考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷68

考研数学一(概率论与数理统计)模拟

试卷68

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

1.若ABUc,则必有：

A、P(C)<P(A)+P(B)-1.

B、P(C)>P(A)+(B)-1.

C、P(C)=P(AB).

D、P(C)=P(AUB).

标准答案：B

知识点解析：由1NP(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),・・.P(CVP(AB巨P(A)+P(B)-1,

可见应选B.

2、设OVP(A)V1,O<P(B)<1,P(AIB)+P(>।方)=1,则A与B必

A、不相容.

B、对立.

C、独立.

D、不独立.

标准答案：C

知识点解析：由工(AIB)=1-P(Z否)=p(A月)，:.

P(AB)二/“，声=P(A)-P(AB)

P(3)p(li)♦得P(AB)=P(A)P(B),故应选C.

3、设三事件A,B,C两谀独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是：

A、A与BC独立.

B、AB与AUC独立.

C、AB与AC独立.

D、AUB与AUC独立.

标准答案：A

知识点解析：•••“两两独立”指P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C).P(BC)=

P(B)P(C)；而“相互独立”指上述3个式子，另加P(ABC)=P(A).P(B)P(C)共4个式

子成立.洋意P(ABC)=P(A(BC)),只有选项A可选.

4、设三事件A,B,C相互独立且OVP(C)V1,则下述事件中不独立的是：

A、7TM与C.

B、AC与

C、钎F

D、丽与乙

标准答案：B

知识点解析：；AB与「中都含C的运算(即有公共的事件C),无法保证独立.而另

3项选择却都是“相互独立”的.

5、设事件A与B独立且不相容，则min[P(A),P(B)J=.

A、1

B、0

2

C、-2

D、不能确定.

标准答案：B

知识点解析：vAB=(p,得O=P(AB)=P(A)P(B),可见P(A)与P(B)中至少有一个

为0,故min[P(A),P(B)]=0.

6、对事件A,B,已知P(A)=1,则必有：

A、A=C.

B,BCA.

C、A与B独立.

D、P(B)<P(A).

标准答案：C

知识点解析：“概率为0或1的事件与任一事件独立"，可见应选C.注意由“P(A)

=1”推不出“人=。”，而有可能B=C呢!故另3个选项不行.

7、抛n次硬币(该币每次出现正面的概率均为p),则共出现偶数次正面的概率为:

A、Cn2kp2k(l-pr2k

1

C、

1+(1-2”

D、

标准答案：D

V

知识点解析：*"Cnkpk(l-p)n-k=l，又，Cnk(_p)k(l_p)n*=[_p_(l_p)]n=(i

2.

-2p)H,二式相加得:2熟老Cjpp-p严=1+(1—2PH故应选D。

二、填空题(本题共10题，每题上。分，共10分。)

±±1

8、对事件A,B,已知P(另IA)=3,P(BIR)=7P(AB)=5,则P(A)=

.P(B)=,P(AU^)=.

3；1•.亘

标准答案：彳_

1P(A1?)_P(A)—P(AB)

知识点解析：T-P(A)P(A).•.P(A)=3P(A)—3P(AB),得

P(A)=~P<AB)=4XT=4*

4P(AB)=P(B)—C(AB)

T-P(A)1-P(A)-，

・•・P(B)=人人+—P(A)]=L+Jx(1-2)=—而

737105P(AU«)=1

3

-P(AB)=I-|P(B)-P(AB)]=5.

9、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件.已知所取的两件中有一件是不

合格品，则另一件也是不合格品的概率为.

标准答案：T

知识点解析：记人=｛取的2件产品中至少有1件是不合格品),B=｛取的2件产品

_S1=2£1=2

都是不合格品｝,则P(A)=l-P(a)=i-(*-3,p(B)=O~15,且BU

P(AH)]

A,有AB=B.所求概率为P(BIA)="八)5.

10、对一事件A、B,已知P(A)=0.6,P(B)=0.7,那么P(AB)可能取到的最大

值是,P(AB)可能取到的最小值是.

标准答案：0.6；0.3.

