2026年重庆市北师大版高中数学高二年级下册第7单元函数性质测试题

2026年重庆市北师大版高中数学高二年级下册第7单元函数性质测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.10B.8C.6D.4解析：首先求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，故M=18，m=-10，M+m=8，选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3，选C。3.若函数f(x)=x²+2ax+1在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：f′(x)=2x+2a，由f′(1)=0得a=-1，验证f′′(1)=4>0，确认极小值点，选A。4.函数f(x)=ln(x²+1)在区间(0,1)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(0,1)上f′(x)>0，选A。5.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.0<a<1D.a≤1解析：若存在水平渐近线，需lim(x→+∞)(e^x-ax)=0，即a=e，但题目要求存在水平渐近线，需a≤1，选D。6.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.3πD.4π解析：T₁=2π/1=2π，T₂=2π/2=π，最小公倍数为2π，选B。7.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间(1,3)上单调递减，则实数k的取值范围是（）A.k∈(1,2)B.k∈(2,3)C.k∈(1,3)D.k∈(0,1)解析：f′(x)=3x²-6x，在(1,3)上需f′(x)≤0，即x²-2x≤0，解得1≤x≤2，k∈(1,2)，选A。8.函数f(x)=xlnx-x²在x=1处的切线方程为（）A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2解析：f′(x)=lnx+1-2x，f′(1)=-1，f(1)=-1，切线方程为y-(-1)=-1(x-1)，即y=-x+1，选B。9.函数f(x)=x³-3x²+2的图象与直线y=x有且仅有两个交点，则实数a的取值范围是（）A.a∈(-∞,1)∪(3,+∞)B.a∈(-∞,0)∪(2,+∞)C.a∈(-1,3)D.a∈(-∞,-1)∪(3,+∞)解析：令g(x)=x³-3x²+2-x，求导g′(x)=3x²-6x-1，g′(x)=0得x=1±√2，g(1±√2)<0，故a∈(-1,3)，选C。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处的左导数和右导数分别为（）A.-3，3B.-1，1C.-2，2D.-1，-1解析：f′-(0)=-1，f′+(0)=1，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2的极值点为_________。参考答案：x=0，x=2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f′′(0)=-6<0为极大值点，f′′(2)=6>0为极小值点。2.函数f(x)=ln(x²+1)在x=1处的曲率为_________。参考答案：1解析：f′(x)=2x/(x²+1)，f′′(x)=2(1-x²)/(x²+1)²，f′(1)=1，f′′(1)=0，f′′′(x)=4x(x³-3x)/(x²+1)⁴，f′′′(1)=4/8=1/2，曲率K=|f′′(1)|/[(1+(f′(1))²)^(3/2)]=1。3.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则a的值为_________。参考答案：1解析：若存在水平渐近线，需lim(x→+∞)(e^x-ax)=0，即a=e，但题目要求存在水平渐近线，需a=1。4.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的图像关于点_________对称。参考答案：(π/2，0)解析：f(π/2)=sin(π/2)+cos(π)=1-1=0，且f(π/2±x)=-f(π/2-x)，故关于(π/2，0)对称。5.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为_________，_________。参考答案：2，-10解析：f(-1)=-1-3+2=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=9-27+2=-16，最大值2，最小值-10。6.函数f(x)=xlnx-x²在x=1处的切线斜率为_________。参考答案：-1解析：f′(x)=lnx+1-2x，f′(1)=ln1+1-2=-1。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处的函数值为_________。参考答案：3解析：f(0)=|0-1|+|0+2|=1+2=3。8.函数f(x)=x³-3x²+2的图象与直线y=x有且仅有两个交点，则实数k的取值范围是_________。参考答案：(1，2)解析：令g(x)=x³-3x²+2-x，g(1)=-1，g(2)=0，g(x)在(1,2)上存在唯一零点。9.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为_________。参考答案：2π解析：T₁=2π/1=2π，T₂=2π/2=π，最小公倍数为2π。10.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则a的取值范围是_________。参考答案：a≤1解析：若存在水平渐近线，需lim(x→+∞)(e^x-ax)=0，即a≤e，但题目要求存在水平渐近线，需a≤1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极大值。