2026年中考数学真题知识点专题 圆(四)

年中考数学真题知识点分类汇编之圆（四）一．解答题（共18小题）1．（2026•巴中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，AC、DB交于点G，H在AB延长线上且∠BCH＝∠CAB．（1）求证：CH为⊙O的切线．（2）求证：AF＝DF．（3）若DG＝2，GB＝3，求AD的长．2．（2026•内蒙古）已知△ABC是⊙O的内接三角形，半径OB与AC边相交于点D．（1）如图1，连接OA，若∠OAC＝15°，∠ACB＝40°，求∠ADB的度数；（2）如图2，点E是线段AC延长线上一点，连接BE．①若∠CDB＝∠OBC，求证：∠ACB＝2∠CAB；②在①的条件下，若BE＝BA，试判断线段OB与线段BE的位置关系，并说明理由．3．（2026•湖北）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，弦DF⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝BD；（2）若AB＝10，DF＝8，求⊙O的半径．4．（2026•甘孜州）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD．（1）判断OB与OC的位置关系，并说明理由；（2）若BO＝3，tan∠OCD=34，求⊙5．（2026•陕西）如图，点A在⊙O上，连接OA并延长至点B，过点B作⊙O的切线，切点为C，作弦CD⊥OA，垂足为H，作DE∥BC，连接CE．（1）求证：CE＝CD；（2）若AB＝2，BC＝4，求DE的长．6．（2026•绥化）尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点P．【初步探索】（1）如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN经过点P，点M，点N分别在射线OA，射线OB上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹）【拓展探究】（2）如图2，若∠AOB＝58°，连接OP，OP＝3．以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA，射线OB于C，D两点，则劣弧CD的长度为．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代数式表示的结果）7．（2026•绥化）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C作BD的垂线，垂足为E，交直径AB于点F，交过点B的直线于点M，连接AC并延长，交MB于点N，且CN＝CM．（1）求证：BM是⊙O的切线．（2）若PD=27，OF＝4，求线段CE8．（2026•齐齐哈尔）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点E在AC的延长线上，且∠CDE+∠ABD＝90°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝8，DE＝12，sin∠BAC=19．（2026•广西）如图1，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC＝45°，BC＝2，BD⊥AC于点D．（1）求证：OD平分∠ADB；（2）如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E，求AC的长及∠CBD的度数．10．（2026•新疆）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接BD，CD，经过点D的直线与AB的延长线相交于点E，且∠BDE=12∠（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果点I是△ABC的内心，tan∠BAC=125，BC＝24，求11．（2026•内江）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接DE交AB于点F．（1）如图1，过点D作DM⊥AC于点M．①求证：DM是⊙O的切线；②若∠CED＝30°，AB＝6，求阴影部分的面积；（2）如图2，连接BE，若EFFD=12，BE＝212．（2026•宜宾）如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB中点，CE平分∠ACD交AB于点E．（1）求∠BCE的度数；（2）求证：AC与△BCE的外接圆相切；（3）P为△BCE外接圆上任意一点，试探究PD与PA的数量关系，并说明理由．13．（2026•山西）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，且BD=BC，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点E，连接AC，OD．若∠ACE＝115°，OB＝6，求扇形BOD（即阴影部分）的面积（结果保留14．（2026•山西）阅读与思考阅读下列材料，完成相应任务．工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角．【数学抽象】将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；以点B为圆心，AB长为半径作弧，与BE交于点F；连接BE，BF，AF，即可得到特定度数的角，如∠ABE和∠EBF等．【推广迁移】受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知∠MAN＝α，作图步骤如下：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM，AN于点B，C；②分别以点B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点D；③连接CD，可得∠ACD＝150°−12结论“∠ACD＝150°−12连接BC．由步骤①可知，AB＝AC．…任务：（1）图2中∠ABE＝°，∠EBF＝°；（2）补全“推广迁移”中的说理过程；（3）如图4，四边形ABCD表示一块木板，∠BAD＝130°，∠ADC＞85°．现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段DE（点E在BC上），使∠ADE＝85°．请用尺规在木板上作出裁割线DE（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）．15．