2026年中考数学真题知识点专题 二次函数(三)

年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（三）一．解答题（共20小题）1．（2026•湖北）抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．点P在直线BC上，设点P的横坐标为t．（1）求c的值；（2）如图1，点H是抛物线上位于第四象限的点，PH平行于x轴．当t＝1时，求点H的坐标；（3）点Q在直线BC上且位于点P的右上方，PQ＝22．过点P，Q分别作x轴和y轴的垂线，四条垂线围成四边形PEQF．若四边形PEQF的边与抛物线有两个交点M，N，记M，N的纵坐标之和为f．①当点P在线段BC上时，求f关于t的函数解析式；②当f=−112时，直接写出2．（2026•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝（x+1）2﹣1（﹣3≤x≤0）的图象记为G1，顶点为点A．将G1向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象G2，点A的对应点为点B，图象G1与G2合起来得到的图象记为G．（1）填表：图象对应的函数解析式点的坐标G1y＝（x+1）2﹣1（﹣3≤x≤0）A（，）G2B（，）（2）观察图象G，解答下列问题：①直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小；②当﹣2≤x≤n时，﹣1≤y≤0，求n的取值范围．（3）如图②，点P为G1上一点，横坐标为m；点Q为G2上一点，横坐标为m+3；点C为G2上一点，横坐标为3．过点C作x轴的平行线l1，点Q关于直线l1的对称点为点D，过点D作x轴的平行线l2．图象G上P，Q两点之间的部分（含P，Q两点）的最高点和最低点到直线l2的距离分别为h1，h2．①请你判断点P，Q是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；②当h1＝2h2时，直接写出m的值．3．（2026•齐齐哈尔）综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，作直线AC，BC，点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的最大值及PE最大时点P的坐标；（3）如图2，若将抛物线y＝ax2+bx+4沿射线AC方向平移5个单位长度，得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，且∠CBQ＝∠ACB，则点Q的坐标为；（4）当PE最大时，作直线OE，若点M为直线BC上的一个动点，连接OM，将线段OM绕点O顺时针旋转90°得到OM′，取OM′的中点N，过点N作NF⊥OE，垂足为F，连接AN，PF，则AN+PF的最小值为．4．（2026•深圳）综合与实践【问题背景】随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．【研究条件】条件1：该充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表：x12345y50100150200250条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：ω=14x【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：（1）根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x＝40时，该充电站的收入为多少百元？（2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式．【模型应用】（3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益＝收入﹣成本）取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由．【总结反思】函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．5．（2026•黑龙江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）作射线BD交y轴于点D，使∠CBD＝15°，则CD的长为．6．（2026•河北）如图，二次函数y＝（x﹣t）（x﹣3t）（其中t＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P．将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D．（1）若t＝1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直线PD上．（2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值．（3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m的最小值．7．（2026•广西）综合与实践风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过2m/s，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平．【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据．【模型假设】假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．（1）逆风风速1m/s记为m/s．假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T0（单位：s），成绩变化量T0﹣T记为y，y与w的关系用函数近似描述．（2）描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T0和T的关系解释原因．假设3：用二次函数y＝aw2+bw描述y与w的关系．【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：y＝﹣0.004w2+0.07w．【模型应用】（3）请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y．（4）某运动员在专项训练后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升．【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型．8．（2026•新疆）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．问题．圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外．过程方法说明利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．操作说明以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．数据测量原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高．建立模型计算，交流展示…请根据上述信息，完成下列问题：（1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y＝ax2+bx+0.8（a≠0），求a，b的值；（2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米．9．（2026•宜宾）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，连接AD．试判定△ABD的形状，并说明理由；（3）如图2，点E、F是直线AC上两动点，且∠EBF＝∠ABC．求△EBF面积的最小值．10．（2026•河南）定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线y＝x2上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”．（1）点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12．求b，c的值．（2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”．①若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标．②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当−52＜m＜0时，若图象W上的最高点和最低点到x11．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D是直线AC下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，点N为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M，直线y＝kx+k﹣1（k为常数）交抛物线于E、F两点（点E、F分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF交x轴于点P，直线NE交x轴于点Q．