2026年中考数学真题知识点专题 锐角三角函数(一)

年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（一）一．选择题（共3小题）1．（2026•绥化）如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝603m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中3≈A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m2．（2026•福建）古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长OA＝6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A处，OA与地面BD垂直，踏板离地面的高度AB＝1尺．当踏板从A处绕点O运动到C处时，踏板离地面的高度CD＝4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．（2026•湖南）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E．已知AC＝a，EF＝b，∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（）A．a•tanα B．（a﹣b）sinα C．（a﹣b）cosα D．（a﹣b）tanα二．填空题（共4小题）4．（2026•深圳）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53°．身高为1.6m的小明站在水平地面上，此时他的影长为．（参考数据：tan53°≈43，cos53°≈35．（2026•广东）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，∠1＝∠2，若tan∠AOD=34，OB＝8，则BC＝6．（2026•上海）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则tanB＝．7．（2026•乐山）sin30°＝．三．解答题（共10小题）8．（2026•南京）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，已知两次与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离．（sin53°≈45，sin62°9．（2026•甘孜州）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚A处测得山腰B处的仰角为53°，A，B间的距离为400米，在山腰B处测得山顶C处的仰角为45°，B，C间的距离为600米．求山高CD．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈310．（2026•湖北）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡．如图，坡角为∠A的斜坡AB长10m，铅直高度BC长4.7m，∠C＝90°．该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由．（参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57）11．（2026•广元）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量：测量任务任务一：测量“初始速度”任务二：测量“冲刺速度”示意图已知条件凤舟AB长度约为14米，训练过程中凤舟AB始终与河岸MN平行．实施过程凤舟出发前，河岸观测点P与舟头B的连线PB⊥MN，同时测得P与舟尾A的连线PA与河岸MN的夹角∠APM＝65°，当凤舟出发20秒时，舟头到达点C并测得PC与河岸MN的夹角∠CPN＝29°．当舟头B行进到与观测点G的连线BG⊥MN时开始计时，舟头B到达终点D时，用时10秒，同时测得GD与MN夹角∠DGN＝40°，在距离G点20米的H点处测得DH与MN的夹角∠DHN＝63°．问题解决（1）求凤舟与河岸的距离BP；（结果保留整数）（2）求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数）求凤舟最后10秒的平均速度．参考数据tan29°≈0.55，tan65°≈2.14tan40°≈0.84，tan63°≈1.96请从以上两个任务中任选一个，解决对应的问题．12．（2026•巴中）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡NC的长为12m，坡比为1：3．（计算结果保留整数）（参考数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61tan，52.4°≈1.30）（1）求无人机距河面的高度PM．（2）求两艘皮划艇之间的距离AB．13．（2026•河北）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告．主题求生活中的圆弧长研究内容本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求PQ的长l．工具软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等研究方案与实践成果方案一方案二方案三用软尺直接测量PQ的长．测量数据：第一次6.36m第二次6.32m用测角仪测角，利用弧长公式计算PQ的长．测量数据：∠POQ≈36°查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长l=PQ+M测量数据：PQ≈6.20m，MN≈0.50m取两次测量结果的平均数，则l＝6.34m．利用弧长公式…根据“会圆术”，…反思应用①方案一可通过的方法减少误差；②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题．如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长lAB和圆心角∠AEB计算过程如下：…请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法．（写出一种方法即可）（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算PQ的长l．（3）求图2中弧长lAB和圆心角∠AEB．（π14．（2026•内江）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为60°．雕像底端B与观测点D、C在同一条水平直线上，且AB⊥BC．