考研数学三（线性代数）模拟试卷33

考研数学三(线性代数)模拟试卷33

一、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

1、设A为mxn矩阵，则齐次线性方程组AX=O仅有零解的充分条件是

A、A的列向量线性无关

B、A的列向量线性相关

C、A的行向量线性无关

D、A的行向量线性相关

标准答案：A

知识点解析：设A按列分块为A=［ct］,(X2…an］，X=(X1，X2，…，Xn)T,则方程组

Ax=O的向量形式为Xi/+X2a2+…+xna"=O,因此，AN=O只有零解X=0,等价于上

式只在Xl=X2j..=Xn=0时成立，亦即A的列向量组ai，0(2，…an线性无关。故(A)

正确。

2、设矩阵Amxn的秩为r(A)=m<n,Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是

A、A的任意m个列向量必线性无关

B、A的任意一个m阶子式不等于零

C、若矩阵B满足BA=0,则B=0

D、A通过初等行变换，必可以化为［ImO］的形式

标准答案：C

知识点解析：由BA=O知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=O的解，由题设知A

的列向量中有m个是线性无关的，故m=0的解集合中至少有m个线性无关的解向

量，因而Bx=O的基础解系所含向量个数不小于m,即m—所以

"irlw"|

AP八=[LO]c=L

r(B)<0,故r(B)=O,即B=0.LO」LO」记nxm矩阵

则有AQ小于是用Q右乘题设等式BAWAS。，即

BIni=0,亦即B=0.

AJ1+12+=0

<X)+Xrt+=0

3、齐次线性方程组的系数矩阵记为A。若存在3阶矩阵

B#)使得AB=0,则

A、九=一2且|B|二0

B、入二一2且|B|和

C、X=1且|B|二0

D、入=1且|B|4)

标准答案：C

知识点解析：设B按列分块为B=[0IP203]，则由题设条件，WO=AB=[ApiAp2Ap3]

所以A0j=O(j=l,2,3),即矩阵B的每一列都是方程组Ax=O的解。乂B#),故B

至少有一列非零，因而方程组Ax=O存在非零解，从而有

A1A2A10

IA|=1A1—1A1—A=(A—I)2=0

11A110得bl另一方面，必有

|B|=0,否则|B|，0,则B可逆，于是由给AB=O两端右乘/，得A=0,这与A加

矛盾，故必有|B|=0.因此(C)正确。

4、设囚，。2,(13是4元非齐次线性方程组Ax=bW3个解向量，且A的秩

r(A)=3,ai=(l»2,3,4)T,a2+a3=(0,1,2,3产，c表示任意常数,则线性方程

组Ax=6的通解X=

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：由于AX=b的通解等于人*=1)的特解与AX=O的通解之和，故只要求

出AX=O的基础解系，即得人乂力的通解。因为r(A)=3,故4元齐次方程组Ax=O

的基础解系所含向量个数为4一r(A)=l,所以Ax=O的任一非零解就是它的基础解

1

系。由于ai及2(a2+a3：)都是Ax=b的解。故

2

1113

6—+6)='12a-(a+6)1=彳4

七」是AX=O的一个解，从而

匕=(2,3,4,5户也是AX=O的一个解，由上述分析知匕是AX=O的一个基础解

系，故Ax—b的通解为X=ai+J因此(C)正确。

5、设A为，2阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：Ax=O和

(H)：ATAX=O,必有

A、(口)的解是(I)的解，(I)的解也是(口)的解

B、（n）的解是（I）的解，但（I）的解不是（口）的解

c、（I）的解不是（II）的解，（II）的解也不是（I）的解

D、（I）的解是（H）的解，但（II）的解不是（I）的解

标准答案：A

知识点解析：若向量X满足方程组AX=O,两端左乘A、得ATAX=O,即x也满

足方程组ATAX=O,故AX=O的解都是ATAXR的解。反之，若X满足

ATAX=O,两端左乘XT,得XTATAX=O,即（AX）T[AX）=O,或||AX『二O,故

AX=O,即X也满足方程组AX=O,故ATAX=O的解都是AX=O的解由以上两方

面，说明方程组（I）与（D）是同解的，故（A）正确。

二、填空题（本题共3题，每题1.0分，共3分。）

Xri++彳1=0

Ji+Xr：4-Xj=0

6、若齐次线性方程组〔不+与+4=0只有零解，则入应满足的条件是

标准答案：入为不等干I的任意常数C

知识点解析：方程组的系数行列式为

A11A-100

0A-1(A-I)2

由于该齐次方程组只有零解QDXO.故得aX1.

x：+x>=at

工

s+x4=—a3

7、若线性方程组1工，+与="有解，则常数川，a2,a3,a4应满足条件

标准答案：a1+32+33+04=0.