试探究MP•MQ是否为定值？若为定值，求出MP•MQ的值；若不是定值，请说明理由．12．（2026•山西）综合与实践问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28．设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）．已知点A（0，160），B（18，646），C（28，496）均在描述y1与x关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点．建立模型：（1）求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式；应用分析：（2）已知低肥力麦田中小麦每亩的产量y2与x的函数关系式为y2＝﹣x2+26x+140．①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同．当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差．②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块，当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克．经判断n小于m，请直接写出m与n的差．13．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”．（1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式；（2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求CPCQ的值，并判断点Q14．（2026•福建）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c．（1）若b＝1，c＝2，求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线上存在一点P（x0，y0）在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点；（3）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，E是y轴上不与点C重合的点．若坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC＝ME，试探究CD和DE的数量关系，并证明．15．（2026•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，c＞0）的顶点为P．（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3时，求点P的坐标；（Ⅱ）点A（﹣c，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点．①当a=−12时，若∠PCA＝90°，求②若点B（m，0），∠ACB＝75°，D为线段BC的中点，点M在线段AC上（不与点A，C重合），点N在线段AB上，且CM=2BN，当MN+ND取得最小值为5时，求c16．（2026•攀枝花）已知二次函数y＝3x2﹣4ax+4，其中a为常数．（1）若a=3（2）当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．17．（2026•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（4，0），C（0，4），对称轴是直线x＝1．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（0≤t≤4）秒，过点M作x轴的垂线交BC于点N，交抛物线于点P．（1）求抛物线解析式；（2）抛物线的对称轴交BC于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形DENP为平行四边形；（3）动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形PCQB的面积最大，并求最大面积．18．（2026•眉山）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．（1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；（2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？19．（2026•乐山）已知抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点P．（1）求A、B两点的坐标；（2）直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于D，E两点．①若A、B两点到直线l距离相等，则直线l过定点，请求出这个定点，并说明理由；②若∠DPE＝90°，试问直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（2026•湖南）如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA＝7km，AB＝5km，点B到公路l1的距离BD＝3km，抛物线的顶点C到公路l1与铁路l2的距离分别为4km与2km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2，栅栏EF紧靠公路l1（与公路l1的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF，点G在线段AB上．以点O为坐标原点，直线l1与l2分别为x轴与y轴，规定1个单位长度为1km，建立平面直角坐标系．（1）请直接写出点B的坐标；（2）分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）点E到铁路l2的距离小于1.5km，EH＝2FG，已知建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元．求栅栏EH到铁路l2的距离．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（三）参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．（2026•湖北）抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．点P在直线BC上，设点P的横坐标为t．（1）求c的值；（2）如图1，点H是抛物线上位于第四象限的点，PH平行于x轴．当t＝1时，求点H的坐标；（3）点Q在直线BC上且位于点P的右上方，PQ＝22．过点P，Q分别作x轴和y轴的垂线，四条垂线围成四边形PEQF．若四边形PEQF的边与抛物线有两个交点M，N，记M，N的纵坐标之和为f．①当点P在线段BC上时，求f关于t的函数解析式；②当f=−112时，直接写出【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）c＝﹣3；（2）(1+2（3）①f=t2+3t−6(0≤t≤1)2t−4(1≤t≤3)；②−3【分析】（1）把点A（﹣1，0）代入抛物线表达式中可解出c的值；（2）由（1）求出点B和点C的坐标，从而求出直线BC的表达式，得出当t＝1时，点P的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点H的坐标；（3）利用PQ=22结合点Q在直线BC上且位于点P的右上方用t表示出点Q的坐标，从而可得到四边形PEQF是边长为2的正方形，接着可表示出点E和点F的运动轨迹，求出当四边形PEQF的边与抛物线有两个交点M，N时，t的取值范围；①分情况讨论当点P在线段BC上时，t的不同取值范围分别对应的点M和点N纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到f关于t的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余t的不同取值范围分别对应的点M和点N纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到f关于t【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入抛物线y＝x2﹣2x+c，得0＝1+2+c，解得c＝﹣3；（2）由（1）得y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，令x＝0，得y＝﹣3，∴B（3，0），C（0，﹣3），设直线BC的表达式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得0=3k+b−3=b解得