求孔子雕像的高度AB．（结果保留根号）15．（2026•新疆）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西18.4°的方向上，港口C位于港口A北偏东53°的方向上，AB＝10010海里，AC＝500海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin18.4°≈1010，cos18.4°≈316．（2026•宜宾）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米（如图2），组长站在最中间柱子EC正下方，背对车站向正前方走了20米到达F点，转身测得D、E两点的仰角分别是50.3°和58°（不计测角仪的高度）（如图3）．（1）求DE的长；（2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．（结果保留整数．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin50.3°≈0.77，cos50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20．）17．（2026•吉林）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A点，到河岸的距离AB为10m，刚好正对河岸的一棵大树P，此时点A，B，P在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m，到达C点，此时测得∠ACP＝35°．求这条河的宽度PB（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

2026年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（一）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）题号123答案ACD一．选择题（共3小题）1．（2026•绥化）如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝603m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中3≈A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝30°，AC＝603m，∴AB＝2AC＝1203≈207.8（m∴探测器到目标B的距离AB约为207.8m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．2．（2026•福建）古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长OA＝6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A处，OA与地面BD垂直，踏板离地面的高度AB＝1尺．当踏板从A处绕点O运动到C处时，踏板离地面的高度CD＝4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】C【分析】先作CE⊥OA，然后计算出OA的长，再根据锐角三角函数即可计算出∠AOC的值．【解答】解：作CE⊥OA于点E，如图所示，∵OA＝6尺，AB＝1尺，∴OB＝7尺，∵CD＝4尺，BE＝CD，∴BE＝4尺，∴OE＝OB﹣BE＝7﹣4＝3（尺），∵OC＝OA＝6尺，CE⊥OA，∴∠OEC＝90°，∴cos∠AOC=OE∴∠AOC＝60°，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．3．（2026•湖南）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E．已知AC＝a，EF＝b，∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（）A．a•tanα B．（a﹣b）sinα C．（a﹣b）cosα D．（a﹣b）tanα【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】D【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明四边形AEFG是矩形，得到AE＝FG，AG＝EF＝b，则CG＝a﹣b，根据tanα=GFCG，得到FG＝CGtanα＝（a﹣b）tanα，即可求出【解答】解：过点F作FG⊥AC于点G，∵AC⊥AB，EF⊥AB，FG⊥AC，∴四边形AEFG是矩形，∴AE＝FG，AG＝EF＝b，∵AC＝a，∴CG＝AC﹣AG＝a﹣b，在Rt△CGF中，∠GCF＝∠ACF＝a，∴tanα=GF∴FG＝CGtanα＝（a﹣b）tanα，∴AE＝FG＝（a﹣b）tanα，故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．二．填空题（共4小题）4．（2026•深圳）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53°．身高为1.6m的小明站在水平地面上，此时他的影长为1.2m．（参考数据：tan53°≈43，cos53°≈3【考点】解直角三角形的应用；平行投影．【专题】解直角三角形及其应用；投影与视图；应用意识．【答案】1.2m．【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长．【解答】解：设此时小明的影长为xm，由题意可得，在直角三角形，太阳光与水平地面的夹角为53°，该角的对边为小明身高1.6m，邻边为影长xm，∴tan53°=1.6将tan53°≈43代入得：解得：x＝1.2，故答案为：1.2m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行投影，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．5．（2026•广东）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，∠1＝∠2，若tan∠AOD=34，OB＝8，则BC＝【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】6．【分析】根据余角的性质及已知条件∠1＝∠2推导出∠AOD＝∠BOC，再根据锐角三角函数的定义在Rt△OBC中计算BC的长即可．【解答】解：由题意可知，法线垂直于平面镜AB，∴∠1+∠AOD＝90°，∠2+∠BOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠AOD＝∠BOC，∵tan∠AOD=3∴tan∠BOC=3在Rt△OBC中，∠OBC＝90°，OB＝8，∴BCOB∴BC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．