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高等数学公式篇

平方关系：sin(2a)=2sina,cosa=2/(tanQ+cota)

sinA2(a)+cosA2(«)=1cos(2

tanA2(a)+l=secA2(a)a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2c0sA2(a)-l=l-2sinA2(a)

cotA2(a)+l=cscA2(a)tan(2a)=2tana/[I-tanA2(a)J

•积的关系：•三倍角公式：

sinQ=tana*cosQsin(3a)=3sina-4sinA3(Q)

cosa=cota*sinacos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

tana=sina*seca•半角公式：

cota=cosa*cscasin(a/2)=±V((1-cosa)/2)

seca=tana*cscacos(a/2)=±V((l+cosa)/2)

esca=seca*cotatan(a⑵=土V((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cos

•倒数关系：a)=(1-cosa)/sina

tana•cota=1,降辕公式

sinn,esca=1sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosa,seca=1cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

直角三角形ABC中，tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，•万能公式：

余弦等于角A的邻边比斜边sina=2tan(a/2)/[l+tanA2(a/2)]

正切等于对边比邻边，cosa=[1-lai1A2(a/2)]/[l+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[l-tanA2(a/2)]

•三角函数恒等变形公式­积化和差公式：

•两角和及差的三角函数：sina•cosP=(l/2)[sin(a+B)+sin(a-3)]

cos(a+B)=cosa,cosB-sina,sinPcosa,sin3=(l/2)[sin(a+B)-sin(a-3)J

cos(a-B)=cosa•cosB+sina•sin3cosa,cos3=(l/2)[cos(a+B)+cos(a-B)]

sin(a±B)=sina•cosB±cosa•sinBsina•sinB=-(l/2)[cos(a+B)-cos(a-p)]

tan(a+B)=(tana+tanB)/(1-tana•tanP)•和差化积公式：

tan(a-B)=(tana-tanB)/(1+tana•tanB)sina+sinB=2sin[(a+3)/2]cos[(a-p)；2]

•三角和的三角函数：sina-sinB=2cos[(a+B)/2]sin[(a-B)/2]

sin(a+B+Y)=sinaTOSB*COSY+COSa*sinB,coscosa+cosB=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

Y+cosa•cosB•siny-sina•sinB•sinycosa-cosB=-2sin[(a+B)/2]sin[(a-p)/2J

cos(a+B+Y)=cosa*cosBxos丫-cosa-sinB,sin•推导公式

Y-sina-cosB,siny-sina•sinB-cosYtana+cota=2/sin2a

tan(a+B+y)=(tana+tanB+tany-tana•innB,tantana-cota=-2cot2a

Y)/(1-tana•tan3-tanB,tany-tany•tana)1+cos2a=2cosA2a

•辅助角公式：I-cos2a=2sinA2a

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(l/2)sin(a+t),其中1+sinQ=(sina/2+cosa/2)A2

sint=B/(AA2+BA2)A(l/2)・其他:

cost=A/(AA2+BA2)A(l/2)sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n

tant=B/A*3/n)+....+sin[a+2n*(n-l)/nJ=O

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/Bcosa+cos(a+2“/n)+cos(a+2丸*2/n)+cos(a+2n

•倍角公式：*3/n)+....+cos[a+2IT*(n-l)/n]=O以及

sinA2(a)+sinA2(a-2丸/3)+sinA2(a+2Ji/3)=3/2系：

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=Osin(n72+a)=cosa

三角函数的角度换算cos(7t/24-a)=-sina

tan(n/2+a)=—cota

公式一：cot(n/2+a)=—tana

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值sin(n/2-a)=cosa

相等：cos(jt/2—a)=sina

sin(2kn+a)=sinacan(n/2—a)=cota

cos(2k冗+a)=cosacot(n/2—a)=tana

tan(2kn4-a)=tanasin(3TI/24-a)=-cosa

cot(2kn+a)=cot«cos(3?r/2+a)=sina

公式二：tan(37t/2+a)=—cota

设a为任意角，：n+a的三角函数值及a的三角函cot(3n/24-a)=­tana

数值之间的关系：sin(3兀2—a)=—cosa

sin(兀+a)=~sinacos(3加'2-a)=­sina

cos(Ji+a)=—cosatan(3兀2—a)=cota

tan(n4-n)=tanacot(3n/2—a)=tana

cot(n+a)=cota(以上kEZ)