可见r（A）=3,由原方程组有解，应有，（A）=r（A）=3.故得a]+a2+a3+a4=0.注意，

为了同时求出A及彳的秩，只能对彳施行初等行变换，这同时也是求解线性方程组

所要求的。

其中a/aj（的,

j=l,2,n）o则线性方程组人丁乂一B的解是________

标准答案：（1,0,…，0）,。

知识点解析：因为ai，a2,…an两两不相等,故范德蒙行列式囚二一〈心（街一

可），0,所以方程组ATX二B的系数行列式从乍⑶川，故方程组有唯一解，再由观察

法或克莱默法则可得此唯一解为X=（l,0,0）\

三、解答题（本题共18题，每题1.0分，共18分。）

2ri-+4xj—3*4=—4

工1+Xj—x4H-3

3Hl++工3=1

9、求解线性方程组+7x3-3x4=3

对方程组的增广矩阵A作初等行变换:

1一14

101

311

_707

-101-1-3-0103'

01-21-201-20-8

00021200016

标准答案:.000424.J00000.己将彳化成

了简化行阶梯阵，其中与首非零元对应的未知量为X］,X2,X3，选它们为约束未知

量，则剩下的未知量X3就是自由未知量，于是得方程组的用自由未知量表示的通

{X\=3-X,

=-84-2x3（石任意）

所八若令X3=k,则可得方程组的参数形式的解

xj=3—*k,X2=-*8+2k,X3=k,X4=6（k为任意常数）

知识点解析：本题考查非齐次线性方程组的求解。对于n元非齐次线性方程组

Ax=b,当r（A尸，（A）=r<n时，它有无穷多解。注意，这时求解的关键是首先选取

约束未知量（通常选与r个首非零元对应的r个未知量为约束未知量），从而其余的

n-r个未知量就是自由未知量了，进而在与简化行阶梯阵对应的方程组中，将自由

未知量的项移到等号右端，就得到了用自由未知量表示的通解（在此基础上，如果

改写通解的形式，就可以得到用对应齐次方程组的基础解系表示的通解，可.见求出

用自由未知量表示的通解是求其它形式的通解的基础）。

Xi4-xi4-2J：3+3x4=1

X|+3xj+6xs+14=3

3Xj—“2一相工3+1514=3

10、已给线性方程组一54Toz3+12乙=品问ki和k2各取何值时，方

程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解。

标准答案：以A表示方程组的系数矩阵，以［A|B］表示增广矩阵，对增广矩阵［A|B］

施行初等行变换：

pi231-

。i2-11

02-心24

L°o003A+5.

由此可

知：(1)当k#2时,r(A)=r[A|B]=4,方程组有唯一解;(2)当酊=2时,有

11231231'

012-112-11

[A：吁

000100I2

,0003000儿一1」所以，当k]=2且

k2，l时，则r(A)=3,r[A|B]=4,方程组无解；当k]=2且k2=l时，则

r(A)=r[A|B]=3<4,方程组有无穷多解，此时有

广矩阵化成了简化行阶梯阵，选取X],x2,X3为约束未知量，则X3为自由未知

产=-8

=3-2x3(x>任意)

量，于是得方程组的用刍由未知量表示的通解：=2取

X3=c(c为任意常数)，得方程组的一般解：xi=-8,X2=3—2c,x3=c,x4=2(c为任

意常数)。

知识点解析：本题考杳带参数方程组的求解。注意这类问题要根据参数的不同取值

进行分类讨论，分类的依据是使方程组系数矩阵与增广矩阵的秩得到确定，特别要

M=2,且上2工1

注意“二分法”，例如本题的分法是:鬲=2.且扁=1这样分法，当然

既无遗漏也不重复。

X|+Xj+13+工4+x5=a

3x>+Zxi+工a+工4-3x$=0

xt+2口+24+6x50b

已知线性方程组+4x,+3x,+3刈-xs=2

1、a,b为何值时，方程组有解?