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x，f′(1)=0，f′′(1)=-6<0，为极大值点。2.函数f(x)=ln(x²+1)在区间(0,+∞)上单调递增。（）参考答案：正确解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(0,+∞)上f′(x)>0。3.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则a必须大于1。（）参考答案：错误解析：若存在水平渐近线，需a≤1，a>1时不存在水平渐近线。4.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为π。（）参考答案：错误解析：T₁=2π/1=2π，T₂=2π/2=π，最小公倍数为2π。5.函数f(x)=x³-3x²+2在区间(1,3)上单调递减。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x，在(1,3)上f′(x)≤0。6.函数f(x)=xlnx-x²在x=1处的切线方程为y=x-1。（）参考答案：错误解析：f′(1)=-1，f(1)=-1，切线方程为y=-x+1。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处的左导数和右导数相等。（）参考答案：错误解析：f′-(0)=-1，f′+(0)=1，不相等。8.函数f(x)=x³-3x²+2的图象与直线y=x有且仅有两个交点。（）参考答案：正确解析：令g(x)=x³-3x²+2-x，g(1)=-1，g(2)=0，g(x)在(1,2)上存在唯一零点。9.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的图像关于原点对称。（）参考答案：错误解析：f(-x)=sin(-x)+cos(-2x)=-sinx+cos2x≠-f(x)。10.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则a必须小于1。（）参考答案：错误解析：若存在水平渐近线，需a≤1，a<1时存在水平渐近线。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点及对应的极值。解答：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f′′(0)=-6<0为极大值点，极值为f(0)=2；f′′(2)=6>0为极小值点，极值为f(2)=-2。2.求函数f(x)=ln(x²+1)在区间(0,1)上的单调性。解答：f′(x)=2x/(x²+1)，在(0,1)上x>0，f′(x)>0，故函数在(0,1)上单调递增。3.求函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线的条件。解答：若存在水平渐近线，需lim(x→+∞)(e^x-ax)=0，即a≤e，但题目要求存在水平渐近线，需a≤1。4.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期。解答：T₁=2π/1=2π，T₂=2π/2=π，最小公倍数为2π。5.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解答：f(-1)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=-16，最大值2，最小值-16。6.求函数f(x)=xlnx-x²在x=1处的切线方程。解答：f′(x)=lnx+1-2x，f′(1)=-1，f(1)=-1，切线方程为y-(-1)=-1(x-1)，即y=-x+1。7.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处的函数值及导数。解答：f(0)=|0-1|+|0+2|=3，f′-(0)=-1，f′+(0)=1。8.求函数f(x)=x³-3x²+2的图象与直线y=x的交点个数。解答：令g(x)=x³-3x²+2-x，g(1)=-1，g(2)=0，g(x)在(1,2)上存在唯一零点，故有且仅有两个交点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求其单调递增区间和单调递减区间。解答：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，在(-∞,0)上f′(x)>0，单调递增；在(0,2)上f′(x)<0，单调递减；在(2,+∞)上f′(x)>0，单调递增。2.已知函数f(x)=ln(x²+1)，求其曲率在x=1处的值。解答：f′(x)=2x/(x²+1)，f′(1)=1，f′′(x)=2(1-x²)/(x²+1)²，f′′(1)=0，f′′′(x)=4x(x³-3x)/(x²+1)⁴，f′′′(1)=4/8=1/2，曲率K=|f′′(1)|/[(1+(f′(1))²)^(3/2)]=1/2。3.已知函数f(x)=e^x-ax，求a的取值范围，使得函数在x→+∞时存在水平渐近线。解答：若存在水平渐近线，需lim(x→+∞)(e^x-ax)=0，即a≤e，但题目要求存在水平渐近线，需a≤1。4.已知函数f(x)=sin(x)+cos(2x)，求其最小正周期。解答：T₁=2π/1=2π，T₂=2π/2=π，最小公倍数为2π。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求其极值点及对应的极值。解答：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f′′(0)=-6<0为极大值点，极值为f(0)=2；f′′(2)=6>0为极小值点，极值为f(2)=-2。6.已知函数f(x)=xlnx-x²，求其在x=1处的切线方程。解答：f′(x)=lnx+1-2x，f′(1)=-1，f(1)=-1，切线方程为y-(-1)=-1(x-1)，即y=-x+1。7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求其在x=0处的左导数和右导数。解答：f′