公式三：部分高等内容

任意角a及-a的三角函数值之间的关系：•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易

sin(-a)=—sina得)：

cos(-a)=cosasinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2

tan(—a)=­tanatanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

cot(-a)=­cota泰勒展开有无穷级数，eA7尸exp(z)=1+z/l!4-

zA2/2!+zA3/3!+zA4/4!+,*,4-zAn/n!+…

公式四：此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

利用公式二和公式三可以得到五-Q及a的三角函-三角函数作为微分方程的解：

数值之间的关系：对于微分方程组y="y";y=y,";有通解Q,可证明

sin(n-a)=sinaQ=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函

cos(兀—a)=­cosa数。

tan(it-a)=­tana补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的

cot(7i—a)=­cota函数一一双曲函数.其拥有很多及三角函数的类似

的性质，二者相映成趣。

公式五：特殊三角函数值

利用公式一和公式三可以得到2五-a及a的三角aO-30"45'60-90,

函数值之间的关系：sina01/2J2/2V3/21

sin(2Ji—a)=­sinacosa173/2V2/21/20

cos(2冗-a)=cosatana0V3/31J3None

tan(2兀-a)=­tanacotaNoneV31V3/30

cot(2n—a)=­cota

公式六：

*2±a及33T/2土a及a的三角函数值之间的关

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分:

.2u\—u"X.2du

sinx=-------7，cosx=-------7，dx=-------

1+w21+z/21+w

一些初等函数：两个重要极限

双曲正弦:sk子..sinx,

hm-------=1

・1°X

双曲余弦:']im(1+1)A=^=2.718281828459045...

c/,v-X

双曲正切:〃2犬=岂竺~~—

chxex+e~x

arshx=ln(x+ylx2+1)

archx=±\n(x+y]x2-1)

1+x

arthx=—\n

2\-x

三角函数公式:

、诱导公

我

谀sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

2700-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tgc-ctga

360°+asinacosatgactga

•和差角公式:•和差化积公式:

・倍角公式:

矩形法：j/（幻B勺@（先+必+…+”马）

梯形法：j/(A)工g(%+心)+y+…+1

a

bi

抛物线法：j-^[(y0+y,)+2(%+%+…+)'〃.2)+4(必+%+…+丹T)1

定积分应用相关公式:

功：W=Fs

水压力：F=p-A

引力：E等,k为引力系数

函数的平均值分=占,*心

均方根:,f2(t)dt

b-a

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：d=M1M2I=一司）2+（为一K）2+⑵-4）2

向量在轴上的投影Pr，“凝=网＜059,碇硒〃轴的夹角。

Prju（4+G）=Pr吊+Pr凡

a-b=\a\-hcos^=a人b人+aJbJ+a工rb/.,^,一个数量

两向量之间的夹角cos。=。也+4仇+”也

Ma；.GH

_ijk_

c=axb=axay生，同=同•万sin6.例：线速度：v=KXr.

2及bz

%%生_

向星的混合积==久久，久=年同cosa,a为锐角时,

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中无={A,3©,z。)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程1+工+三=1

abc

平面外任意一点到该辆的距离：4［隼+叫十°。+、

x=x0+mt

空间直线的方程二^二匕&二三至“其中§={〃?,〃,〃}渗数方程/)，=)，0+，"

mnp

z=z0+pt

二次曲面：

1、椭球面£+工+三=1

a~b~c~

v2v2

2、抛物面:一+1=z,(p,q同号)

2P2q

3、双曲面：

2*>2

单叶双曲面与+与-=二1

a~b~c~

22-2

双叶双曲面二r■—4v+彳=K马鞍面)

a~b~c

多元函数微分法及应用

全微分：dz=­dx+—dydu=—dx+—dy+—dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az*dz=J\(x,y)Ar+fy(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

氏

空@

(J~:?

z=—=4

dtar

awdv包

a-z及aza-v

永

z=/[M(x,y),v(x,y)lcv&

当〃=u(x,y),v=v(x,y)时,

.du,du,,dv.dv,

du=—dx+—dyav=——dx+—dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

隐函数F(x,y)=0,字=々，条=[(-为+枭-为，

axFyaxoxryoyrvdx

隐函数F(x,y,z)=0,==

a.rF.dyF.

