2026年天津市人教版高中数学第12章同步练习题

2026年天津市人教版高中数学第12章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，则f(x)在区间(-1,1)上的最大值是（）A.0B.ln2C.1-ln2D.-1解析：f(x)在(-1,1)上连续可导，f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，令f′(x)=0得x=1，f(1)=ln2-1，f(-1)不存在，f(0)=0，故最大值为ln2，选B。2.若函数g(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.1B.eC.e-1D.1/e解析：g′(x)=e^x-a，x=1时g′(1)=e-a=0，得a=e，验证g′(x)在x=1两侧变号，故a=e为极值点，选B。3.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集为（）A.(-∞,-1)∪(2,∞)B.(-∞,-3)∪(0,∞)C.(-∞,-3)∪(0,3)D.(-∞,-1)∪(2,3)解析：分段讨论x∈(-∞,-2)时，-x+1-x>3即x<-1；x∈[-2,1)时，-x+1+x>3无解；x∈[1,∞)时，x-1+x+2>3即x>0，解集为(-∞,-1)∪(0,∞)，选B。4.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：递推变形a_n+1+1=2(a_n+1)，{a_n+1}是首项2，公比2的等比数列，a_n+1=2^n，a_5=2^5-1=31，选A。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)的极值点为（）A.x=0，x=2B.x=-1，x=1C.x=0，x=-1D.x=1，x=2解析：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2，f′(x)在x=0左侧为正，右侧为负，x=0为极大值点；f′(x)在x=2左侧为负，右侧为正，x=2为极小值点，选A。6.若函数y=f(x)的图像与直线y=x相交于点(1,1)，且f(x)在x=1处的切线方程为y=2x-1，则f(2)的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：f′(1)=2，f(1)=1，f(x)在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1)，令x=2得f(2)=5，选C。7.已知函数f(x)=√(x^2+1)-ax在x=1处取得最小值，则a的值为（）A.1B.√2C.1/√2D.2解析：f′(x)=x/(√(x^2+1))-a，x=1时f′(1)=1/√2-a=0，得a=1/√2，验证f′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，故a=1/√2为最小值点，选C。8.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在(0,∞)上单调递增，则k的取值范围是（）A.k≤0B.k≤1/2C.k≤1D.k≤1/3解析：g′(x)=1/(x+1)-k，g(x)单调递增需g′(x)≥0，即1/(x+1)≥k，x∈(0,∞)时1/(x+1)∈(0,1)，故k≤1，选C。9.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=2^n-n，则b_n的表达式为（）A.b_n=2^n-1B.b_n=2^(n-1)-1C.b_n=2^n+1D.b_n=2^(n-1)+1解析：b_1=S_1=1，n≥2时b_n=S_n-S_(n-1)=2^n-n-[2^(n-1)-(n-1)]=2^(n-1)-1，b_1不符合，故b_n=2^(n-1)-1，选B。10.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像关于点(1,0)对称，则f(2)的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：f(x)关于(1,0)对称需f(1-x)=-f(1+x)，代入f(x)得(1-x)^3-3(1-x)^2+2(1-x)+1=-(x^3-3x^2+2x+1)，化简成立，f(2)=2^3-3×2^2+2×2+1=1，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为_________参考答案：8解析：f′(x)=3x^2-6x+2，f(-1)=0，f(1)=-1，f(3)=8，最大值8，最小值-1，差为9。2.不等式|2x-1|<|x+3|的解集为_________参考答案：(-2,1)解析：平方化简得3x^2+4x-8<0，解得-2<x<1。3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则a_n的表达式为_________参考答案：3^n-1解析：递推变形a_n+1+1=3(a_n+1)，{a_n+1}是首项2，公比3的等比数列，a_n+1=2×3^n，a_n=3^n-1。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的拐点坐标为_________参考答案：(1,0)解析：f′′(x)=6x-6，令f′′(x)=0得x=1，f(1)=0，(1,0)为拐点。5.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极值，则k的值为_________参考答案：1/2解析：g′(x)=1/(x+1)-k，x=1时g′(1)=1/2-k=0，k=1/2。6.已知函数f(x)=√(x^2+1)-ax在x=0处取得最小值，则a的取值范围是_________参考答案：a≥1解析：f′(x)=x/(√(x^2+1))-a，x=0时f′(0)=-a，f(0)=1，f(x)在x=0处取得最小值需f′(x)在x=0左侧为正，右侧为负，即-a>0，a<1，矛盾，故a≥1。7.若数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则b_n的表达式为_________参考答案：2n解析：b_1=S_1=2，n≥2时b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，b_1符合，b_n=2n。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-∞,1)上的单调性为_________参考答案：单调递增解析：f′(x)=3x^2-6x+2，(-∞,1)上f′(x)>0，故单调递增。9.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在(0,∞)上恒成立|g(x)|<1，则k的取值范围是_________参考答案：(1/2,1)解析：g(0)=0，g(x)在(0,∞)上单调递增需g′(x)=1/(x+1)-k>0，即k<1/2，又g(x)在(0,∞)上恒成立|g(x)|<1，需g(1)=ln2-k<1，k>ln2-1≈0.39，故k∈(1/2,1)。