k=1b=−3∴直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴当t＝1时，P（1，﹣2），∵PH平行于x轴，∴H的纵坐标为﹣2，∵点H是抛物线上位于第四象限的点，又∵x2﹣2x﹣3＝﹣2，化简得x2﹣2x﹣1＝0，b2﹣4ac＝8，解得x=−b±∴H(1+2（3）由（2）知直线BC的表达式为y＝x﹣3，∴P（t，t﹣3），设点Q的坐标为（a，a﹣3），∵PQ=22∴(a−t)化简得2（a﹣t）2＝8，解得|a﹣t|＝2，∵点Q在直线BC上且位于点P的右上方，∴a＞t，∴a﹣t＝2，即a＝t+2，∴Q（t+2，t﹣1），∴四边形PEQF是边长为2的正方形，如图，当PQ沿BC移动时，点E沿ED移动，点F沿FG移动，上图中点Q和点C重合，∴Q（0，﹣3），∴P（﹣2，﹣5），∴E（﹣2，﹣3），F（0，﹣5），D（0，﹣1），G（2，﹣3），当x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴点G在抛物线上，设直线ED的表达式为y＝kx+b，把E（﹣2，﹣3），D（0，﹣1）代入得−3=−2k+b−1=b解得k=1b=−1∴直线ED的表达式为y＝x﹣1，设直线FG的表达式为y＝kx+b，把F（0，﹣5），G（2，﹣3），代入得−3=2k+b−5=b解得k=1b=−5∴直线FG的表达式为y＝x﹣5，∴点E在直线y＝x﹣1上运动，点F在直线y＝x﹣5上运动，如图，令x2﹣2x﹣3＝x﹣1，解得x=−b±令x2﹣2x﹣3＝x﹣5，解得x＝1或x＝2，∴点J的横坐标为3−172，点K的横坐标为3+172，点∴当四边形PEQF的边与抛物线有两个交点M，N时，−2＜t＜3+①当点P在线段BC上时，0≤t≤3，点P从点B往点C运动的过程中，当0≤t≤时，即点Q在线段BC上时，如图，此时点M的纵坐标为点P的纵坐标，点N的纵坐标为点Q横坐标在抛物线上对应的纵坐标，∴f＝（t﹣3）+[（t+2）2﹣2（t+2）﹣3]＝t2+3t﹣6，点P从点B往点C运动的过程中，当1＜t≤3时，即点Q在线段BC右上方时，如图，此时点M的纵坐标为点P的纵坐标，点N的纵坐标为点Q纵坐标，∴f＝（t﹣3）+（t﹣1）＝2t﹣4，综上所述，当点P在线段BC上时，f=t②当﹣2＜t≤﹣1时，如图，点M的纵坐标为点Q的纵坐标，点N的纵坐标为点Q横坐标在抛物线上对应的纵坐标，∴f＝（t﹣1）+[（t+2）2﹣2（t+2）﹣3]＝t2+3t﹣4，当−1＜t≤3−172时，如图，点M的纵坐标为点Q的纵坐标，点N∴f＝（t﹣1）+（t﹣3）＝2t﹣4，当3−172＜t＜0时，如图，点M的纵坐标为点P横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N∴f＝（t2﹣2t﹣3）+（t﹣3）＝t2﹣t﹣6，当3＜t＜3+172时，如图，点M的纵坐标为点P横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N∴f＝（t2﹣2t﹣3）+（t﹣1）＝t2﹣t﹣4，综上所述，f=t当f=−11当﹣2＜t≤﹣1时，t2+3t−4=−112，化简得t2+3t+32=0，当−1＜t≤3−172时，2t−4=−112当3−172＜t＜0时，t2−t−6=−112，化简得t2−t−12=0，b当0≤t≤1时，t2+3t−6=−112，化简得t2+3t−12=0，b2﹣4ac＝11，解得t=当1＜t≤3时，2t−4=−112，解得t=−3当3＜t＜3+172时，t2−t−4=−112，化简得综上所述，当f=−112时，t的值为−34或【点评】本题为2026湖北省中考二次函数压轴题，综合考查抛物线解析式求解、一次函数、坐标平移、正方形性质以及动点函数与方程求解等知识点，掌握综合知识是解题的关键．2．（2026•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝（x+1）2﹣1（﹣3≤x≤0）的图象记为G1，顶点为点A．将G1向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象G2，点A的对应点为点B，图象G1与G2合起来得到的图象记为G．（1）填表：图象对应的函数解析式点的坐标G1y＝（x+1）2﹣1（﹣3≤x≤0）A（﹣1，﹣1）G2y＝（x﹣2）2﹣4（0＜x≤3）B（2，﹣4）（2）观察图象G，解答下列问题：①直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小；②当﹣2≤x≤n时，﹣1≤y≤0，求n的取值范围．（3）如图②，点P为G1上一点，横坐标为m；点Q为G2上一点，横坐标为m+3；点C为G2上一点，横坐标为3．过点C作x轴的平行线l1，点Q关于直线l1的对称点为点D，过点D作x轴的平行线l2．图象G上P，Q两点之间的部分（含P，Q两点）的最高点和最低点到直线l2的距离分别为h1，h2．①请你判断点P，Q是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；②当h1＝2h2时，直接写出m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）﹣1，﹣1；y＝（x﹣2）2﹣4（0＜x≤3）；2，﹣4；（2）①﹣3≤x≤﹣1或0≤x≤2；②−1≤n≤2−3（3）①是；②m=−1−102或m=−1−10【分析】（1）根据顶点式写出点A的坐标，根据抛物线的平移规律写出G2的解析式，进而根据顶点式写出顶点B的坐标，即可求解；（2）①根据函数图象，即可求解；②令G2：y＝﹣1，求得x的值，结合函数图象即可求解；（3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点P，Q的坐标，根据点的平移，得出P平移后的坐标，即可求解；②根据G1的图象，分三段讨论，当﹣3≤m≤﹣2时，当﹣2≤m≤﹣1时，当﹣1≤m≤0时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得h1，h2，结合h1＝2h2，列出方程，解方程，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝（x+1）2﹣1，∴A（﹣1，﹣1），∵将G1向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象G2，∴G2：y＝（x+1﹣3）2﹣1﹣3＝（x﹣2）2﹣4（0＜x≤3），∴B（2，﹣4），故答案为：﹣1，﹣1；y＝（x﹣2）2﹣4（0＜x≤3）；2，﹣4；（2）①观察图象可得：当﹣3≤x≤﹣1或0≤x≤2时，y随x的增大而减小；②令G2解得：x1=3如图，又∵A（﹣1，﹣1），根据函数图象可得：当﹣1≤y≤0时，−1≤n≤2−3（3）①∵G1：y=(x+1)点P为G1上一点，横坐标为m，则P（m，m2+2m），点P向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（m+3，m2+2m﹣3），点Q为G2上一点，横坐标为m+3，（m+3）2﹣4（m+3）＝m2+2m﹣3，即Q（m+3，m2+2m﹣3），∴点P，Q是平移前后的一组对应点；②∵点C为G2上一点，横坐标为3，∴x＝3时，y＝（x﹣2）2﹣4＝1﹣4＝﹣3，则C（3，﹣3），∵点Q关于直线l1的对称点为点D，Q（m+3，m2+2m﹣3），∴yQ+yD2=−3，即m2∴yD情形一：当﹣3≤m≤﹣2时，点P在x轴及其上方部分，如图，最高点为P（m，m2+2m），（i）当﹣1≤yQ≤0时，最低点为﹣1，∴h1=m2+2m﹣（﹣m2﹣2m﹣3）＝2h2当h1＝2h2时，2m2+4m+3＝2（m2+2m+2），此方程无解，不存在此情形；（ii）如图，当﹣3＜yQ≤﹣1时，最低点为yQ∴h2当h1＝2h2时，2m2+4m+3＝2（2m2+4m），解得：m=−1+102（舍去）或情形二：当﹣2≤m≤﹣1时，此时如图，最高点为点O，则h1最低点为Q，则h2＝yD﹣yQ＝﹣m2﹣2m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣2m2﹣4m，当h1＝2h2时，m2+2m+3＝2（﹣2m2﹣4m），解得：m=−1−10图象G上P，Q两点之间的部分（含P，Q两点）的最高点和最低点到直线l2的距离分别为h1，h2．情形三：当﹣1≤m≤0时，最高点为点O，则h1最低点为B，则h2当h1＝2h2时，m2+2m+3＝2（﹣m2﹣2m+1），解得：m=−1−63（舍去）或综上所述，当h1＝2h2时，m=−1−102或m=−1−10【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．3．