6．（2026•上海）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则tanB＝34【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】34【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据正切的定义计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，由勾股定理得BC=A∴tanB=AC故答案为：34【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的概念是解题的关键．7．（2026•乐山）sin30°＝12【考点】特殊角的三角函数值．【专题】解直角三角形及其应用；抽象能力．【答案】12【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．【解答】解：sin30°=1故答案为：12【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟练掌握特殊角三角函数值进行求解是解决本题的关键．三．解答题（共10小题）8．（2026•南京）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，已知两次与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离．（sin53°≈45，sin62°【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识；生活情境．【答案】竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺．【分析】如图，过B作过D作BP∥AE，过D作DH⊥BP于H交AE于M，过E作EG⊥BP于G，交AE于N，得到四边形MHGN是矩形，根据矩形的性质得到MH＝NG，∠EBG＝∠CEN＝53°，∠DAM＝∠DBH＝62°，设BD＝BC＝x尺，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，过B作过D作BP∥AE，过D作DH⊥BP于H交AE于M，过E作EG⊥BP于G，交AE于N，则四边形MHGN是矩形，∴MH＝NG，∠EBG＝∠CEN＝53°，∠DAM＝∠DBH＝62°，设BD＝BC＝x尺，在Rt△DAM中，DM＝AD•sin∠DAM＝4×sin62°≈4×8在Rt△DBH中，DH＝BD•sin∠DBH＝x×sin62°≈89在Rt△CEN中，CN＝CE•sin∠CEN＝3×sin53°≈3×4在Rt△DBH中，CG＝BC•sin∠CBG＝x×sin53°≈45∴89x−329∴x＝13，∴89x−答：竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2026•甘孜州）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚A处测得山腰B处的仰角为53°，A，B间的距离为400米，在山腰B处测得山顶C处的仰角为45°，B，C间的距离为600米．求山高CD．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈3【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】山高CD约为744米．【分析】根据题意可得：BF＝DE，然后分别在Rt△ABF和在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和CE的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：BF＝DE，在Rt△ABF中，AB＝400米，∠BAF＝53°，∴DE＝BF＝AB•sin53°≈400×4在Rt△BCE中，BC＝600米，∠CBE＝45°，∴CE＝CB•sin45°＝600×22=∴CD＝CE+DE＝320+3002≈∴山高CD约为744米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．10．（2026•湖北）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡．如图，坡角为∠A的斜坡AB长10m，铅直高度BC长4.7m，∠C＝90°．该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由．（参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】该机器人一定能爬上斜坡AB，理由：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=BC∵sin28°≈0.47，∴∠A≈28°．∵28°＜35°，∴该机器人一定能爬上斜坡AB．【分析】sinA=BCAB=4.710【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=BC∵sin28°≈0.47，∴∠A≈28°．∵28°＜35°，∴斜坡AB长10m，铅直高度BC长4.7m，则该机器人一定能爬上斜坡AB．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．11．（2026•广元）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量：测量任务任务一：测量“初始速度”任务二：测量“冲刺速度”示意图已知条件凤舟AB长度约为14米，训练过程中凤舟AB始终与河岸MN平行．实施过程凤舟出发前，河岸观测点P与舟头B的连线PB⊥MN，同时测得P与舟尾A的连线PA与河岸MN的夹角∠APM＝65°，当凤舟出发20秒时，舟头到达点C并测得PC与河岸MN的夹角∠CPN＝29°．当舟头B行进到与观测点G的连线BG⊥MN时开始计时，舟头B到达终点D时，用时10秒，同时测得GD与MN夹角∠DGN＝40°，在距离G点20米的H点处测得DH与MN的夹角∠DHN＝63°．问题解决（1）求凤舟与河岸的距离BP；（结果保留整数）（2）求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数）求凤舟最后10秒的平均速度．参考数据tan29°≈0.55，tan65°≈2.14tan40°≈0.84，tan63°≈1.96请从以上两个任务中任选一个，解决对应的问题．