8F

F(x,y,w,v)=O3(£G)=前

隐函数方程组?

c(z/,v)走

G(x,y,u,v)=O4

du

Ou=1d(F,G)-3（F,G）

dxJd(x,v)a（〃,x）

du_1d(F,G)-e（F,G）

byJo(y,v)。（凡y）

微分法在几何上的应用:

方向导数及梯度：

函数Z=/（尤?）在一点0（x,y）沿任一方向/的方向导数为考=%cGS（p+ysin夕

cloxoy

其中9为x轴到方向/的转角。

函数z=/*,），）在一点p（x,y）的梯度：grad/（x,），）=%；+%/

oxdy

它与方向导数的关系是^^=8值（1/（x,y）-e,其中E=COS9-7+sin^j,为/方向上的

ol

单位向量。

/.空是gra（叭x,y）在/上的投影。

ol

多元函数的极值及其求法：

设£（“0，%）=力，（%0，％）=°，令：。式如先）=4,%（/，%）=比&（X0，%）=。

“R2、用小<0,（匹），0）为极大值

AC-o>UH'J

A>0,（%、）"）为极小值

则：［AC—Z^vOW,无极值

AC-B2=（Wt不确定

重积分及其应用:

jj/(x,y)dxdy=Jj/(rcosO,废inO)rdrdO

曲面z=/(x,y)的面积A=JJdxdy

\\xp^y)da

平面薄片的重心：工=等=*---------，y=-^D

历JJp(x.y}d(yM

DD

平面薄片的转动惯量：对于斓几=jjy2P(x,y)dcr,对于)轴=jjx2P(x,)，)dcr

D

平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,(),〃),(〃>())的引力：F={Ft,Fv,FJ,其中:

川3唱Fy=川/(=W£=-同J—P(玖)"%

D(x2+y2+a2)2°(x2+),24-6Z2)2D(x2+y2+a2)2

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosO

柱面坐标：y=rsin^,JIJ'y*)dxdydz=jjjF(rf,z)rdrd9dz,

z=z

其中：F(r,6?,z)=/(rcos^,rsin0,z)

x=rsinecosO

球面坐标，y=-sinosinadv=rd(p-rsin(pdO'dr=r2sin(pdrd(pdO

z=rcos(/)

2支K

JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJF(r,(p,9)r'sin(pclrd(pclO=Jd。jd(pJF(r,(p,O),sin(pdr

Qcooo

重心：了二卷0k刖，尸《胆，=5J0ZM，其中M=M=UJ>

IV1niVlalvlaQ

222

转动惯量：I=jjj(y2+z2)pdv.I=jjj(A-+z2)pdv,I.=jjj(x+y)pdv

xQQyQ

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧K的曲线积分)：

设/«)，)在L上连续，L的参数方程为「"以”，(awrv/?),则:

,'二以。

p___________________

]7(2)/=[/[。"),“。)•“。)+/2(。力(a<B)特殊情况4

La)1=*)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为=8⑺，则：

JP(x,y)公+Q(x,y)dy=J{P[(p{t}^(t)\(p\t)+QW⑺"⑺M")}dt

La

两类曲线积分之间的本：jPdx+Qdy=J(Pcosa+Qc。邓)ds,其中a和4分别为

LL

L上积分起止点处切向期勺方向角。

格林公式4(岩-^-)dxdy=|Pdx-vQd)格林公式注(詈-*)dxdy=1Pdx+Qdy

当尸=-y,Q=x,即:弦一二二2时，得至ij£>的而积：A=JJdxdy=—1xdy-ydx

GyD2L

・平面上曲线积分与路彳就关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数且毁="。注意奇点，如：0,0),应

oxoy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在学=半时，0公+。心，才是二元函轴(x,y)的全微分，其中:

excy

(x.y)

w(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy>通常设％=%=°。

("o)