（2026•齐齐哈尔）综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，作直线AC，BC，点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的最大值及PE最大时点P的坐标；（3）如图2，若将抛物线y＝ax2+bx+4沿射线AC方向平移5个单位长度，得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，且∠CBQ＝∠ACB，则点Q的坐标为（5，2）或(3−61（4）当PE最大时，作直线OE，若点M为直线BC上的一个动点，连接OM，将线段OM绕点O顺时针旋转90°得到OM′，取OM′的中点N，过点N作NF⊥OE，垂足为F，连接AN，PF，则AN+PF的最小值为52【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）y=−1（2）当m＝2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为（2，4）；（3）（5，2）或(3−（4）52【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设点P(m，−12m2+m+4)，求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，则E（m（3）先求得平移后的新抛物线的解析式，再分为当点Q在x轴上方时和当点Q在x轴下方时两种情况，利用坐标与图形性质求解即可；（4）由（2）知，P（2，4），E（2，2），直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设M（m，﹣m+4），则M'（﹣m+4，﹣m），N(−m+42，−m2)，求得直线OE的解析式为y＝x，设F（t，t），易得NF与x轴所形成的锐角为45°，进而得到N（t+1，t﹣1），则AN=(t+3)2+(t−1)2，设G（﹣3，1），AN+PF＝FG+PF=(t+3)2+(t−1)2+(t−2)2+(t−4)2，问题转化为求直线OE上的点F【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+4，得4a−2b+4=016a+4b+4=0解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）设点P(m，−1当x＝0时，y=−1∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+4，∵B（4，0），∴4k+4＝0，则k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵PD⊥x轴，∴E（m，﹣m+4）．∴．PE=−1∵−1∴当m＝2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为（2，4）；（3）对于y=−12x2+x+4，当x∵A（﹣2，0），5=∴将抛物线y=−12x2+x+4沿射线AC∴新抛物线的解析式为y=−1分两种情况：当点Q在x轴上方时，如图，设直线AC的解析式为y＝px+4，将A（﹣2，0）代入，得0＝﹣2p+4，解得p＝2，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，∵∠CBQ＝∠ACB，∴BQ∥AC，∴设直线BQ的解析式为y＝2x+t，将B（4，0）代入，得0＝8+t，解得t＝﹣8，∴直线BQ的解析式为y＝2x﹣8，联立方程组y=2x−8y=−解得x=5y=2或x=−5∴Q（5，2）；当点Q在x轴下方时，如图，设Q(x，−1∵OB＝OC＝4，OA＝2，∴∠OCB＝∠OBC，又∵∠CBQ＝∠ACB，∴∠ABQ＝∠ACO，∴tan∠ABQ=tan∠ACO=OA∴−(−12x2+2x+9解得x=3−612−1∴Q(3−综上，满足条件的Q的坐标为（5，2）或(3−故答案为：（5，2）或(3−（4）如图，由（2）知，P（2，4），E（2，2），直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设M（m，﹣m+4），则M'（﹣m+4，﹣m），∴N(−m+4∵E（2，2），O（0，0），∴直线OE的解析式为y＝x，则OE与x轴正方向成45°，∵NF⊥OE于点F，∴设F（t，t），且NF与x轴所形成的锐角为45°，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K，如图，则△NKF是等腰直角三角形，∴xN﹣t＝t﹣yN，即−m+42∴m＝2﹣2t，则N（t+1，t﹣1），∴AN=(t+1+2设G（﹣3，1），∴AN＝FG，∴AN+PF＝FG+PF=(t+3)2+(t−1)2+(t−2)设点G关于直线y＝x的对称点为G'，则G'（1，﹣3），则AN+PF的最小值为G'P的长度，∵G'P=(2−1∴AN+PF的最小值为52故答案为：52【点评】本题主要考查了待定系数法求解析式，坐标与图形性质平移的性质，二次函数的性质，两点间距离公式，勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键．4．（2026•深圳）综合与实践【问题背景】随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．【研究条件】条件1：该充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表：x12345y50100150200250条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：ω=14x【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：（1）根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x＝40时，该充电站的收入为多少百元？（2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式．【模型应用】（3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益＝收入﹣成本）取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由．【总结反思】函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力．【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝50x，当x＝40时，该充电站的收入为2000元；（2）x的值为20或100，收入y与x的关系式为y=1（3）m＝60．【分析】（1）观察表格数据可判断y是x的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入x＝40计算即可；（2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式；（3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出m的值．【解答】解：（1）由表格数据可知y与x成正比例关系，设y＝kx，将x＝1，y＝50代入得k＝50，∴y与x的函数关系式为y＝50x，当x＝40时，y＝50×40＝2000（元）；（2）收支平衡满足y＝ω，∴50x=14xx2﹣120x+2000＝0，（x﹣20）（x﹣100）＝0，解得x1＝20，x2＝100，此时收支平衡时收入等于成本，∴收入y与x的新关系式为y=1（3）设净收益为W，∴W＝mx﹣（14x2+20x+500）=−14x∴二次函数开口向下，∴当x=−b2a时由题意得，x=−b∴2（m﹣20）＝80．解得m＝60．【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数性质是关键．5．（2026•黑龙江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）作射线BD交y轴于点D，使∠CBD＝15°，则CD的长为3−3或33【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）3−3或3【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式；（2）根据题意得出OB＝OC＝3，确定∠ABC＝45°，然后分两种情况分析：当点D在点C上方时，当点D在点C下方时，结合解三角形及图形求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴−(−1)解得：b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3；（2）由条件可得B（3，0），∴OB＝3，∴OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，∴当点D在点C上方时，如图所示：∵∠CBD＝15°，∴∠ABD＝15°+45°＝60°，∴OD=OB⋅tan60°=3×3∴CD=OD−OC=33当点D在点C下方时，如图所示：∵∠CBD＝15°，∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，∴OD=OB⋅tan30°=3×3∴CD=OC−OD=3−3综上可得：CD的长为3−3或3故答案为：3−3或3【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．6．（2026•河北）如图，二次函数y＝（x﹣t）（x﹣3t）（其中t＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P．将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D．（1）若t＝1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直线PD上．