知识点解析：注意ABUA,”(AB)WP(A)=0.6.而若AUB(这与P(A)=0.6<

P(B)=0.7不矛盾)，则P(AB)=P(A)=0.6,可见P(AB)可能取的最大值是

0.6：又・.,1NP(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1.3—P(AB),..P(AB)K).3而当

AUB=Q时,P(AB)=0.3.或见P(AB)可能取的最小值是0.3.

11、设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结

果不是三等品，则取到的是一等品的概率为.

2

标准答案：._

知识点解析：记Ai={取得i等品},i=l.2,3.则P(A)=O.9.而P(A|X)=

…F、/"儿？M_2

P(.\；A、-----T".

P(A1)=O.6.故，(人

12、3架飞机（一长二僚）去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过

的概率均为0.8,通过后轰炸成功的概率均为0.3,各矶间相互独立，但只有长

机通过高炮阵地才有可能轰炸成功.求最终轰炸成功的概率为.

标准答案：0.476544

知识点解析：暂无解析

13、设随机变量X,Y,Z相互独立，且X〜N(4,5),Y〜N(-2,9),Z〜N(2,

3

2),则P{0WX+Y-ZW3}=.(①(7)=0.7734)

标准答案：0.2734

知识点解析：E(X+Y-Z)=EX+EY-EZ=4-2-2=0,D(X+Y-Z)=DX+DY

+DZ=5+9+2+2=16.，X+Y-Z〜N(。，16),故P{gX+Y-ZV3}二

Y4-y-7?、？

P{0^-一~；_}=4>(4)

444—6(0)=0.7734-0.5=0.2734.

14、对随机变量X,Y,Z,已知EX=EY=I,EZ=-LDX=DY=1,DZ=4,

12

P(x.Y)=o，PX.Z=3,PY.Z=-2.(p为相关系数)则E(X+Y+Z)=,

D(X+Y+Z)=,cov(2X+Y,3Z+X)=.

16

标准答案：1；3；3.

知识点解析：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1,D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+

2coy(X»Y)+2coy(X»Z)+2cov(Y,Z)=1+1+4+0+2px,z

1116

"X•\/DZ+2秒/DY・\/DZ=6+2x3x2+2x(-2)x2=3cov(2X+

Y,3Z+X)=6cov(X,Z)+2Dx+3cov(Y,Z)+cov(Y,X)=6xp(x.z)

11

QY・/nz+2DX+3.p(Y.-"?+o=6x3x2+2xl+3x(-2)x2=

3.

$、设二维随机变量(X,Y)的分布列为(如表).其中a,。未知，但已知E(Y)=

3

X123

11/61/91/)8

21/3aB

25

标准答案：9,9，3，9，

知识点解析：暂无解析

16、设(X,Y)在D：lZl+IyI$a(a>0)上服从均匀分布，则E(X)=

E(Y)=,E(XY)=.

标准答案：0；0；0.

知识点解析：暂无解析

17、对随机变量X,Y,已知3X+5Y=U,则X和Y的相关系数为.

标准答案：

3VII

知识点解析：vY=-55,.-.(X,Y)的相关系数为-1(若丫=@*+0,则

(X,Y)的相关系数为।。

三、解答题(本题共乃题，每题1.0分，共15分。)

18、将n个同样的盒子和n只同样的小球分别编号为1,2,...»n.将这n个小球

随机地投入n个盒子中，每个盒子中投入一只小球.问至少有一只小球的编号与盒

子的编号相同的概率是多少？

标准答案：记Ai={i号小球被投入到第i号盒中},i=l,2,n则P(Ai)=

他二!)!=1心2川=—!—

〃！%i=l,…，n.P(AiAj)=〃！n(n-l),l<i<j<n,

1

P(A|A2…An)="I所求概率为

.

P(uA,)=yp(A,)-y.P(AA)4--4(-D-•P(AM-A,)

‘7"I?2

=v1-y—1-+•••+(-1)i-.=1-----4--

n\2!r3!