（2026•天津）已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝120°，点C在AB上，点D在以A，B为端点的优弧上．（Ⅰ）如图①，当C为AB的中点时，若DB＝DC，求∠OBC和∠OBD的大小；（Ⅱ）如图②，当∠AOC＝90°时，过点D作⊙O的切线EF，且EF∥OB，CD与OB相交于点G，若⊙O的半径为3，求BD和DG的长．16．（2026•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上的一点，EB的延长线交⊙O于点F，AB＝BD，∠CBE＝∠ABD＝60°．（1）求∠E的度数；（2）求证：四边形AFEC是平行四边形；（3）设CF交BD于点G，且CGFG=217．（2026•上海）在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上的两点，D是AB上一点，连接AB、CD交于点P，且AB＝CD．（1）连接OP，①如图1，求证：∠APO＝∠CPO；②如图2，连接OB交弦CD于点H，若AQ＝4，PB＝1，PO＝HO，求PH的长；（2）如图3，连接AC、PQ交于点E，线段AP上有一点F，使得PF＝4AF，若PE＝QE，∠PEA＝∠PFQ，求PEEA18．（2026•攀枝花）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．E为BD上一点，连结AE交CD于点F，EF的垂直平分线交CD的延长线于点G，连结GE．（1）若⊙O的半径为3，AH＝2，求CD的长；（2）求证：EG是⊙O的切线．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之圆（四）参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2026•巴中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，AC、DB交于点G，H在AB延长线上且∠BCH＝∠CAB．（1）求证：CH为⊙O的切线．（2）求证：AF＝DF．（3）若DG＝2，GB＝3，求AD的长．【考点】切线的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】（1）连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠BCH＝∠CAB，∴∠BCH+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCH+∠OCB＝90°，即∠OCH＝90°，∴OC⊥CH，∵OC是⊙O的半径，∴CH为⊙O的切线；（2）∵D是AC的中点，∴AD=∴∠ABD＝∠DBC，∵CD=∴∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAC，∴AF＝DF；（3）10．【分析】（1）连接OC，由题意易得∠ACB＝90°，则有∠BCH+∠ABC＝90°，然后可得∠BCH+∠OCB＝90°，进而问题可求证；（2）由题意易得∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，然后可得∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，则有∠ADE＝∠ABD＝∠DAC，进而问题可求证；（3）由题意易得△ABD∽△GAD，然后可得ADGD【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠BCH＝∠CAB，∴∠BCH+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCH+∠OCB＝90°，即∠OCH＝90°，∴OC⊥CH，∵OC是⊙O的半径，∴CH为⊙O的切线；（2）证明：∵D是AC的中点，∴AD=∴∠ABD＝∠DBC，∵CD=∴∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAC，∴AF＝DF；（3）解：∵DG＝2，GB＝3，∴DB＝DG+BG＝5，∵∠ABD＝∠GAD，∠ADB＝∠GDA，∴△ABD∽△GAD，∴ADGD∴AD2＝DG•DB＝10，∴AD=10【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键．2．（2026•内蒙古）已知△ABC是⊙O的内接三角形，半径OB与AC边相交于点D．（1）如图1，连接OA，若∠OAC＝15°，∠ACB＝40°，求∠ADB的度数；（2）如图2，点E是线段AC延长线上一点，连接BE．①若∠CDB＝∠OBC，求证：∠ACB＝2∠CAB；②在①的条件下，若BE＝BA，试判断线段OB与线段BE的位置关系，并说明理由．【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）95°；（2）①证明：连接OC，∵BC=∴∠BOC＝2∠CAB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠CDB＝∠OBC，∴∠CDB＝∠OCB，∵∠CBD＝∠OBC，∴△CBD∽△OBC，∴∠BCD＝∠BOC，∴∠BCD＝2∠CAB，即∠ACB＝2∠CAB；②OB⊥BE，理由如下：∵BE＝BA，∴∠E＝∠A，设∠E＝∠A＝x，∴∠ACB＝2x，∴∠BOC＝2∠A＝2x，∠CBE＝∠ACB﹣∠E＝x，∵OB＝OC，∴∠OBC=∠OCB=1∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝90°﹣x+x＝90°，∴OB⊥BE．【分析】（1）利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；（2）①连接OC，利用圆周角定理结合等边对等角，得到∠CDB＝∠OCB，再证明△CBD∽△OBC，可推出∠BCD＝∠BOC，即可得到∠ACB＝2∠CAB；②设∠E＝∠A＝x，求得∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝90°﹣x+x＝90°，即可得到OB⊥BE．【解答】（1）解：∵∠ACB＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝80°，∵∠OAC＝15°，∴∠ADB＝∠OAC+∠AOB＝95°；（2）①证明：连接OC，∵BC=∴∠BOC＝2∠CAB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠CDB＝∠OBC，∴∠CDB＝∠OCB，∵∠CBD＝∠OBC，∴△CBD∽△OBC，∴∠BCD＝∠BOC，∴∠BCD＝2∠CAB，即∠ACB＝2∠CAB；②OB⊥BE，理由如下：∵BE＝BA，∴∠E＝∠A，设∠E＝∠A＝x，∴∠ACB＝2x，∴∠BOC＝2∠A＝2x，∠CBE＝∠ACB﹣∠E＝x，∵OB＝OC，∴∠OBC=∠OCB=1∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝90°﹣x+x＝90°，∴OB⊥BE．