（2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值．（3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m的最小值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）y＝x﹣3，点C'不在直线PD上；（2）t的值为4−7（3）﹣2．【分析】（1）先求出A（t，0），B（3t，0），若t＝1，则A（1，0），B（3，0），y＝（x﹣1）（x﹣3）＝（x﹣2）2﹣1，则AB＝3﹣1＝2，P（2，﹣1），由旋转可得AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，则D（1，﹣2），再由待定系数法求解直线PD：y＝x﹣3；然后求出点C关于二次函数图象对称轴的对称点C'为（4，3），再代入直线PD表达式验证即可；（2）先求出对称轴为直线x=t+3t（3）同（1）可求D（t，﹣2t），可求P（2t，﹣t2），设直线OP：y＝px，求出p=−t2，由DE∥OP，可设直线DE：y=−t2x+n，求出直线DE：y=−【解答】解：（1）对于y＝（x﹣t）（x﹣3t），当y＝0时，（x﹣t）（x﹣3t）＝0，解得x1＝t，x2＝3t，∴A（t，0），B（3t，0），若t＝1，则A（1，0），B（3，0），y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴AB＝3﹣1＝2，P（2，﹣1），∵将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D，∴AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，∴D（1，﹣2），设直线PD：y＝kx+b，则2k+b=−1k+b=−2解得k=1b=−3∴直线PD：y＝x﹣3；对于y＝（x﹣2）2﹣1，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），由y＝（x﹣2）2﹣1可得对称轴为直线x＝2，∴点C关于二次函数图象对称轴的对称点C'为（4，3），当x＝4时，y＝4﹣3＝1≠3，∴点C'不在直线PD上；（2）由（1）可得A（t，0），B（3t，0），∴对称轴为直线x=t+3t当2t＜3，即t＜1.5时，∵抛物线y＝（x﹣t）（x﹣3t）中，1＞0，则抛物线开口向上，∴当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大，∴当x＝6时，函数取得最大值，∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9，整理得，t2﹣8t+9＝0，解得t=4−7或t=4+当3≤2t≤6，即32≤t≤3时，若2t≤92，即32∴当x＝6时，函数取得最大值9，∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9，整理得，t2﹣8t+9＝0，解得t=4−7或t=4+7，均不在若2t＞92时，即94∴当x＝3时，函数取得最大值，∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0，解得t＝4或t＝0，均不在94当2t＞6，即t＞3时，∴当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，∴当x＝3时，函数取得最大值，∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0解得t＝4或t＝0（舍去）；综上：t的值为4−7（3）∵A（t，0），B（3t，0），∴同（1）可求D（t，﹣2t）对于y＝（x﹣t）（x﹣3t），对称轴为直线x＝2t，∴把x＝2t代入y＝（x﹣t）（x﹣3t）可得，y＝（2t﹣t）（2t﹣3t）＝﹣t2，∴P（2t，﹣t2）设直线OP：y＝px，则﹣t2＝p•2t，解得p=−t∵DE∥OP，∴设直线DE：y=−t2x+n代入D（t则−t解得n=t∴直线DE：y=−t当x＝0时，m=12t∴当t＝2时，m取得最小值为﹣2．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．7．（2026•广西）综合与实践风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过2m/s，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平．【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据．【模型假设】假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．（1）逆风风速1m/s记为﹣1m/s．假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T0（单位：s），成绩变化量T0﹣T记为y，y与w的关系用函数近似描述．（2）描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T0和T的关系解释原因．假设3：用二次函数y＝aw2+bw描述y与w的关系．【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：y＝﹣0.004w2+0.07w．【模型应用】（3）请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y．（4）某运动员在专项训练后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升．【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用．【答案】（1）﹣1；（2）理由如下：∵坐标原点为（0，0），对应风速w＝0表示零风速，此时风速影响下的成绩T就是零风速下的成绩T0，即T＝T0，∴y＝T0﹣T＝0，∴函数图象经过坐标原点；（3）0.124s；（4）该运动员训练后的竞技水平有提升．【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果；（2）根据原点对应的风速w和y的实际意义，结合T0与T的关系推导说明；（3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量；（4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升．【解答】解：（1）∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示，∴逆风风速1m/s记为﹣1m/s，故答案为：﹣1；（2）理由如下：∵坐标原点为（0，0），对应风速w＝0表示零风速，此时风速影响下的成绩T就是零风速下的成绩T0，即T＝T0，∴y＝T0﹣T＝0，∴函数图象经过坐标原点；（3）已知二次函数模型为y＝﹣0.004w2+0.07w，将w＝2代入得：y＝﹣0.004×22+0.07×2＝﹣0.016+0.14＝0.124，即顺风风速2m/s时的成绩变化量y为0.124s；（4）解：由题意得y＝T0﹣T变形得T0＝T+y，第一次比赛：顺风w1＝2m/s，成绩T1＝11.12s，由（3）得y1＝0.124s，则零风速成绩T0'＝11.12+0.124＝11.244（s），第二次比赛：逆风w2＝﹣1m/s，成绩T2＝11.30s，将w2＝﹣1代入函数得：y2＝﹣0.004×（﹣1）2+0.07×（﹣1）＝﹣0.004﹣0.07＝﹣0.074，则零风速成绩T0''＝11.30+（﹣0.074）＝11.226（s），∵11.226＜11.244，100米跑成绩越小说明竞技水平越高，∴该运动员训练后的竞技水平有提升．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．8．（2026•新疆）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．问题．圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外．过程方法说明利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．操作说明以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．数据测量原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高．建立模型计算，交流展示…请根据上述信息，完成下列问题：（1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y＝ax2+bx+0.8（a≠0），求a，b的值；（2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力．【答案】（1）a＝﹣0.1，b＝0.7；（2）18米．【分析】（1）抛物线经过（8，0），对称轴为直线x＝3.5，再由待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令y＝0，求出x，即可求解半径．