考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷25

考研数学一(概率论与数理统计)模拟

试卷25

一、选择题(本题共17题，每题1.0分，共”分。)

1、现有一批电子元件，系统初始先由一个元件工伦，当其损坏时、立即更换一个

新元件接替工作.如果用Xi表示第i个元件的寿命，那么事件4={到时刻T为

止，系统仅更换一个元件}可以表示为()

A、A=(XI+X2>T).

B、A={0<Xi<T,0<X2<T}.

C、A={0<Xi<T,XI+X2<T}.

D、A={0<Xi<T,XI+X2>T).

标准答案：D

知识点解析：事件A={到时刻T为止，系统仅更换一个元件}二{第一个元件在时刻

T之前已经损坏，第一个、第二个元件寿命之和要超过时刻T}={0WXiVT,X1+X2

>T),选择D.

2、设A,B,C为三个事件，已知P(B|A)=0.6,P(CIAB)=0.4,则P(BCI

A)=()

A、0.3.

B、0.24.

C、0.5.

D、0.21.

标准答案：B

知识点解析：

P(BC|A)=增察.P(B|A)=g/^=0.6.P(BA)=0.6P(A),

/(A)1\/

P(C|AB)=今等+0.4.P(ABC)=0.4P(AB),

P(BC|A)=^^¥=°；4P(Ap)=04X06=0.24.

F(A)

工P(BA)

U.o

3、设A,B,C三个事，‘牛两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是()

A、A与BC独立.

B、AB与AUC独立.

C、AB与AC独立.

D、AUB与AUC独立.

标准答案：A

知识点解析：A,B,C相互独立的充要条件是P(AB尸P(A)P(B),

P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C).又A,B,C三个事件

两两独立,故P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),从而A与BC

独立等价于P[A(BC)]=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C),即P(ABC)=P(A)P(B)P(C),所以

在题设条件下，A,B,C相互独立的充分必要条件是A与BC独立，故选A.

则\

C/!

4、设随机变量X的概率密度为f(x尸ce”,O0,1=(

(A)」,(B)-yz.-，

V2KVK7T2;

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：利用概率密度的规范性,

1

得

=一

6

选B.

5、假设随机变量X的分布函数为F(x),概率密度函数f(x)=af[(x)+bf2(x),其中

fi(x)是正态分布N(0,J)的密度函数，f2(x)是参数为入的指数分布的密度函数，已

知F(O)=8,则()

1113

(A)a=l,6=0.(B)a=y,6=(C)a=y.(D)a=

A、

B>

C、

D、

标准答案：D

r4*jo/•+»产8

f(jc)di=a/](«r)(Lr+b

知识点解析：由J-RJ-8J8f2(x)dx=a+b=l,知四个选

项均符合这个要求，因此只有通过F(0)=回确定正确选项.由于故正确选项为

D.

幺

6、设随机变量X-N(N，G2)(G>0),且满足P{XVO}>P{X>",则比值。()

A、小于1.

B、等于1.

C、大于1.

D、不确定.

标准答案：A

知识点解析：！。一。/I。,由于连续型随机变量

为任何给定值的概率均等于0,则P{X£o}=P{XVc}=口，P{X>o}=l-P{X<a}=

已知P{XVo}>P{X>。},所以，即得到故选A.

7、PJX=k}=cXkeA/k!(k=0,2,4,…)是随机变量X的概率分布，则Ic一定满

足()

A、X>0.

B、c>0.

C、cX>0.

D、c>0且入>0.

标准答案：B

知识点解析：由P{X=k}=c/e*/k!(k=0,2,4,…)知c>0.而k为偶数，所以入

可以为负.所以选B.

8、设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为

X-11Y-11

1111

P{X=m)P{Y=n}

2TTT

则下列式子正确的是()

A、X=Y.

B、P(XY)-0.

J

C、P{X-Y)2

D、P{X-Y}=1.