【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）30米；（2）2.72米/秒；（3）3.5米/秒．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠PAB＝∠APM＝65°，PB⊥AB，进而可知∠ABP＝90°，根据三角函数计算即可；（2）同（1）计算即可；（3）设凤舟10秒内航行的路程BD＝x米，过D作DE⊥MN交MN于点E，根据三角函数求出DE的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度．【解答】解：（1）由题意知：AB∥MN，PB⊥MN，∴∠PAB＝∠APM＝65°，PB⊥AB，因此△ABP是直角三角形，∠ABP＝90°，∴tan∠PAB=PB即PB＝AB•tan65°≈14×2.14＝29.96≈30米；（2）凤舟20秒内航行的路程等于BC的长度，由题意知：AB∥MN，PB⊥MN，∴∠C＝∠CPN＝29°，PB⊥BC，∴△PBC是直角三角形，∠PBC＝90°，因此：tanC=PB∴BC=PB∴v=BC（3）设凤舟10秒内航行的路程BD＝x米，过D作DE⊥MN交MN于点E，可得四边形BDEG是矩形，∴GE＝BD＝x米，根据三角函数可知DE＝BD•tan40°＝xtan40°米，同时DE＝（x﹣GH）•tan63°＝（x﹣20）tan63°米，∵tan40°≈0.84，tan63°≈1.96，∴0.84x＝1.96（x﹣20），解得x＝35，因此平均速度v=35【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．12．（2026•巴中）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡NC的长为12m，坡比为1：3．（计算结果保留整数）（参考数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61tan，52.4°≈1.30）（1）求无人机距河面的高度PM．（2）求两艘皮划艇之间的距离AB．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（1）无人机距河面的高度PM为21米；（2）两艘皮划艇之间的距离AB为7米．【分析】（1）利用坡比为1：3求出∠NCM＝30°，利用NC＝12m解答即可；（2）在Rt△PBM和Rt△PAM中，利用正切列式求出BM和AM即可解答．【解答】解：（1）∵坡比为1：3，∴tan∠NCM=MN∴∠NCM＝30°，∴在Rt△MCN中，MN=12NC＝6（∵PN＝15m，∴PM＝PN+MN＝15+6＝21（m），答：无人机距河面的高度PM为21米；（2）∵C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°，∴∠PBM＝52.4°，∠PAM＝42.3°，在Rt△PBM中，tan∠PBM=PM∴BM=PMtan∠PBM≈在Rt△PAM中，tan∠PAM=PMAM=PMtan∠PAM≈∴AB＝AM﹣BM＝23﹣16＝7（m），答：两艘皮划艇之间的距离AB为7米．【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．（2026•河北）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告．主题求生活中的圆弧长研究内容本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求PQ的长l．工具软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等研究方案与实践成果方案一方案二方案三用软尺直接测量PQ的长．测量数据：第一次6.36m第二次6.32m用测角仪测角，利用弧长公式计算PQ的长．测量数据：∠POQ≈36°查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长l=PQ+M测量数据：PQ≈6.20m，MN≈0.50m取两次测量结果的平均数，则l＝6.34m．利用弧长公式…根据“会圆术”，…反思应用①方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差；②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题．如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长lAB和圆心角∠AEB计算过程如下：…请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法．（写出一种方法即可）（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算PQ的长l．（3）求图2中弧长lAB和圆心角∠AEB．（π【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；二次函数的应用；垂径定理的应用；圆周角定理；弧长的计算．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）多次测量取平均值；（2）方案二弧长为2πm；方案三弧长为6.225m；（3）lAB=6.2m，∠【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差；（2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可；（3）先由垂径定理以及勾股定理求解AE，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数即可．【解答】解：（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差，故答案为：多次测量取平均值；（2）方案二：PQ的长l=36×π×10方案三：∵l=PQ+MN2OP，PQ≈6.20m，MN≈0.50m，∴l=6.20+0.5（3）∵CD⊥AB，AB＝6m，∴AD=BD=1在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE2＝AD2+DE2，CD＝1m，∴AE2＝32+（AE﹣1）2，解得AE＝5（m），由“会圆术”可得，lAB设∠AEB的度数为n，则由lAB=nπ×AE解得n＝72°．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．14．（2026•内江）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为60°．雕像底端B与观测点D、C在同一条水平直线上，且AB⊥BC．求孔子雕像的高度AB．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】孔子雕像的高度AB为（18+63）m．