【解答】解：（1）由题意得，64a+8b+0.8=0−解得a=−0.1b=0.7∴a＝﹣0.1，b＝0.7；（2）由（1）可得原抛物线的表达式为y＝﹣0.1x2+0.7x+0.8，配方可得y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+2.025，由题意可得：新抛物线的表达式为y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+2.025+1，即y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+3.025，当y＝0时，﹣0.1（x﹣3.5）2+3.025＝0，解得x1＝9，x2＝﹣2（舍去），∴9×2＝18（米）∴改造后圆形喷水池的直径至少18米．【点评】本题二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．9．（2026•宜宾）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，连接AD．试判定△ABD的形状，并说明理由；（3）如图2，点E、F是直线AC上两动点，且∠EBF＝∠ABC．求△EBF面积的最小值．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）△ABD是等腰直角三角形，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣x﹣2对称轴为直线x=−−1设直线BC：y＝px+q，代入点B（2，0）、C（0，﹣2），∴2p+q=0q=−2解得p=1q=−2∴直线BC：y＝x﹣2，将x=12代入y＝x﹣2，得∴D(1∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，AD=(12∴AD＝BD，∵AD2+BD∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴△ADB为等腰直角三角形；（3）362【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线BC的表达式，然后求出点D坐标，再由勾股定理逆定理求解即可；（3）过点B作BK⊥AC于点K，解Rt△AOC，求出sin∠OAC=255，再解Rt△ABK中，求出BK=AB×sin∠OAC=655，可得△BOC为等腰直角三角形，则∠ABC＝45°，作△EBF的外接圆，记作⊙T，连接TE，TF，TB，过点T作TR⊥AC于点R，连接BR，则∠ETF＝2∠EBF＝90°，可得△TEF，△TRE，△TRF为等腰直角三角形，则设RE＝RF＝RT＝x，那么TB=TE=2x，由于TB+TR≥BR≥BK，则x+2x≥655，求出x≥610−655，故当点B，T，【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，∴y＝a（x+1）（x﹣2），∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣2），∴﹣2a＝﹣2，解得a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣2），即y＝x2﹣x﹣2；（2）△ABD是等腰直角三角形，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣x﹣2对称轴为直线x=−−1设直线BC：y＝px+q，代入点B（2，0）、C（0，﹣2），∴2p+q=0q=−2解得p=1q=−2∴直线BC：y＝x﹣2，将x=12代入y＝x﹣2，得∴D(1∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，AD=(12∴AD＝BD，∵AD2+BD∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴△ADB为等腰直角三角形；（3）如图，过点B作BK⊥AC于点K，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），∴OA＝1，OC＝2，∴AC=O∴在Rt△AOC中，sin∠OAC=OC∵BK⊥AC，∴在Rt△ABK中，BK=AB×sin∠OAC=3×2∵点B（2，0）、C（0，﹣2），∴OB＝OC＝2，∵∠BOC＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBF＝∠ABC＝45°，作△EBF的外接圆，记作⊙T，连接TE，TF，TB，过点T作TR⊥AC于点R，连接BR，则∠ETF＝2∠EBF＝90°，∵TE＝TF，∴△TEF为等腰直角三角形，∠TEF＝∠TFE＝45°，∵TR⊥AC，∴△TRE，△TRF均是等腰直角三角形，∴RE＝RF＝RT，设RE＝RF＝RT＝x，则TE=T∴TB=TE=∵TB+TR≥BR≥BK，∴x+2解得x≥6当点B，T，R三点共线，且点K，R重合时，x取得最小值为610∵EF＝ER+FR＝2x，∴此时EF取得最小值为610而高BK=6∴△EBF的面积最小值为12∴△EBF的面积为362【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，三角形外接圆的相关知识等，，掌握其相关知识点是解题的关键．10．（2026•河南）定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线y＝x2上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”．（1）点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12．求b，c的值．（2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”．①若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标．②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当−52＜m＜0时，若图象W上的最高点和最低点到x【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）b＝2，c＝﹣3；（2）①点M的横坐标为−52，点N的横坐标为②m=−4+3或m=−4+【分析】（1）根据题意得出B（3，12），然后利用待定系数法求解即可；（2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为t+3，根据题意建立方程求解即可；②根据题意得出对称轴为直线x=−22×1=−1，顶点坐标为（﹣1，﹣4），抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），点N的横坐标为：m+3，12＜m+3＜3，然后分情况分析：当−52＜m＜−1，12【解答】解：（1）∵点B是点A的“黄金搭档点”，A（0，﹣3），点B的纵坐标为12，∴B（3，12），∵点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上，∴c=−39+3b+c=12解得：c=−3b=2（2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为t+3，由（1）得y＝x2+2x﹣3，∵点M，N的纵坐标相等，∴t2+2t﹣3＝（t+3）2+2（t+3）﹣3，解得：t=−5∴t+3=−5∴点M的横坐标为−52，点N的横坐标为②由（1）得y＝x2+2x﹣3，对称轴为直线x=−2当x＝﹣1时，y＝﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，∴（x+3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），点N是点M的“黄金搭档点”，点M的横坐标为m，当−5∴点N的横坐标为：m+3，12当−52＜m＜−1时，1∴当−52＜m＜−1点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4），∵﹣5﹣（﹣1）＜m﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣1），即−32＜m+1＜0，1∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N，∵图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，∴点N到x轴的距离为5﹣4＝1，此时点N的纵坐标为﹣1，∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝﹣1，解得：m1=−4+3当−52＜m＜−1点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4），∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N，∵图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，∴点N到x轴的距离为5﹣4＝1，此时点N的纵坐标为1，∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝1，解得：m1=−4+5当﹣1＜m＜0时，2＜m+3＜3，点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N，∴yM=m∴|yM|+yN＝5，即|m2+2m﹣3|+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5，∴﹣m2﹣2m+3+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5，整理得：6m+10＝0，解得：m=−5综上可得：m=−4+3或m=−4+【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质及图象，解一元二次方程等，掌握其相关知识点是解题的关键．