“这个漂亮的盒子原本是一个立体的长方体，现在变成了一块平面的纸板。这个由立体变为平面的过程，在数学上叫做什么？”（引导学生说出“展开”）接着，教师再反向操作，将平面纸板恢复成长方体盒子。“这个由平面变回立体的过程，又叫做什么？”（引导学生说出“折叠”）。

  设计意图：从学生最熟悉的生活物品出发，通过直观演示，生动引入“展开”与“折叠”这一对互逆的数学概念，建立数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。明确本课的核心问题是研究立体图形与平面图形之间的这种转化关系。

  活动2：聚焦核心，明确任务

  教师在黑板上板书课题《立体图形的展开与折叠》。并提出问题链：“是不是所有的立体图形都有展开图？”“同一个立体图形，它的展开图只有一种吗？”“这些展开图有没有什么规律？”“知道了展开图，我们如何快速判断它能折成什么立体图形？”

  设计意图：通过问题链驱动，将学生的兴趣从生活现象引向数学思考，明确本课要解决的核心问题，为后续的探究活动指明方向。

  （二）操作探究，建构新知（预计时间：25分钟）

  活动1：初探展开，形成概念

  任务：分发多种几何体模型（圆柱、圆锥、三棱柱等）及可拆解的正方体纸盒。让学生以小组为单位，尝试“展开”手中的几何体，要求展开后的各部分必须连在一起，是一个完整的平面图形。

  学生活动：学生动手操作。对于圆柱、圆锥，学生可能轻松沿侧面剪开得到长方形和扇形。对于正方体，学生会尝试不同的剪法。教师巡视，关注学生剪开棱的策略，收集典型展开结果。

  汇报交流：请小组代表上台展示他们得到的“展开图”，并描述是如何剪开的。针对正方体，不同小组会展示出形状各异的平面图形。

  概念明晰：教师引导学生对比这些平面图形，总结共同特征：它们都是由6个正方形组成的，且正方形之间通过公共边相连。进而给出立体图形展开图的数学描述：将立体图形的表面按某种方式剪开，铺平后得到一个平面图形，这个平面图形称为这个立体图形的表面展开图。

  设计意图：通过多几何体的初步操作，让学生感性认识“展开图”的多样性，并聚焦到本课重点——正方体。在操作中自然形成对“展开图”概念的直观理解，为精确描述奠定基础。

  活动2：深研正方体，探索规律（核心探究）

  核心任务：探究正方体的表面展开图到底有多少种不同的形态？它们有规律吗？

  探究步骤：

  步骤一：收集“样本”。各小组利用多个正方体纸盒，采用不同的剪开方式（强调需剪开7条棱，且保证各部分相连），尽可能多地得到形状不同的展开图，并将轮廓描画在方格纸上。

  步骤二：初步分类。小组内将画好的展开图进行比较，尝试按照某种标准（如中间一排有几个正方形）进行初步分类，并贴在展示区。

  步骤三：观察归纳。教师组织全班对各组展示的展开图进行观察、比较、去重。引导学生思考：“这些图形虽然形状各异，但组成上有什么不变性？”（都是6个正方形）“这些正方形是如何连接的？”（相邻正方形共用一条边）“能否根据正方形排列的‘行数’和每行正方形的‘个数’来给它们分类？”

  步骤四：系统建构。在学生讨论的基础上，教师借助多媒体动画，动态演示并系统归纳正方体展开图的四种经典类型：

  “1-4-1型”：中间一行4个作侧面，上下各1个分别作上、下底面。共有6种变式（因上面和下面的正方形位置可在中间4个正方形的两侧移动）。

  “2-3-1型”：中间一行3个作侧面，上方2个、下方1个（或上方1个、下方2个）。共有3种变式。

  “2-2-2型”：三行各2个正方形，呈阶梯状。只有1种。

  “3-3型”：两行各3个正方形。只有1种。

  同时，利用动画演示那些看似由6个正方形组成，但无法折叠成正方体的图形（如“田”字形、“凹”字形），引导学生发现规律：展开图中，任何一行（列）最多不超过4个正方形；正方形的排列不能出现“一字形”的连续超过4个的情况（即无“五子连珠”）；相对的面在展开图中必定被隔开（“隔面相对”或“Z字两端”规律）。

  设计意图：这是本节课的高潮和核心。通过“操作-收集-分类-归纳”的完整科学探究过程，让学生亲身经历数学规律的发现之旅。从无序到有序，从具体到抽象，不仅掌握了11种标准展开图，更重要的是学到了分类讨论、有序思考的数学思想方法，空间观念和归纳推理能力得到实质性训练。动态演示和反例分析，则进一步深化了学生对规律本质的理解。