曲面积分:

对面积的曲面积分JJ/(x,y,z)ds=JJf\x,y,z(x,y)]^j1+zj(x,y)+zJ(x,y)dxdy

对坐标的曲面积分，P(x,)，,z)dydz+。(乂乂z)dzdx+R(x,yyz)dxdy.其中:

JJR(x,y,z)dxdy=±jjR\x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取IK；

I%

JJP(4,y,z)dydz=ijjP[双y,z),y,z]dyB取曲面的前侧时取Iffi*；

Z%

JJ。(工，y,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]c以比取曲面的右侧时取正号<>

£%

高斯公式:

川送++^-)dv=.Pdydz+Qdzdx-\-Rdxdy=H(。cosa4-(?cosp+Rcos/)ds

cdxdy0z、.、.

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：++单位体积内所产生的流体质量，若divVvO,则为消失…

dxdydz

ifiM：J|A-nds=Ands=J|(Pcoscr+Qcosp+Rcosy)ds,

2

因此，高斯公式又可写成：JJJdivZdu=目Ands

a

斯托克斯公式一曲线积分及曲面积分的关系：

dvdzdzdxdxdycosacos。cos/

上式左端乂可写成，dddddd

不办dz=ffdx/dz

PQRPQR

空间曲线积分与路径赛的条件需等T啜，

j

dd

旋度：roM

dx

PQ

向量场不沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=，Atds

rr

常数项级数:

等比数歹收+4+/+…+/T=j

1-9

等差数歹心+2+3+-.+〃=("包"

2

调和级数」+，+1+…+4是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判刑法)：

［夕<1时，级数收敛

设：=收7，则</?>1时，级数发散

P=1时，不确定

2、比值审敛法：

0<1时，级数收敛

设:0=则P>1时，级数发散

U

〃夕=1时，不确定

3、定义法：

s“=%+〃2+…+”〃；lims”存在，则收敛;否则施九

交错级数-〃2+〃3-%…(或-“I+〃2-“3+…，〃”>0)的审敛法莱布尼兹定理:

如果交错级数满同嬴%那么级数收敛且其和2其余项7；的绝对值作3

绝对收敛及条件收敛：

(1)W|+〃2一卜〃”+其中〃”为任意实数;

⑵同+MI+闷+…+叫+…

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对I攵敛级数；

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数》;发散，而zW攵敛；

级数收敛；

磔数色时臂

乙〃，川寸4父敛

幕级数:

2,〃/凶<1时，收敛于上

l+x+x“+JC+…+x"+…(1-x

\闪21时，发散

对于级数(3)%+就+。2,+…+〃”数+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全

/N<R时收敛

数轴上都收敛，则必存由R,使时发散，其中R称为收敛半径。

=R时不定

pw0时，R=—

P=附，R=+oo

(p=+8时,H=()

函数展开成幕级数：

函数展开成泰勒级数：/0)=外玉))。一/)+^^*70)2+3+汇3370)〃+-

2!〃！

余项：Rn=汇*2*一%)，川J")可以展开成泰勒级数跪要条件是：iimR.=0

5+1)!

%=加寸即为麦克劳林公式：。*)=/(0)+/(0口+“1/+・..+汇也/+…

2!//!

一些函数展开成幕级数：

X+・・・+X

2!-----------------〃！

r3r5,/I

sinx=x—+------+(—1)”一一-----+…(-oo<x<+oo)

3!5!(2〃—1)!

欧拉公式：

cosx=

eLX=cosx+zsinx或

sinjv=

三角级数：

/(0=A)+Z4sin(〃碗+(p.)=才+Z(〃〃cos〃x+bnsinnx)

n=\2；i=]

其中，a0=叫,an=Ansin(p“,bn=Ancos%,col=xo

正交性4,sinx,cosx,sin2x,cos2x…sin立工cos〃x…任意两个不同项的乘枳4[-4,乃]

上的积分=0。

傅立叶级数:

a00

fix)=蒲+Z(a〃cosnr+bnsinnx\周期二21

2w=i

I不

an=—j/(x)cosnxdx(〃=0,l,2…)

其中

］厅

力〃=—Jf(x)s\nnxdx(〃=1,2,3…)