11．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D是直线AC下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，点N为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M，直线y＝kx+k﹣1（k为常数）交抛物线于E、F两点（点E、F分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF交x轴于点P，直线NE交x轴于点Q．试探究MP•MQ是否为定值？若为定值，求出MP•MQ的值；若不是定值，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）D（−32，−154），S四边形（3）MP•MQ是定值，定值为：163【分析】（1）将三点坐标代入抛物线的解析式求得a，b，c，从而得出结果；∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）作DE⊥AB于E，交AC于F，设D（t，t2+2t﹣3），可推出F（t，﹣t﹣3），从而表示出DF＝﹣x2﹣3t，进而表示出S△ACD的解析式，从而得出△ACD面积最大值，进一步得出结果；（3）设E（m，m2+2m﹣3），F（n，n2+2n﹣3），从而求得直线NE的解析式，进而求得点P坐标，从而表示出MP，同样表示出NP，由y=x2+2x−3y=kx+k−1得，x2+（2﹣k）x﹣k﹣2）＝0，从而得出m+n＝k﹣2，【解答】解：（1）由题意得，a⋅(−3)∴a=1b=2∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）如图，作DE⊥AB于E，交AC于F，设D（t，t2+2t﹣3），∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OA＝OC，∵∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠AFE＝90°﹣∠OAC＝45°，∴EF＝AE＝OA﹣OE＝3+t，∴F（t，﹣t﹣3），∴DF＝（﹣t﹣3）﹣（x2+2t﹣3）＝﹣x2﹣3t，∴S△ACD=12DF•OA∴当t=−32时，S△ACD最大当t=−32时，y＝（∴D（−3∵S△ABC=12AB•OC∴S四边形ABCD最大=27（3）MP•NQ是定值，理由如下：设E（m，m2+2m﹣3），F（n，n2+2n﹣3）位于对称轴两侧，由y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4得：N（﹣1，﹣4），设直线EN的解析式为：y＝px+q，∴−p+q=0pm+q=∴p=m+1q=m−3∴y＝（m+1）x+m﹣3，由（m+1）x+m﹣3＝0得，x=3−m∴P（3−mm+1同理可得：Q（3−nn+1∵M（﹣1，0），∴MP＝|﹣1−3−mm+1|＝|4m+1|，MQ∴MP•NQ＝|16(m+1)(n+1)=|由y=xx2+（2﹣k）x﹣k﹣2）＝0，∴m+n＝k﹣2，mn＝﹣k﹣2，∴MP•NQ＝|16−k−2+k−2+1|=【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是较强计算能力．12．（2026•山西）综合与实践问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28．设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）．已知点A（0，160），B（18，646），C（28，496）均在描述y1与x关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点．建立模型：（1）求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式；应用分析：（2）已知低肥力麦田中小麦每亩的产量y2与x的函数关系式为y2＝﹣x2+26x+140．①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同．当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差．②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块，当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克．经判断n小于m，请直接写出m与n的差．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）y1（2）①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克．②15．【分析】（1）易设y1=a(x−18)（2）①易得当x＝13时，y2取得最大值．此时，y2的最大值为309．即可得解；②分别求出y1和y2最大值，可得m最大值，利用n＝y1+y2可得n最大值，即可得解．【解答】解：（1）由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点，设y1因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上，所以，a（28﹣18）2+646＝496，解得a=−3所以，y1与x的函数关系式为y1（2）①已知y2=−x因为a＝﹣1＜0，0≤x≤28，所以，当x＝13时，y2取得最大值．此时，y2的最大值为309．已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时，y1此时，y1﹣y2＝608.5﹣309＝299.5，答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克．②y1=−32（x﹣18）2+646，∵0≤x≤28，∴当x＝18时，y1最大值为646，当x＝13时，y2最大值为309，∴m最大值＝646+309＝955；当两块麦田每亩施氮量相同时，n＝y1+y2=−32x2+54x+160﹣x2+26=−52x2+80=−52（x﹣16）当x＝16时，n＝940，∴m﹣n＝15．【点评】本题主要考查了二次函数实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．13．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”．（1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式；（2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求CPCQ的值，并判断点Q【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；推理能力．【答案】（1）y＝4x；（2）CPCQ=1．【分析】（1）易得对称轴，可得点A、B、C坐标，即可得解；（2）易得P（1，﹣4），Q（7，8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则A（−b2a，0），B（−b2a+1，0），C（−b2a+1，2a），根据直线AC解析式为y＝2x﹣6，可得a＝1，b＝﹣6，将点P代入可得【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c，∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2，∴A（0，0），∴B（1，0），∵2a＝4，∴C（1，4），设直线AC的表达式为y＝kx+b，将A（0，0），C（1，4）代入得，b=0k+b=4解得k=4b=0∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x；（2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8，∴P（1，﹣4），Q（7，8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则A（−b2a，0），B（−b2a+1，0），C由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6，则−b解得a=1b=−6或a=0∵点P在抛物线上，∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4，解得c＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1，当x＝7时，y＝8，∴Q（7，8）在抛物线上，∵a＝1，b＝﹣6，∴C（4，2），∴CP=(4−1)2+(2+4)2=3∴CPCQ【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．