【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．3．（2026•湖北）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，弦DF⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝BD；（2）若AB＝10，DF＝8，求⊙O的半径．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD．（2）256【分析】（1）连接CD，由圆周角定理得到CD⊥AB，由等腰三角形的性质推出AD＝BD．（2）连接OD．由垂径定理求出DE=12DF=4，由勾股定理求出BE＝3，设⊙O的半径为r，由勾股定理得到r2＝（r﹣3）2+42，求出r=25【解答】（1）证明：连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD．（2）连接OD．∵弦DF⊥BC，BC为直径，DF＝8，∴DE=1∵AD＝BD，AB＝10，∴BD=1由勾股定理得到：BE=B设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3．由勾股定理得到：OD2＝DE2+OE2，∴r2＝（r﹣3）2+42，∴r=25∴⊙O的半径为256【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程．4．（2026•甘孜州）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD．（1）判断OB与OC的位置关系，并说明理由；（2）若BO＝3，tan∠OCD=34，求⊙【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）OB⊥OC．理由如下：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴OB平分∠ABC，OC平分∠DCB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴OB⊥OC；（2）125【分析】（1）先根据切线长定理得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠DCB，则∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠DCB），再根据平行线的性质得到∠ABC+∠DCB＝180°，所以∠OBC+∠OCB＝90°，然后根据三角形内角和定理得到∠（2）连接OF，如图，利用∠OCB＝∠OCD得到tan∠OCB=34，在Rt△OCB中利用正切的定义计算出OC＝4，再利用勾股定理计算出BC＝5，接着利用切线的性质得到OF⊥BC，然后利用面积法求出【解答】解：（1）OB⊥OC．理由如下：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴OB平分∠ABC，OC平分∠DCB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴OB⊥OC；（2）连接OF，如图，∵∠OCB＝∠OCD，∴tan∠OCB＝tan∠OCD=3在Rt△OCB中，∵tan∠OCB=OB∴OC=43OB∴BC=3∵BC切⊙O于F点，∴OF⊥BC，∵12OF•BC=12OB∴OF=3×4即⊙O的半径为125【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、圆周角定理和解直角三角形．5．（2026•陕西）如图，点A在⊙O上，连接OA并延长至点B，过点B作⊙O的切线，切点为C，作弦CD⊥OA，垂足为H，作DE∥BC，连接CE．（1）求证：CE＝CD；（2）若AB＝2，BC＝4，求DE的长．【考点】切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）证明：连接CO并延长交DE于F点，如图，∵BC为⊙O的切线，∴CF⊥BC，∵DE∥BC，∴CF⊥DE，∴CE=∴CE＝CD；（2）14425【分析】（1）连接CO并延长交DE于F点，如图，先根据切线的性质得到CF⊥BC，再根据平行线的性质得到CF⊥DE，接着利用垂径定理得到CE=（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r，OB＝r+2，在Rt△OCB中利用勾股定理得到r2+42＝（r+2）2，解方程得到OC＝3，OB＝5，根据垂径定理，由CD⊥OB得到CH＝DH，再利用面积法求出CH=125，所以CD=245，接着利用勾股定理计算出OH=95，由于CF⊥DE，则DF＝EF，然后证明Rt△COH∽Rt△【解答】（1）证明：连接CO并延长交DE于F点，如图，∵BC为⊙O的切线，∴CF⊥BC，∵DE∥BC，∴CF⊥DE，∴CE=∴CE＝CD；（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OB＝r+2，∵OC⊥BC，∴∠OCB＝90°，在Rt△OCB中，r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，即OC＝3，OB＝5，∵CD⊥OB，∴CH＝DH，∵12CH•OB=12OC∴CH=3×4∴CD＝2CH=245，OH∵CF⊥DE，∴DF＝EF，∵∠OCH＝∠DCF，∴Rt△COH∽Rt△CDF，∴OH：DF＝CO：CD，即95：DF＝3：24解得DF=72∴DE＝2DF=144【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．6．（2026•绥化）尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点P．【初步探索】（1）如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN经过点P，点M，点N分别在射线OA，射线OB上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹）【拓展探究】（2）如图2，若∠AOB＝58°，连接OP，OP＝3．