10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像关于点(1,0)对称，则f(x)的表达式为_________参考答案：x^3-3x^2+x解析：f(x)关于(1,0)对称需f(1-x)=-f(1+x)，代入f(x)=x^3-3x^2+2x+1得(1-x)^3-3(1-x)^2+2(1-x)+1=-(x^3-3x^2+2x+1)，化简成立，故f(x)=x^3-3x^2+x。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处取得极值，则f(x)在x=2两侧单调性相反。参考答案：正确解析：f′(x)=3x^2-6x+2，x=2时f′(2)=2>0，f(x)在x=2处单调递增，矛盾，故原命题错误。2.不等式|2x-1|+|x+3|≥4在R上恒成立。参考答案：正确解析：|2x-1|+|x+3|表示数轴上x对应点到-3和1对应点的距离之和，最小值为4。3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则{a_n}是等比数列。参考答案：错误解析：{a_n+1}是等比数列，但{a_n}是等差数列。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处取得极大值。参考答案：正确解析：f′(x)=3x^2-6x，x=1时f′(1)=0，f′(x)在x=1左侧为正，右侧为负，故x=1为极大值点。5.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在(0,∞)上单调递增，则k≤1/2。参考答案：错误解析：g′(x)=1/(x+1)-k，g(x)单调递增需g′(x)≥0，即k≤1/(x+1)，x∈(0,∞)时k≤1/2。6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像关于点(1,0)对称，则f(x)在x=1处取得极值。参考答案：正确解析：f(x)关于(1,0)对称，f(1)=0，f′(1)=0，故x=1为极值点。7.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集为(-∞,-1)∪(2,∞)。参考答案：错误解析：解集为(-∞,-3)∪(0,∞)。8.若数列{b_n}的前n项和为S_n=2^n-n，则b_n=2^(n-1)-1。参考答案：错误解析：b_1=S_1=1，n≥2时b_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)-1，b_1不符合，故b_n=2^(n-1)-1。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(-∞,1)上单调递减。参考答案：错误解析：f′(x)=3x^2-6x+2，(-∞,1)上f′(x)>0，故单调递增。10.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极值，则k=1/2。参考答案：错误解析：g′(x)=1/(x+1)-k，x=1时g′(1)=1/2-k=0，k=1/2，但需验证g′(x)变号，g′(x)在x=1左侧为正，右侧为负，故x=1为极大值点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值8，最小值-1解析：f′(x)=3x^2-6x+2，f(0)=0，f(1)=-1，f(3)=8，最大值8，最小值-1。2.证明数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1是等差数列。证明：a_n+1-a_n=2a_n+1-a_n=a_n+1，故{a_n}是等差数列，公差为1。3.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的拐点坐标。参考答案：(1,0)解析：f′′(x)=6x-6，令f′′(x)=0得x=1，f(1)=0，(1,0)为拐点。4.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在(0,∞)上单调递增，求k的最大值。参考答案：k=1/2解析：g′(x)=1/(x+1)-k，g(x)单调递增需g′(x)≥0，即k≤1/(x+1)，x∈(0,∞)时k≤1/2，故k的最大值为1/2。5.求数列{b_n}满足前n项和S_n=n^2+n的通项公式b_n。参考答案：b_n=2n解析：b_1=S_1=2，n≥2时b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，b_1符合，b_n=2n。6.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-∞,1)上的单调区间。参考答案：(-∞,1)上单调递增解析：f′(x)=3x^2-6x+2，(-∞,1)上f′(x)>0，故单调递增。7.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极值，求k的值。参考答案：k=1/2解析：g′(x)=1/(x+1)-k，x=1时g′(1)=1/2-k=0，k=1/2。8.证明函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极大值。证明：f′(x)=3x^2-6x+2，x=1时f′(1)=0，f′(x)在x=1左侧为正，右侧为负，故x=1为极大值点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)在区间[0,3]上的最大值与最小值。解：f′(x)=3x^2-6x+2，f(0)=0，f(1)=-1，f(3)=8，最大值8，最小值-1。2.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求a_5的值。解：递推变形a_n+1+1=2(a_n+1)，{a_n+1}是首项2，公比2的等比数列，a_n+1=2^n，a_5=2^5-1=31。3.求不等式|2x-1|+|x+3|>3的解集。解：分段讨论x∈(-∞,-2)时，-x+1-x>3即x<-1；x∈[-2,1)时，-x+1+x>3无解；x∈[1,∞)时，x-1+x+3>3即x>0，解集为(-∞,-1)∪(0,∞)。4.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，求f(x)在x=2处的值。解：f′(x)=3x^2-6x+2，x=1时f′(1)=0，f(x)在x=1处取得极值，f(2)=2^3-3×2^2+2×2+1=1。5.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在(0,∞)上单调递增，求k的最大值。解：g′(x)=1/(x+1)-k，g(x)单调递增需g′(x)≥0，即k≤1/(x+1)，x∈(0,∞)时k≤1/2，故k的最大值为1/2。6.求数列{b_n}满足前n项和S_n=n^2+n的通项公式b_n。解：b_1=S_1=2，n≥2时b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，b_1符