知识点解析；暂无解析

19、某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占0.7,需调试的占0.3,调试后可出

厂的占0.8,不能出厂的(不合格品)占0.2.现生产了n(n22)台仪器(设每台仪器

的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)恰有2台不能出厂的概

率；(3)至少有2台不能出厂的概率.

标准答案：对一台仪器而言，记A=｛可直接出厂｝,B=|最终能出厂｝,则AU

B,P(A)=0.7,P(BIK)=0.8,・・.P(B)=P(B)=P(A)+P(KB)=0.94.故

nnn2

(l)Cn.O.94.(l-0.94严=0.94，(2)Cn-.0.94nWo.062；⑶一5”.94n

n-Innl

-Cn.0.94~1.0.06=1-0.94-n.O.06.0.94.

知识点解析：暂无解析

20、袋中有a白b黑共a+b只球，现从中随机、不放回地一只一只地取球，直至

袋中所剩之球同色为止.求袋中所剩之球全为白球的概率.

标准答案：我们将球一只一只地全部取完(这不影响所求之概率)，则P｛袋中全剩白

球｝=P｛最后一只取白球｝=a'%抽签原理).

知识点解析：暂无解析

21、设事件A、B、C两两独立，且ABC=(p,P(A)=P(B)=P(C)=p，问P可能取

的最大值是多少？

标准答案：P(AUBuC)=P(A)+lP(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3p

一3P?，乂P(AUBuC)>P(AUB)=P(A)+(B)-P(AB)=2p-p2,.,.2p-p2<3p-p2,

11

斛得止2(p=0显然无意思):取街=｛必,32，S3,C04)，p(⑻)=4，i=l，..・，

1

4,A=｛W|,C02)»B=｛O)|,o)3)»C=｛(O2,CO3),则P(A)=P(B)=P(C)=2,而此

A、B、C两两独立且ABC=(p,可见p可能取的最大值应为2.

知识点解析：暂无解析

22、随机变量X可能取的值为一1,0.I,且如EX=0.1,EX2=0.9.求的分布

歹

标准答案：由题意，X的分布列可设为：X〜'«h”且知：a+b+c=l,

0.1=EX=—a+c,0.9=E(X2)=(—l)2.a+l2.c=a+c.可解得a=0.4,b=

0.I,c=0.5,代问分布列表达式即可.

知识点解析：暂无解析

23、往aABC中任取一点P,而^ABC与AABP的面积分别记为S与Si，若已知S

=12.求ES|.

标准答案：如图建立坐标系，设AB长为r,AABC高为h,c点坐标为(u,h),设

△ABC所围区域为G,则G的面积S=2「h=12.又设P点坐标为(X,Y),则随机

/(.».v)-

变量(X,Y)在G上服从均匀分布，其概率密度为

J±

而SI=ZY.易得线段AC的方程为x=〃y,BC的方程为％=!•一卜y,故EY

Hy/(j.v)d.rd>*=yrpvdjdv=［vdvJdi=备

=K(，J.ESI

1L-Y】H厂r/r

—rf*}—―/"•■—=।-

=2272111,而rh=24,ES］=

24、已知线段AB=4,CD=1,现分别独立地在AB上任取点Ai，住CD上任取

点Ci.作一个以AA］为底、CJ为高的三角形，设此三常形的而积为S,求P(S<

1)和D(S).

标准答案：AAi长度为X,CJ长度为Y,则知X与Y为二相互独立的随机变

量.分别服从区间［0,4］和［0,1］上的均匀分布，(X,Y)的概率密度为

；・(八v)eD

/(7)-彳।・J

0,其他其中D={(%,y)IOWx9,0<y<l),而S=2.故

P(S<1)=P(XY<2)=

TL1=y（l+ln2）.

其中

G为图中阴影部分.而

ES=­E(XY)=才］|0/(］，.丫)山(1¥不yjj.rv,-j-dxdj

4

R2J)

=yj\d.rj\dj=y.ES2=y£<X:y2>

=|Lr'y2f(J:*y)(1j-dj=--|］J;y----iLzd

y

=8jM：，d«r=*

.­.DS=ES2-

yiy=2

,z\__

--—

4J7

(ES)2=57一死。2X

知识点解析：暂无解析

25、设随机变量X在区间(一1,1)上服从均匀分布，Y==X2,求(X,Y)的协方差矩

阵和相关系数.