【分析】设BD＝xm，则BC＝（x+12）m，然后分别在Rt△ABD和Rt△ABC中，分别利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：设BD＝xm，∵CD＝12m，∴BC＝BD+CD＝（x+12）m，在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，∴AB＝BD•tan60°=3x（m在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC•tan45°＝（x+12）m，∴3x＝x+12，解得：x＝63+∴AB=3x＝（18+63）m∴孔子雕像的高度AB为（18+63）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．15．（2026•新疆）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西18.4°的方向上，港口C位于港口A北偏东53°的方向上，AB＝10010海里，AC＝500海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin18.4°≈1010，cos18.4°≈3【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】65【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出BD，ED，EF，CF的长度，最后根据勾股定理即可求出BC长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度．【解答】解：过点B的正北方向作BF⊥CF于点F，交AC于点E，过点A作AD⊥BF于点D，设A的正北方向上一点G，如图所示，∴DF∥AG，∠ADB＝∠ADE＝∠CFE＝90°，∴∠GAE＝∠AED＝∠CEF＝53°．∵cos18.4°≈31010，AB=10010海里，∴在Rt△ADB中，sin18.4°≈1010=∴BD＝300海里，AD＝100海里，∵sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，∴在Rt△ADE中，sin53°≈0.80=ADAE=cos53°≈0.60=EDAE=∵AC＝500海里，∴EC＝AC﹣AE＝500﹣125＝375海里，∴在Rt△CFE中，sin53°≈0.80=CFCE=cos53°≈0.60=EFCE=∴FB＝BD+DE+EF＝300+75+225＝600海里，∴在Rt△CFB中，BC=C∵AC＝500海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同，∴t乙∵BC=3005∴V乙∴乙船的航行速度大约是65海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形．16．（2026•宜宾）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米（如图2），组长站在最中间柱子EC正下方，背对车站向正前方走了20米到达F点，转身测得D、E两点的仰角分别是50.3°和58°（不计测角仪的高度）（如图3）．（1）求DE的长；（2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．（结果保留整数．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin50.3°≈0.77，cos50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20．）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；勾股定理；垂径定理．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（1）DE的长为8米；（2）正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米．【分析】（1）分别解Rt△DFC，Rt△EFC，求出DC，EC，进而根据DE＝EC﹣DC解答即可求解；（2）设正大门穹顶圆弧所在圆的圆心为O，连接NO，CO，根据题意可得DN＝48，设⊙O的半径为r米，则OD＝OE﹣DE＝（r﹣8）米，在Rt△ODN中根据勾股定理建立方程即可求解．【解答】解：（1）在Rt△DFC中，tan∠DFC＝tan50.3°=DC∴DC≈20×1.20＝24（米），在Rt△EFC中，tan∠EFC＝tan58°=EC∴EC≈20×1.60＝32（米），∴DE＝EC﹣DC＝32﹣24＝8（米），答：DE的长为8米；（2）如图，设MEN的圆心为O，连接NO，CO，∵圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米，∴MN＝（25﹣1）×4＝96米，∵点D是MN的中点，∴DN=12MN=48米，OD设⊙O的半径为r米，则OD＝OE﹣DE＝（r﹣8）米，在Rt△ODN中，OD2+DN2＝ON2，∴（r﹣8）2+482＝r2，解得r＝148，答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．（2026•吉林）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A点，到河岸的距离AB为10m，刚好正对河岸的一棵大树P，此时点A，B，P在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m，到达C点，此时测得∠ACP＝35°．求这条河的宽度PB（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】55m．【分析】在Rt△PAC中先利用直角三角形的边角间关系求出PA，再利用线段的和差关系得结论．【解答】解：在Rt△PAC中，∵tan∠ACP=PA∴PA＝tan∠ACP•AC＝tan35°×93≈0.7×93＝65.1（m）．∴PB＝PA﹣BA＝65.1﹣10＝55.1≈55（m）．答：这条河的宽度PB约为55m．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、线段的和差关系等知识点是解决本题的关键．

考点卡片1．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．5．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．6．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件