  （三）应用迁移，深化理解（预计时间：10分钟）

  活动1：折叠想象，逆向思维

  任务：教师出示几个平面图形（包括标准正方体展开图和非展开图），让学生不进行操作，先凭空间想象判断：“哪些图形可以折叠成一个正方体？”对于能折叠的，请指出哪两个正方形会是相对的面。

  学生活动：独立思考后，小组交流。鼓励学生运用刚发现的规律（如“隔面相对”）进行判断和推理。对于有争议的图形，再允许用纸制作验证。

  设计意图：从“展开”到“折叠”，完成思维逆过程。此活动锻炼学生脱离实物操作，依靠表象和规律进行空间想象和逻辑推理的能力，是空间观念从动作感知向心理建构升华的关键一步。

  活动2：拓展延伸，触类旁通

  任务：出示一个三棱柱的模型和它的几种可能的平面展开图（包括正确的和有缺陷的）。提问：“类比正方体的探究经验，你能判断哪个是三棱柱的正确展开图吗？它有什么特征？”

  学生活动：观察三棱柱，发现它有5个面（2个三角形底面，3个长方形侧面）。据此分析各选项：正确的展开图应包含2个全等的三角形和3个长方形，且三角形必须位于长方形的两端（或合理位置）才能折叠。

  设计意图：将探究正方体获得的经验（分析面数、面形状、连接方式）迁移到新的、稍复杂的几何体上，实现知识的应用和方法的迁移，检验并巩固学生的学习成果，防止思维定势。

  （四）总结反思，升华认知（预计时间：5分钟）

  活动：思维梳理与价值感悟

  引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

  知识层面：我们学习了立体图形的展开图概念，重点探索了正方体展开图的11种基本类型及其判断规律（如“隔面相对”）。

  方法层面：我们经历了动手操作、观察比较、分类归纳、推理验证等数学活动方法。

  思想层面：我们体验了从三维空间到二维平面的转化思想（化归思想），以及分类讨论、有序思考的思想。

  教师升华：展示建筑图纸（平面）与建成大楼（立体）、服装裁剪图（平面）与成衣（立体）的图片，指出“展开与折叠”的思想在工程设计、制造业、艺术创作等领域的巨大作用。数学正是研究这些空间形式与数量关系的强大工具。

  设计意图：帮助学生构建系统化的知识网络，提炼数学思想方法，实现认知的元认知监控。通过展示应用价值，将课堂学习引向更广阔的世界，体现数学的学科育人价值。

  八、分层作业设计

  A层（基础巩固）：

  1.判断下列平面图形中，哪些是正方体的表面展开图？若是，请用“上、下、左、右、前、后”标出折叠后各面的相对位置。

  2.下图是一个长方体的展开图（已标注尺寸），请根据数据，回答原长方体的长、宽、高各是多少厘米？哪些面是相同的？

  B层（能力提升）：

  1.一个正方体的六个面上分别标有数字1至6。下图是其两种不同的展开图。请判断在每个展开图中，与数字“1”、“3”相对的面分别是哪个数字？

  2.请你设计并画出一个三棱柱的展开图（尺寸自定），并说明设计的依据。

  C层（拓展挑战）：

  1.探究题：一个无盖的正方体纸盒（即只有5个面），它的表面展开图可能有哪些类型？请尝试画出至少三种不同的可能性。

  2.实践应用：寻找一个家中商品的外包装（如牙膏盒、药盒等），沿着棱线小心剪开，观察它的展开图。将它贴在作业本上，并分析它是什么几何体的展开图，指出其底面、侧面。

  九、板书设计

  （黑板左侧）（黑板中部主体）（黑板右侧）

  课题：立体图形的展开与折叠核心规律：思想方法：

  一、概念1.“隔面相对”（或“Z字两端”）操作→观察→猜想

  立体图形→（展开）→平面展开图2.无“田”字、“凹”字→验证→归纳

  平面展开图→（折叠）→立体图形3.一行不过四转化思想（化归）

  二、正方体展开图类型（图示区）应用判断：分类讨论思想

  （绘制四种基本类型的简图，1.数面（6个正方形）

  如1-4-1型、2-3-1型等）2.看连接（边边相连）

  3.用规律（判断相对面）

  十、教学反思与特色说明

  本教学设计的核心特色与预期反思点如下：

  1.凸显素养本位，强化“做中学”：整节课以学生的动手操作、自主探究为主线，将空间观念的培养根植于真实的数学活动