标准答案：C

知识点解析：P{X=Y)=P{X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=l}=P(X=-1).P(Y=-

=-1-十.--1-=--1-

1)+P{X=1).P{Y=1)442'

］设随机变量X,Y柞互独立且均服从正态分布N8,/)，若概率p{ax_by<d=

(A)a=/,6=4.(B)a=y,6=—y.

(C)a=_J,，=4・(D)a=-y,6=­y.

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

2

知识点解析：因为aX-by〜N((a-b”d+b2)/),由P{aX-bYVR=2知，必有a-

b=l,只有B项满足要求.

N(0,»

10、设随机变量X与Y相互独立，旦均服从正态分布\2/,记随机变量

Z=IX-Y|的概率密度为f(x),则()

7

(A)f(z)=-y=.e*,—oo<z<-|-oo.(B)/(z)

%+，z>。.z>0.

(C)/(z)=^E(D)f(z)=<

0,z40.0,z40,

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：X与Y相互独立，且均服从N(0'2),所以X-Y〜N(0,1).当

zSO时，非负随机变量Z的分布函数F⑵=P{ZS2}=0；当z>0时，

F(z)=P{Z<z}=P{IX-YI<z}=P{-z<X-Y<z}=6(z)-O(-z)=2①(z)-1.总之，

k>0.

f(z)=F,(z)=N<0.

11、设Xi，X2，X3服从区间［0,2］上的均匀分布，则E(2XI-X2+3X3)=()

A、1.

B、3.

C、4.

D、2.

标准答案：C

2+0

知识点解析：因为Xi服从区间［0,2］上的均匀分布，则E(Xi)=2=1,i=l,2,

3,故E(2X|-X2+3X3)=2E(X)E(X2)+3E(X3)=4E(XI)=4.选择C.

12、设随机变量X〜U[-l,I-],则随机变量U=arcsinx,V=arccosx的相关系数为

（）

A、-1.

B、0.

1

c、T

D、1.

标准答案：A

知识点解析：因为U+V二arcsinx+arccos=2（-igxWl）,所以由题知puv=l，故选A.

13、已知X和Y的联合分布如下所示，则有（）

\Y

012

00.10.050.25

100.10.2

20.20.10

A、X与Y不独立.

R、X与Y独立.

C、X与Y不相关.

D、X与Y彼此独立且相关.

标准答案：A

知识点解析：P{X=0}=0.4,P{Y=0）=0.3,因为0.l=P{X=0,

Y=0}#P{X=0}.P{Y=0}故X与Y不独立，选A.

14、设随机变量X],X2,…，Xn（n>l）独立同分布，且其方差『>0,令Y=

,则（）

A、Cov(X|,Y尸九

B、Cov(Xi,Y)=o2.

,〃+22

C、Cov(X|,Y)=n°*

-十12

-------.

D、Cov(X|,Y)=n

标准答案：A

知识点解析：因为Xi,X2，…，Xn相互独立同分布，故Cov(X|,Xi)=E(Xi，

Xi)=E(X|)E(Xi)=0(i=2,3,…，n),则

Cov(XI.Y)=Cov^Xiq£X)=~Cov(Xi，士x,)

=L[Cov(X|・Xi)+Cov(X|,X2)+-+Cov(Xl,Xn)]

n

=*XQ+o+・,・+o]=q,

故选A.

15、总体X~N3,o2),焉和Xz分磐该总体容量为10和15的两个样本均值,

记p尸P{|Xj—〃|〉a},%=P{|X?|则()

A、pi<p2.

B、pi=p2-

C、pi>p2.

D、pi=|i,P2=o.

标准答案：C

知识点解析：由于

X]〜N(〃，内〜因此〜N(0.1).N(0,1).

V10/Vlo/^//lo°/，IK

Pi=P{|Xi-川>o}=1—P{IXi—〃IWo)=l—P

=l-[0(yiO)]=2[l-0(%/To)].

同理可得%=2[l—6，iy)1•因为3(/T5)>0(河)，所以自>生，故选(C).