标准答案:对方程组的增广矩阵X=[A|b]作初等行变换:

1111111111a-11111

3211-300-1-2-2一6—3a01263a

A=

0126b0126b000006-3a

543-12..0一1-2-2—62-5a..000002-2a

由阶梯形矩阵可见r(A)=2,故当且仅当r(A)=2时方程组有解，即当b—3a=0,2-

2a=0,亦即a=l,b=3时方程组有解。

知识点解析：暂无解析

12、在方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系，并用它表示方程组的

全部解。

-10-1-1-5-2-

012263

000000

标准答案：当a=】，b=3时，有.000000」由此即得方程组

(•)(XI,工5任意)

的用自由未知量表示的通解为令

X3=X4=X5=0,得原方程组的一个特解为/=(一2,3,0,0,0)T在(*)式中令常数项

均为零，则得原方程组的导出组的用自由未知量表示的通解为

(**)(XJ.14•备任意)

由此即得导出组的一个基础解

系为4=(1,一2,1,0,0)T,及=(1,一2,0,1,0)T,43=(5,—6,0,0,1)T

所以，原方程组的全部解(其中X=(X|,X2，X3，X4，乂5产)为

x=r|'+k]3+k2&2+k343(k],k2，k3为任意常数)

知识点解析：本题综合考查非齐次方程组和齐次方程组解的理论与求解。注意，在

非齐次方程组有无穷多解时，首先正确求出用自由未知量表示的通解(即(*)式)是关

键，(*)式当然也可看作原方程组的同解方程组，因此当令其中的常数项全为0

时，也就得到了导出组的用自由未知量表示的通解(即(**)式)，当然(**)式也是求导

出组的基础解系的基础。另外，求原方程组的用导出组的基础解系表示的通解的另

一方法是：将(*)式先写成参数形式的通解.，再写成向量形式，即得所求通解为

R-l—2+瓦+A?+-r•1•-1-■5-

3—2Al—2kz—6A33-2-2-6

=扁=0+扁1+儿0+名0

*4A0010

-AJ.L0.-0..0..1.这显然

和前边解法所得结果相同，导出组的基础解系也从中得到了。

1ro-i

设有3维列向量L1JL1」Ll+VU"」问入取何值

时

13^p可由a”a2>(X3线性表示，且表达式唯一？

标准答案：设Xia]+X2a2+X3a3=0,得线性方程组

14-A1

11+A.

其系数行列式为

14-A1A2(A+3)

114-A若¥0且

计一3,则|A|#O,方程组有唯一解,此时，。可由ai，02,(X3唯一地线性表示。

知识点解析：暂无解析

14、p可由a”。2,。3线性表示，但表达式不唯一？

标准答案：若兀=0,则|A|二O,且方程组为一齐次方程组，因而有无穷多个解，此时

P可由ai，。2,线性表示，但表达式不唯一。

知识点解析：暂无解析

15>。不能由ai，a2,。3线性表示?

标准答案：若九=一3,对方程组的增广矩阵无作初等行变换：

--211：0-1「11-2：9-

1-215-3-*0-33i-12

6」可见r(A尸2尹(4)=3,故方程

组无解，从而P不能由ai，a2,〃线性表示。

知识点解析：本题主要考查如何根据系数矩阵与增广矩阵的秩来判定方程组的解的

情况。注意本题方程组的系数矩阵是一个方阵，因此可以先考虑系数行列式|A|,

当|A|H0时，由Grader法则知方程组有唯一解；而当|A|二0时，即参数入取某些特

定值时，增广矩阵)已是数字矩阵，因而很容易化成阶梯形，从而判定解的情况。

本题也可以直接对7施行初等行变换而化成阶梯形。

设3阶矩阵B，0,且B的每一列都是以下方程组的解：13与上修一片=°

16、求大的值；

标准答案：因B#),故B至少有一个非零列向量。依题意，所给齐次线性方程组

12-2

IAI=2-1A=0

有非零解，故其系数行列式|A|必为0,即31-1由此可得

X=1.

知识点解析：暂无解析

17、证明|B|=0.