以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA，射线OB于C，D两点，则劣弧CD的长度为2930π．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含【考点】圆的综合题．【专题】尺规作图；推理能力．【答案】（1）如图，△OMN即为所求；（2）2930【分析】（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB分别交于点C、点D，连接CP，作射线CP，以C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP、线段CD分别交于点E、点F，以P为圆心，CE为半径画弧，弧与射线CP相交于点G，以G为圆心，EF为半径画弧，两弧相交于H，作直线PH，与射线OA，射线OB分别相交于点M、点N，则△OMN即为所求；（2）直接根据弧长公式求解即可．【解答】解：（1）如图，△OMN即为所求；理由：由作图知：OC＝OD，∠ECF＝∠GFH，∴∠OCD＝∠ODC，CD∥MN，∴∠OCD＝∠OMN，∠ODC＝∠ONM，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，∴△OMN即为所求；（2）由作图知：OC＝OD＝OP＝3，∴劣弧CD的长度为58π×3180故答案为：2930【点评】本题考查了尺规作图，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．7．（2026•绥化）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C作BD的垂线，垂足为E，交直径AB于点F，交过点B的直线于点M，连接AC并延长，交MB于点N，且CN＝CM．（1）求证：BM是⊙O的切线．（2）若PD=27，OF＝4，求线段CE【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】（1）连接BC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCN＝90°，在△BNC中，∠CNB+∠NBC＝90°，∵CM⊥BD，∴∠CED＝∠BEM＝90°，在△BME中，∠EMB+∠MBE＝90°，∵CN＝CM，∴∠CNB＝∠EMB，∴∠NBC＝∠MBE；∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴BC＝BD，∴△BCD是等腰三角形，∴∠CBP＝∠DBP；∵∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE＝180°，∴2∠NBC+2∠CBP＝180°，∴∠NBC+∠CBP＝90°，∴∠ABN＝90°，∵OB为⊙O的半径，∴BM是⊙O的切线；（2）CE=37【分析】（1）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠BCN＝90°，求得∠CED＝∠BEM＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠CNB＝∠EMB，推出△BCD是等腰三角形，求得∠CBP＝∠DBP；根据切线的判定定理得到结论；（2）根据垂径定理得到PC＝PD，∠APC＝∠FPC＝90，求得PC=27，DC=47；由（1）可知，∠ACP＝∠DCE，根据全等三角形的性质得到PA＝PF，设⊙O的半径为r，求得FA＝OA+OF＝r+4，根据相似三角形的性质得到PA=r+4【解答】（1）证明：连接BC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCN＝90°，在△BNC中，∠CNB+∠NBC＝90°，∵CM⊥BD，∴∠CED＝∠BEM＝90°，在△BME中，∠EMB+∠MBE＝90°，∵CN＝CM，∴∠CNB＝∠EMB，∴∠NBC＝∠MBE；∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴BC＝BD，∴△BCD是等腰三角形，∴∠CBP＝∠DBP；∵∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE＝180°，∴2∠NBC+2∠CBP＝180°，∴∠NBC+∠CBP＝90°，∴∠ABN＝90°，∵OB为⊙O的半径，∴BM是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴PC＝PD，∠APC＝∠FPC＝90，∵PD=27∴PC=27，DC=4由（1）可知，∠ACP＝∠DCE，∵PC＝PC，∴△ACP≌△FCP（ASA）；∴PA＝PF，设⊙O的半径为r，∵OF＝4，∴FA＝OA+OF＝r+4，∴PA=PF=1PB=AB−PA=2r−r+4∵∠A＝∠CDB，∠ACP＝∠DBP，∴△ACP∽△DBP，∴CPBP∴27解得r1=163∴r=16∴PA=r+4在Rt△ACP中，AC=A∵∠ACP＝∠DCE，∠A＝∠CDB，∴△ACP∽△DCE，∴ACCD∴87解得CE=37【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．8．（2026•齐齐哈尔）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点E在AC的延长线上，且∠CDE+∠ABD＝90°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝8，DE＝12，sin∠BAC=1【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）连接OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ACD＝∠ABD，∵AC为⊙O的直径，∴点O在AC上，∴OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC，∴∠ODC＝∠ABD，∴∠ODE＝∠CDE+∠ODC＝∠CDE+∠ABD＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）阴影部分的面积是25π3【分析】（1）连接OD，由四边形ABCD内接于⊙O，根据圆周角定理得∠ACD＝∠ABD，因为AC为⊙O的直径，所以OD＝OC，则∠ACD＝∠ODC，所以∠ODC＝∠ABD，推导出∠ODE＝∠CDE+∠ODC＝∠CDE+∠ABD＝90°，即可证明DE是⊙O的切线．