16、已知总体X的期望E(X)=0,方差D(X)=/，从总体X中抽取容量为n的简单

随机样本，其样本均值、样本方差分别为2,

3,4),则()

A、E(SI2)=Q2.

22

B、E(S2)=O.

22

C、E(S3)=G.

22

D、E(S4)=a.

标准答案：B

Eb)=E(X)=O.D(X)=5D(X)=I得到

E(XD=D(X)+[E(X)T=a,E(S-)-a\

知识点解析:〃所以

27-E(X-)+-E(S2)=7---+T^=T^

2当时，尸选

E(Sk)=卜卜knkkk=2E(S22J,

择B.

17、设总体X服从于正态分布N(u，/)，X|,X2，…，Xn是来自总体X的随机样

1=)£|X,_X|

本，使k»=1为O的无偏估计量，则k=()

(A)7n.(B)J辿(C)y/n-1.(DM.

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

x,r=x「！£x尸7X,一反x,，

J二•

D(X,T)=(0)2/+3(kD/=^Al/==,

\n/nnn

故X,-X〜N(0._/).

E(|XLX|)=匚.1栏后。,

E(T£E(XB)Tg值同T产产i

则仁/讪二I.

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共10分。)

18、设A,B,C是三个随机事件，AZ)C,BZDC,p(A尸0.7,P(A-C)=0.4,

P(AB)=0.5,则P(ABC)=.

标准答案：0.2

知识点解析：由Ancmc,知ADBZDC,所以P(A-C)=P(A)-P(C),即

P(C)=P(A)-P(A-C)=O.7-0.4=0.3,P(ABC)=P(AB-C)=P(AB)-P(C)=O.5-

0.3=0.2.

L

19、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为9,A发生B不发生的概率

与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=.

2

标准答案：耳

知识点解析：因为A,B相互独立，且P(4B)=P(AB),所以目,即P(B)-

P(AB)=P(A)-P(AB),从而P(A尸P(B),X=[1-P(A)]2=

20、设随机变量X服从参数为2,p的二项分布，随机变量Y服从参数为1,p的

5

二项分布，若P{XN1}=§,则P{YN1}=.

X

标准答案：3

51

知识点解析：pfxxrpxviEpxR4uczKap»g•解得'一行或者

171

p=(舍去),故P{Y1}=P{Y=1)=.

21、随机变量K在(0,5)上服从均匀分布，则方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率

为.

3

标准答案：5

知识点解析：方程4x2+4Kz+K+2=0有实根的充要条件是△=(4K)2-16(K+2)K),故

「】」_3

-d~~~

KN2或者KW-l,P{(K>2)U(K<-1)}=P{K>2}+P!K<-1}=J255*

22、已知二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)I0<x<l,0VyV2}上服从均匀

分布，则概率P{X+YN1}=,P(X2<Y)=.

8A

标准答案：牙’不

知识点解析：(X,Y)的概率密度为

片，0<x<l,0<?<2,

10,其他.

P(X+Y21)=J/(3出心=却可二分=*(1+幻丘=/(1+引=%

P{X2<Y}=jf/(3)dzdy=Jdje="(2_*祖=1(2-1)=

一<>

23、设随机变量X,Y相互独立，且X〜N(0,2),Y〜N(0,3),则

D(X2+Y2)=.

标准答案：26

q〜N(0,l),与〜户13D佶X?)=2.

知识点解析：X〜N(0,2),故/2\2,同理

Y〜N(0,3),故=2.D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)==4X2+9X2=26.

24、已知x〜N(0,小，丫在区间(0,①。)上服从均匀分布，且D(X-Y)=/，则X

与Y的相关系数p=.

标准答案：彳

cov(x,y)

知识点解析：由已知条件直接计算,VD(X)VD(Yf由题设知E(X)=0,

D(X)=o2,E(Y)=凶D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=o2+-2Cov(X,Y)=o2,故

25、已知X