标准答案：囚B的每一列都是所给方程组AX=0的解，故有AB=0由A#),必有

|B|=0.否则旧|和,则B可逆，用B/右乘AB=0两端,得A=0,这与A#)矛盾，

故必有|B|二0。

知识点解析：暂无解析

+彳2+红3=4

〈一不+kx,+网=/

18、k为何值时，线性方程组〔与一工2+24=-4有唯一解、无解、有无穷多

组解?在有解情况下，求出其全部解。

标准答案：对方程组的增广矩阵作初等行变换:

—4

4

M14)

由此可知

(1)当AW1且AW4时，r(A)r(A)=3,方程组有唯一解.此时，由

一4公+2A

rl-12--4-10100

m1+A

014kl+2A+4公+2A+4

0000-m-

-2k

001-2k

m.00100rn

公+2A〃+2A+4

得方程组的唯一解为：qTTF田，

(2)当A=-1时,r。)，=2Vr(A)3,方程组无解.

(3)当A=4时，有

r(A)-r(A)=2V3.故方程组有无穷多解.由阶梯形矩阵得同解方程组:

工1=-3工3

=4—工,

令』=c，得方程组的全部解:

pj+c-1为任意常数)

知识点解析：本题仍考查带参数方程组的求解，注意，n元非齐次线性方程组

(A=[A!小

(1)当r(A)#r(Z)时，无解；

(2)当r(A)=r(A)=〃时•有唯一解,

Ax二b的解的情况只有以下3种(3)当="彳)Vw时,有无穷多解,所以，

对参数的不同取值，解的情况不尽相同，因此需要对参数的取值讨论。这主要根据

A及通化成的阶梯形阵中非零行的个数，或从|A|(当A为方阵时)何时为零、何时

不为零进入讨论。

Xi+w=a?

Xi+。2124-=al

Xj+。3工？+=a；

设有线性方程组［与+4与+。任3=房证明:

19、若ai,a2,a3,巴两两不相等，则此线性方程组无解；

标准答案:增广矩阵X为一方阵，其行列式显然为一4阶范德蒙行列式的转置:

1

1

(a?-a))(a3-a\)(a4-ai)(a3-a：)(a4~at)(a<一即)

a,即两两不相等，知1彳号0,从而知矩阵N的秩为4.但系数矩阵A

由ai，a2,3

为4x3矩阵，有r(A)S3(或由A左上角的3阶子式不等于零知r(A)=3),故r(A)声

，(给,因此方程组无解。

知识点解析：暂无解析

T

20、设aiw=k,a2=O4=k(k^0),且已知的二(」,1,I),p2=(k1,」)丁是该方程

组的两个解，写出此方程组的通解。

标准答案：当a产a_3=k,a2=a4=一k(krO)时，方程组为

2l

xj4-£r:+kit=k

2

Xi-krt+/口=-V|X|4-krt+kx1=

*即

«13iz3

xi4-£r?4-k1,=k\xi-kzt+kX3=-k

z3

Xi-kjrt+kxt=-k

1k

因为二-24*0.故「(4)-r(Q-2,从而原方程组相容且它的导出方程组的基础解系应含有

3-2=1个解向量.

因为A遇是原非齐次方程组的两个解♦故

「-11

6=A-庆110

一1-2.

是对应齐次方程组的解，且＜K0,故6是导出方程组的基础解系.

于是原非齐次方程组的通解为

--1~|2-

x=a+«=1+co,(c为任意常数)

.1.2.

知识点解析：本题综合考查矩阵的秩，范德蒙行列式，非齐次方程组有解的条件、

解的性质及解的结构，齐次方程组的基础解系等知识及它们在非齐次方程组求解中

的灵活应用。注意本题⑵虽然也可以先通过把01、俄代入方程组而定出k的值，

然后再求方程组的通解，但显然不如解答中的方法简单，这里的关键是根据非齐次

方程组的通解等于非齐次方程组任一特解与导出方程组的通解之和，将问题归结为

求导出方程组的基础解系(从而求出导出组的通解)。注意，对于n元齐次方程组

Ax=O,若r()A)=rVn,则Ax=O的任意n—r个线性无关的解都可以作为Ax=O的

一个基础解系，这是很重要的一个结论并且常常用到。

设向量组ai=(a,2,10)T,(X2=(一2,1,5)T,013=(一1,L4)T,p=(l,6,c)To

试问：

21、当a,b,c满足什么条件时。可由a”012，(13线性表出，且表示唯一？

标准答案：设有一组数ki，k2,k3,使得k|ai+k2(X2+k3a3=0该方程组的系数行列

a-2-1

A：=211=-a-4

式1°54当时一4时，|A[#),方程组有唯一解，0可

由ai，a?,a3，04唯一地线性表出。

知识点解析：暂无解析

22、当a,b,c满足什么条件时0不能由ci