（2）连接OB，由sin∠BAC=12，得∠OBA＝∠BAC＝30°，求得∠AOB＝120°，推导出∠DAE＝∠CDE，进而证明△DAE∽△CDE，得AEDE=DECE，因为CE＝8，DE＝12，所以AE=DE2CE=18，求得AC＝AE﹣CE＝10，则OA＝OC=12AC＝5，BC=12AC＝5，所以AB=AC2−BC2=53，求得S△ABC=25【解答】（1）证明：连接OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ACD＝∠ABD，∵AC为⊙O的直径，∴点O在AC上，∴OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC，∴∠ODC＝∠ABD，∴∠ODE＝∠CDE+∠ODC＝∠CDE+∠ABD＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OB，∵sin∠BAC=1∴∠OBA＝∠BAC＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠BAC＝120°，∵∠DAE+∠ACD＝90°，∠CDE+∠ODC＝90°，且∠ACD＝∠ODC，∴∠DAE＝∠CDE，∵∠E＝∠E，∴△DAE∽△CDE，∴AEDE∵CE＝8，DE＝12，∴AE=D∴AC＝AE﹣CE＝18﹣8＝10，∴OA＝OC=12AC＝5，BC=∴AB=AC2∴S△ABC=12×∴S△AOB＝S△COB=12S△ABC∵S扇形AOB=120π×∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB=25π∴阴影部分的面积是25π3【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、解直角三角形、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．9．（2026•广西）如图1，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC＝45°，BC＝2，BD⊥AC于点D．（1）求证：OD平分∠ADB；（2）如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E，求AC的长及∠CBD的度数．【考点】切线的性质；角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）连接OA，OB，如图1所示：∵⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，∴OA＝OB，∵BD⊥AC于点D，∴∠BDA＝90°，在△BDA中，∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，∴△BDA是等腰直角三角形，∴AD＝BD，在△AOD和△BOD中，OA=OBAD=BD∴△AOD≌△BOD（SSS），∴∠ADO＝∠BDO，∴OD平分∠ADB；（2）AC=6；∠CBD【分析】（1）连接OA，OB，则OA＝OB，证明△BDA是等腰直角三角形得AD＝BD，进而依据“SSS”△AOD和△BOD全等得∠ADO＝∠BDO，据此可得出结论；（2）连接OB，OC，OE，DE，过点O作OM⊥AC于点M，由垂径定理得CM＝AM，则AC＝2CM，由圆周角和圆心角的关系得∠BOC＝2∠BAC＝90°，在Rt△OBC中，由勾股定理得OC＝OB=22BC=2，由切线的性质得OE⊥BC，根据等腰三角形性质得OE=12BC＝1，点E是BC的中点，进而得OD＝OE＝1，利用（1）的结论可证明△OMD是等腰直角三角形，由勾股定理得OM＝DM=22OD=22，在Rt△OMC中，由勾股定理求出CM=62，继而得AC＝2CM=6；在Rt△BDC中，由点E是BC的中点得DE＝【解答】（1）证明：连接OA，OB，如图1所示：∵⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，∴OA＝OB，∵BD⊥AC于点D，∴∠BDA＝90°，在△BDA中，∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，∴△BDA是等腰直角三角形，∴AD＝BD，在△AOD和△BOD中，OA=OBAD=BD∴△AOD≌△BOD（SSS），∴∠ADO＝∠BDO，∴OD平分∠ADB；（2）解：连接OB，OC，OE，DE，过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示：∴∠OMC＝90°，OC＝OB，∴△OMD和△OMC都是直角三角形，根据垂径定理得：CM＝AM，∴AC＝2CM，∵∠BAC＝45°，∴根据圆周角和圆心角的关系得：∠BOC＝2∠BAC＝90°，在△OBC中，∠BOC＝90°，BC＝2，OC＝OB，由勾股定理得：BC=OC∴OC＝OB=22BC由切线的性质得：OE⊥BC，在△OBC中，BC＝2，OC＝OB=2∴OE=12BC＝1，点E是∴OD＝OE＝1，∵BD⊥AC于点D，∴∠BDA＝∠BDC＝90°，由（1）的结论得：∠ADO＝∠BDO=12∠在Rt△OMD中，∠ADO＝45°，∴Rt△OMD是等腰直角三角形，∴OM＝DM，由勾股定理得：OD=OM∴OM＝DM=22OD在Rt△OMC中，由勾股定理得：CM=O∴AC＝2CM=6在△BDC中，∠BDC＝90°，点E是BC的中点，∴DE是Rt△BDC的斜边BC上的中线，根据直角三角形斜边中线性质得：DE＝BE＝CE=12∴OE＝OD＝DE＝1，∴△OED是等边三角形，∴∠OED＝60°，∵OE⊥BC，∴∠OEC＝90°，∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＝30°，∵DE＝BE＝1，∴∠EBD＝∠EDB，又∵∠CED是△EBD的外角，∴∠CED＝∠EBD+∠EDB＝2∠EBD＝30°，∴∠EBD＝15°，∴∠CBD＝∠EBD＝15°．【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解切线的性质，垂径定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．10．（2026•新疆）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接BD，CD，经过点D的直线与AB的延长线相交于点E，且∠BDE=12∠（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果点I是△ABC的内心，tan∠BAC=125，BC＝24，求【考点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．