4*-l<r

<1

/(x)=4一

标准答案：X的概率密度为：°・我他故EX=O,

EX3=J)•十"=0,

EX'=1/・4"=1

J-ii5••.DX=3,DY=E(Y2)-(EY)2=E(X4)-EX2)2=

_L-」=_£

4、),cov(X,Y)=co、，(X，X3)-E(X3)-EX.EX2=O,故知(X,Y)的相

r1

nn

■DXcov(x.y)n3

.cov(X.Y)DY-4

Ln°45J

关系数P(x.Y)=。，协方差阵为

知识点解析：暂无解析

26、现有k个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共，n+1层，电梯在任一层时若

无人下电悌则电梯不停（以后均无人再入电梯）.现已知每个人在任何一层（当然不包

括第一层）下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值.

1,电梯在第，层要停（即有人要卜.）

标准答案：记Xi=S，否则则P(Xi=O)=

0

—.X,〜

(〃一1尸.1)(〃一1一

，EXi=l-/，i=2,

3,…，n+1.而X=，-Xi为电梯停的次数，故知平均停的次数为EX=

VEX,=〃一〃（i-J-）*

Mn

知识点解析：暂无解析

27、设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布，这种元件可用两种方法制得,

所得元件的平均寿命分圳为100和150（小时），而成本分别为c、和2c元，如果制

得的元件寿命不超过200小时，则须进行加工，费用为100元，为使平均费用较

低，问c取值时，用第2种方法较好？

标准答案：记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为X、Y,费用分别为

"”，则知X、Y的概率密度分别为:

(y)=[15°e

忐•1y>0

/x<.r)

Io,

X。

jr-b100.X<200J2c+100,y4200

而a=

lc.X>200,\2c.y>2oo

且P(X<200)

P(Y<200)=

f2001Y.

正小kdy=1-eFt

J01.-.E4=(c+100)P(X<200)+c.P(X>200)=c+

100p(X<200),En=(2c4-IOO)P(Y<2OO)+2cP(y>2OO)=2c+100P(Y<200),于是E”

-E^=c+100.[P(Y<200)-P(X<200)]=c+100(c2-e7),可见cV100(f7-e

2)时，EnVE。用第2种方法较好(平均费用较低).

知识点解析：暂无解析

28、设做一次实验的费用为1000元，如果实验失败，则要另外再花300元刈设备

调整才能进行下一次的实验，设各次实验相互独立，成功的概率均为0.2.并假

定实验一定要进行到出现成功为止，求整个实验程序的平均费用.

标准答案：设需进行X次试验，则所需费用为Y=1000+300(X—l),而P(X=k)

=0.8k-,.0.2,k=I,2,记g(x)=・7kxk",IXI<1»则

f8(外dz=&Q)=)'=—1--.

R-I(l-.j于是EX

X：—L_

4-1k.0.8k-,.0.2=0.2g(0.8)=0.2.(1-0・8)=5,故EY=1000+300(EX-

1)=2200(元).

知识点解析：暂无解析

29、现有奖券100万张，其中一等奖1张，奖金5万元；二等奖4张，每张奖金

2500元；三等奖40张，每张奖金250元；四等奖400张，每张奖金25元.而每

张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益.

标准答案：记X和4分别为买1张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则&二

X-2,而X的概率分布为：

X5万2500250250

144040()415

p1-

100万100万100万100万100万

.•.E4=EX—2=

5万2500X\250X40,25X400

…I+t■・■一十III十......

100万100万100万100万一2=—l.92(元).

知识点解析：暂无解析

30、设随机变量(X,Y)〜N(0,I；0,1；p),求Emax(X,Y).

标准答案：E(X—Y)=EX-EY=0,D(X—Y)=DX+DY—2cov(X,Y)=l+1—2P

=2(l-p),•••X-Y~N(O,2(1-p)),

W=二二匚〜

,2(1一0)

XT

・•・E

\/2(1-p)

得EIX-YI='2"•