111+••,=^—(相加)

2232426

1J___1_+…二三(相减)

手"十铲―不

12

2”

正弦级数：。“=0,bn=—jf(x)sinx\xdxn=1,2,3…f(x)=sin/u是奇函数

2万

余弦级数：a=0,an=—jJ\x)cosnxdx〃=0J,2…/(用=?■+Zcos/u是偶函数

冗0

周期为的周期函数的傅立叶级数:

/<»=+£(6cos竿+bnsin竿)，周期=2/

2,II

a〃=；J/(x)cos等公(〃=0,1,2…)

其中:

2=；j/(x)sin等公5=123…)

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y'=/(x,y)或P(X,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程一阶微分方程可以优^g(y)dy=/(幻公的形式，解法：

Jg(y)dy=Jf(x)dx得：G(y)=&x)+C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分辘可以写成半=/(x,y)=*(x,y),即写成上的函数，解法：

axx

设〃一乜则半半，〃十字一例“),...农一分离变量，积分后将匕代替小

xaxaxdxx(p(u)—ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程由+P(x))，=Q(x)

dx

/当。(x)=0时,为齐次方程，y=Ce~^(x)<，x

［当。(幻工0时，为非齐次方程，y=(jQ(x)M'"Z+C)"""

2、贝努力方程W+P(x))，=2Cr)y",(〃wO,l)

dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx+2(x,y)dy=0中左端是某函数的全得分方程，即：

d〃(x,y)=P(x,),)dr+Q(x,y)dy=0,其中:半=P(x,y),半=Q(xyy)

oxdy

.•.!«X,)，)=C应该是该全微分方程的由解。

二阶微分方程：

2”(哈Q(x)i)//(x)三0时为齐次

V/*)WO0寸为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y"+py"+qy=0,其中p,q为常数;

求解步骤：

1、写出特征方程(△)/+p,Tq=0,其中产，厂的系数及常数项恰好越*)式中)，",乂)，的系数；

2、求出(△)式的两个根不々

3、根据小弓的不同情况，按下表写出(*)式的通解:

(*)式的通解

外，弓的形式

两个不相等实根(p2-4q>0)

两个相等实根(〃2-4夕=0)rK

y=(C)4-c2x)e'

一对共枕复根(〃2-49<0)aK

y=e(C]cos/3x+c2sinfix)

i\=a+i0,r2=a-ip

一乙”显互

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

y"+py'+qy=/(%),p,q为常数

/㈤=e"匕⑴型,4为常数;

fix)=有(x)cosg+匕(x)sin及］K型

概率公式整理

1.随机事件及其概率P(a<X<b)=P(X<h)-P(X<a)

吸收律：

=F(b)-F(a)

A-B=AB=A-(AB)

5.离散型随机变量

反演律：(I)0-1分布

p(x=k)=p"p)i,k=0A

2.概率的定义及其计算

P(A)=\-P(A)⑵二项分布B(n,p)

若尸(A)=p

若AuA=>P(B-A)=P(B—P(A)

P(X=k)=C；7/(1-P)〃4，k=(),1.

对任意两个事件4

*Possior.定理

P(B-A)=P(B)-P(AB)

limnpn=2>0

加法公式：对任意两个事件A,B,有

小

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)1皿W〃:(1_〃”了=/彳

43"->8k!

P(Au5)WP(A)+P(B)A=0,12…

P(OA.)=力⑷一EP(M)+汽PGM/3+湾TI例U#..4)

*=1<=lIMiv"”[ii<j<kin

乃

p(X_Ar)-e-"—,A:-0,1,2,--

3.条件概率k'

胭止

6.连续型随机变量

(1)均匀分布U(a,b)

P(AB)=P(A)P[B\A)(P(A)>0)

1

P(A4••4)=P(A)网421A)…P('IA4…Ajk)=产'a<x<b

(P(AA---4-I)>O)o.其他

(2)指数分布EW

全概率公式

Bayes公式

°、x<0

FW=

尸闻A)1-e-x>0

4.随机变量及其分布(3)正态分布N(〃，o2)

分布函数计算

i.«〃户/(X，y)=