【答案】（1）连接DO并延长交⊙O于点F，连接BF，∵BD=∴∠1＝∠3，∵DF是直径，∴∠FBD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠3=1∵∠BDE=1∴∠3＝∠BDE，∴∠1＝∠BDE，∴∠BDE+∠2＝∠EDF＝90°，∵半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）413【分析】（1）连接DO并延长交⊙O于点F，连接BF，由圆周角定理得到∠1＝∠3，∠FBD＝90°，则∠1+∠2＝90°，由角平分线得到∠3=12∠BAC（2）连接BI，CI，OB，OC，OD，OD交BC于点M，先由圆周角定理得到证明∠4＝∠5，根据垂径定理的推论可得OD⊥BC，BM=CM=12BC，再证明∠BOM＝∠BAC，解Rt△BOM求出OM，OB，即可求解DM，BD，再由内心的性质导角证明DI【解答】（1）证明：如图1，连接DO并延长交⊙O于点F，连接BF，∵BD=∴∠1＝∠3，∵DF是直径，∴∠FBD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠3=1∵∠BDE=1∴∠3＝∠BDE，∴∠1＝∠BDE，∴∠BDE+∠2＝∠EDF＝90°，∵半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BI，CI，OB，OC，OD，OD交BC于点M，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD=∴∠4＝∠5，∵DO是半径，∴OD⊥BC，BM=CM=1∵OB＝OC，∴∠BOC＝2∠BOM，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOM＝∠BAC，∵tan∠BAC=12∴tan∠BOM=BM∴OM＝5，在直角三角形BOM中，由勾股定理得：OB=O∴OD＝13，∴DM＝OD﹣OM＝8，在直角三角形BDM中，由勾股定理和得：BD=B∵点I是△ABC的内心，∴∠ABI＝∠CBI，∵BD=∴∠5＝∠BAD，∴∠4＝∠BAD，∵∠DBI＝∠4+∠CBI，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∴∠DBI＝∠BID，∴DI=DB=413【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，解直角三角形，熟练运用勾股定理解决问题是解答本题的关键．11．（2026•内江）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接DE交AB于点F．（1）如图1，过点D作DM⊥AC于点M．①求证：DM是⊙O的切线；②若∠CED＝30°，AB＝6，求阴影部分的面积；（2）如图2，连接BE，若EFFD=12，BE＝2【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；压轴题；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．【答案】（1）①证明：如图1，连接AD，OD，∵AB为⊙O的半径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AC＝AB，∴CD＝BD，即点D为BC的中点，∵点O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DM⊥AC，∴DM⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DM是⊙O的切线；②S阴影＝3π−9（2）AE＝2．【分析】（1）①连接AD，OD，可证明AD⊥BC，则点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，进而可证明OD∥AC，再证得DM⊥OD，则DM是⊙O的切线；②由圆周角定理可得∠AOD＝60°，则△AOD是等边三角形，AD＝3，∠OAD＝60°，解直角三角形可得BD＝33，则S△BOD=12S△ADB=934，根据S阴影＝S扇形BOD（2）取AC的中点T，连接DT，可证得DT为△ABC的中位线，则DT∥AB，由平行线分线段成比例定理得到AEAT=EFFD=12；设AE＝x，则AB＝AC＝4x，由勾股定理得（4x）2＝【解答】（1）①证明：如图1，连接AD，OD，∵AB为⊙O的半径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AC＝AB，∴CD＝BD，即点D为BC的中点，∵点O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DM⊥AC，∴DM⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DM是⊙O的切线；②解：如图1，连接AD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD=∴∠AOD＝2∠AED＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝OB=12AB＝3，∠∴BD＝AB•sin∠DAB＝6•sin60°＝33，∴S△ADB=12AD•BD=1∵点O为AB的中点，∴S△BOD=12S△ADB∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD=120π×32360（2）解：如图2，取AC的中点T，连接DT，由（1）可得点D为BC的中点，∴DT为△ABC的中位线，∴DT∥AB，∴AEAT设AE＝x，AT＝CT＝2x，则AC＝AT+CT＝4x，∴AB＝AC＝4x，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，∴（4x）2＝x2+（215）2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AE＝2．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，构造出相似三角形是解本题的关键．12．（2026•宜宾）如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB中点，CE平分∠ACD交AB于点E．（1）求∠BCE的度数；（2）求证：AC与△BCE的外接圆相切；（3）P为△BCE外接圆上任意一点，试探究PD与PA的数量关系，并说明理由．