14．（2026•福建）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c．（1）若b＝1，c＝2，求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线上存在一点P（x0，y0）在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点；（3）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，E是y轴上不与点C重合的点．若坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC＝ME，试探究CD和DE的数量关系，并证明．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数的应用．【答案】（1）（12，9（2）∵抛物线上的点P（x0，y0）在x轴上方，得到y0=−x∴c=x∴Δ＝b2+4c=b即方程﹣x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴抛物线与x轴有两个交点；（3）CD和DE的数量关系是CD＝DE，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），∴抛物线的对称轴是直线x=b设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2，则x1，x2是方程﹣x2+bx+2＝0的两根，解得x1=b+又坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC，由对称性可设M（b2，m由两点间的距离公式可得，MA2=(bMC2=(b∴(b解得m=1∴点M的坐标为（b2∵直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，所以b≠0，∴y=bx+2y=−bx−1，解得x=−∴点D的坐标为（−3∵M（b2∴点M，D所在的直线与y轴垂直，∵点C，E都在y轴上，∴MD⊥CE，又∵MC＝ME，∴MD垂直平分CE，∴CD＝DE．【分析】（1）利用配方法写成顶点式，确定顶点坐标；（2）利用点P是x轴上方抛物线上的点知道点的纵坐标大于0，判断出Δ＞0，得出抛物线与x轴有两个交点；（3）求出两条直线的交点，利用两点间的距离公式，求出点M的坐标，根据坐标特点得出CD和DE的数量关系．【解答】解：（1）因为b＝1，c＝2，所以y=−x所以抛物线的顶点坐标为(1（2）证明：∵抛物线上的点P（x0，y0）在x轴上方，得到y0∴c=x∴Δ==(2x即方程﹣x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以抛物线与x轴有两个交点；（3）CD和DE的数量关系是CD＝DE，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），∴抛物线的对称轴是直线x=b设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2，则x1，x2是方程﹣x2+bx+2＝0的两根，解得x1=b+又坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC，由对称性可设M(b由两点间的距离公式可得，MAMC∴(b2−∴点M的坐标为(b∵直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，所以b≠0．∴y=bx+2y=−bx−1解得x=−∴点D的坐标为(−3∵M(b2，∴点M，D所在的直线与y轴垂直，∵点C，E都在y轴上，∴MD⊥CE，又∵MC＝ME，∴MD垂直平分CE，∴CD＝DE．【点评】本题考查了代数推理、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判定、线段垂直平分线的判定与性质等基础知识，考查了函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．15．（2026•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，c＞0）的顶点为P．（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3时，求点P的坐标；（Ⅱ）点A（﹣c，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点．①当a=−12时，若∠PCA＝90°，求②若点B（m，0），∠ACB＝75°，D为线段BC的中点，点M在线段AC上（不与点A，C重合），点N在线段AB上，且CM=2BN，当MN+ND取得最小值为5时，求c【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【答案】（Ⅰ）（﹣1，4）；（Ⅱ）①c＝6．②c=15【分析】（Ⅰ）易得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，即可得解；（Ⅱ）①可得P(b，b22+c)，再根据∵点A（﹣c，0），点C（0，c），∠ACO＝45°，过点P作PE⊥y轴于点E，则PE＝CE．−b=b②由∠ACB＝75°，得∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝30°，则m=33c．过点M作MF⊥y轴于点F，连接BF．易得四边形BFMN为平行四边形．则BF＝MN，构造△CFB≌△BNG（sAs），可得MN＝BF＝NG，则MN+ND＝GN+ND【解答】解：（Ⅰ）∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴该抛物线顶点P的坐标为（﹣1，4）．（Ⅱ）①由a=−12，得∴该抛物线顶点P的坐标为(b，b∵点A（﹣c，0），点C（0，c），∴OA＝OC，∴∠ACO＝45°，根据题意，点P在第二象限，过点P作PE⊥y轴于点E．则∠PCE＝45°，∴PE＝CE．∴−b=b解得b1＝﹣2，b2＝0（舍）．∵点A（﹣c，0）在抛物线y=−1∴0=−1又∵c＞0，∴−1∴c＝2﹣2b，∴c＝6．②由∠ACB＝75°，得∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝30°，m＞0．在Rt△OBC中，OB＝m，OC＝c，tan∠OCB=OB∴m=3过点M作MF⊥y轴于点F，连接BF．可得FM∥BN，CM=2又∵CM=2∴MF＝CF＝BN．∴四边形BFMN为平行四边形．∴BF＝MN．在△OBC的外部，作∠OBG＝∠OCB，且BG＝BC，连接GN，∴△CFB≌△BNG（sAs）．∴BF＝GN．∴MN＝GN．∴MN+ND＝GN+ND≥GD．当满足条件的点N落在线段GD上时，MN+ND取得最小值5，即GD＝5．∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OBC+∠OBG＝90°，即∠DBG＝90°，∵D为线段BC的中点，∴BD=1在Rt△DBG中，由GD2＝BD2+BG2，得GD2=5在Rt△OBC中，由BC2＝OB2+OC2，得m2+c2＝20，再将m=33c代入得c解得c1=15∴c=15【点评】本题主要考查了二次函数、等腰直角三角形、平行四边形、全等三角形、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．16．（2026•攀枝花）已知二次函数y＝3x2﹣4ax+4，其中a为常数．（1）若a=3（2）当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）（1，1）；（2）6≤a≤12．【分析】（1）将a的值代入，然后化为顶点式，即可得到此函数图象的顶点坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，再根据题意和二次函数的性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵a=32，二次函数y＝3x2﹣4∴y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，∴此函数图象的顶点坐标是（1，1）；（2）∵二次函数y＝3x2﹣4ax+4，∴该函数的对称轴为直线x=−−4a∵当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，∴4≤2a解得6≤a≤12．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键