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）90°；（2）由（1）知∠BCE＝90°，∴EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠B=∠CAB=180°−∠ACB∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝30°，∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°，∵OC为半径，∴AC与△BCE的外接圆相切；（3）PA＝2PD，理由如下：连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，∠CAB＝30°，∠ACO＝90°，∴AO＝2CO＝2R，∵CE=∴∠COE＝2∠B＝60°，∵CA＝CB，点D是AB中点，∴CD⊥AB，∴∠DCO＝90°﹣∠COE＝30°，∴OD=1∴OD×OA=1∴ODOP∵∠DOP＝∠POA，∴△DOP∽△POA，∴PDPA∴PA＝2PD．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可；（2）可得EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠B＝∠CAB＝30°，再由OC＝OB，得到∠OCB＝∠B＝30°，则∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°，即可证明；（3）连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，导角证明△DOP∽△POA即可求解．【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB中点，∴∠BCD=∠ACD=1∵CE平分∠ACD，∴∠DCE=1∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°；（2）证明：由（1）知∠BCE＝90°，∴EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠B=∠CAB=180°−∠ACB∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝30°，∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°，∵OC为半径，∴AC与△BCE的外接圆相切；（3）解：PA＝2PD，理由如下：连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，∠CAB＝30°，∠ACO＝90°，∴AO＝2CO＝2R，∵CE=∴∠COE＝2∠B＝60°，∵CA＝CB，点D是AB中点，∴CD⊥AB，∴∠DCO＝90°﹣∠COE＝30°，∴OD=1∴OD×OA=1∴ODOP∵∠DOP＝∠POA，∴△DOP∽△POA，∴PDPA∴PA＝2PD．【点评】本题主要考查了等腰三角形的“三线合一”性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．13．（2026•山西）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，且BD=BC，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点E，连接AC，OD．若∠ACE＝115°，OB＝6，求扇形BOD（即阴影部分）的面积（结果保留【考点】切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】扇形BOD的面积是5π．【分析】连接OC，则OC＝OA，由切线的性质得CE⊥OC，则∠OCE＝90°，因为∠ACE＝115°，所以∠A＝∠OCA＝∠ACE﹣∠OCE＝25°，所以∠BOC＝2∠A＝50°，由BD=BC，得∠BOD＝∠BOC＝50°，而OB＝6，可根据扇形的面积公式求得s扇形BOD＝5【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，∴OC＝OA，∵过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点E，∴CE⊥OC，∴∠OCE＝90°，∵∠ACE＝115°，∴∠A＝∠OCA＝∠ACE﹣∠OCE＝115°﹣90°＝25°，∴∠BOC＝2∠A＝2×25°＝50°，∵BD=∴∠BOD＝∠BOC＝50°，∵OB＝6，∴s扇形BOD=50π×62∴扇形BOD的面积是5π．【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识，正确地求出∠BOC的度数是解题的关键．14．（2026•山西）阅读与思考阅读下列材料，完成相应任务．工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角．【数学抽象】将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；以点B为圆心，AB长为半径作弧，与BE交于点F；连接BE，BF，AF，即可得到特定度数的角，如∠ABE和∠EBF等．【推广迁移】受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知∠MAN＝α，作图步骤如下：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM，AN于点B，C；②分别以点B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点D；③连接CD，可得∠ACD＝150°−12结论“∠ACD＝150°−12连接BC．由步骤①可知，AB＝AC．…任务：（1）图2中∠ABE＝45°，∠EBF＝15°；（2）补全“推广迁移”中的说理过程；（3）如图4，四边形ABCD表示一块木板，∠BAD＝130°，∠ADC＞85°．现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段DE（点E在BC上），使∠ADE＝85°．请用尺规在木板上作出裁割线DE（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）45，15；（2）∠ACD＝150°−12（3）如图4所示线段DE即为所求作的线段．【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得∠ABE＝∠AEB＝45°，再证得△ABF是等边三角形，可得∠ABF＝60°，则∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝15°；（2）连接AD，BD，可证得△ACD≌△ABD（SSS），再运用三角形内角和定理即可；（3）①以A为圆心，AD为半径画弧交AB于F，②分别以D，F为圆心，DF长为半径画弧交于点P，③作射线DP，交BC于E，线段DE即为所求作的线段．【解答】解：（1）∵AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∵BF＝AB＝AF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝60°﹣45°＝15°，故答案为：45，15；（2）结论“∠ACD＝150°−12α”成立的理由如下：连接BC．由步骤①可知，AB＝连接AD，BD，如图3，由步骤②可知，BD＝CD＝BC，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，在△ACD和△ABD中，AC=ABCD=BD∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠ADC＝∠ADB＝30°，∠CAD＝∠BAD=12∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∴12α+∠ACD∴∠ACD＝150°−12（3）如图4，①以A为圆心，AD为半径画弧交AB于F，②分别以D，F为圆心，DF长为半径画弧交于点P，③作射线DP，交BC于E，线段DE即为所求作的线段．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质等是解题关键．15．（2026•天津）已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝120°，点C在AB上，点D在以A，B为端点的优弧上．（Ⅰ）如图①，当C为AB的中点时，若DB＝DC，求∠OBC和∠OBD的大小；（Ⅱ）如图②，当∠AOC＝90°时，过点D作⊙O的切线EF，且EF∥OB，CD与OB相交于点G，若⊙O的半径为3，求BD和DG的长．【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（Ⅰ）∠OBC＝60°，∠OBD＝15°，（Ⅱ）BD＝32，DG＝23．【分析】（Ⅰ）连接OC，如图①，先根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC＝60°，则△OBC为等边三角形，所以∠OBC＝60°，再根据圆周角定理得到∠BDC＝30°，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠DBC＝∠DCB＝75°，然后计算∠DBC﹣∠OBC得到∠OBD的度数；（Ⅱ）连接OD，如图②，先计算出∠COB＝30°，再根据切线的性质得到OD⊥EF，则根据平行线的性质得到OD⊥OB，于是可判断△OBD为等腰直角三角形，则BD=2OD＝32，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ODC＝∠OCD＝30°，然后在Rt△ODG中利用余弦的定义可计算出DG【解答】解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵C为AB的中点，∴AC=∴∠AOC＝∠BOC=12∠AOB∵OC＝OB，∴△OBC为等边三角形，∴∠OBC＝60°，∵∠BDC=12∠BOC而DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB=1∴∠OBD＝∠DBC﹣∠OBC＝75°﹣60°＝15°；（Ⅱ）连接OD，如图②，∵∠AOC＝90°，∠AOB＝120°，∴∠COB＝30°，∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵EF∥OB，∴OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∵OD＝OB，∴△OBD为等腰直角三角形，∴BD=2OD＝32∵∠COD＝∠COB+∠BOD＝30°+90°＝120°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD=1在Rt△ODG中，∵cos∠ODG=OD∴DG=332【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．16．（2026•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上的一点，EB的延长线交⊙O于点F，AB＝BD，∠CBE＝∠ABD＝60°．（1）求∠E的度数；（2）求证：四边形AFEC是平行四边形；（3）设CF交BD于点G，且CGFG=2【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；压轴题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．【答案】（1）∠E＝60°；（2）证明：∵∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠ACD＝∠E．∴AC∥EF．∵四边形AFBD是⊙O的内接四边形，∴∠AFB+∠ADB＝180°．∴∠AFB＝120°．∴∠AFB+∠E＝180°．∴AF∥CE．∴四边形AFEC是平行四边形．（3）BDAC【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，则∠BAD＝∠BDA＝60°．再利用圆内接四边形性质和三角形内角和定理即可求得答案；（2）先利用平行线判定可得AC∥EF，再证得AF∥CE，再利用平行四边形的判定即可证得结论；（3）过点C作CH⊥BE，垂足为H，连接DF，设CD＝a．可证得△CFE≌△BDE（AAS），再证得△BCG∽△DFG，△BCE∽△FDE．可得BEFE=BCFD=23，可得BE＝2a，EF＝3a．利用等边三角形性质可得BH＝a【解答】（1）解：∵AB＝BD，∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形．∴∠BAD＝∠BDA＝60°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°．又∵∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠BCE＝∠BAD＝60°．∵∠CBE＝60°，∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝60°．（2）证明：∵∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠ACD＝∠E．∴AC∥EF．∵四边形AFBD是⊙O的内接四边形，∴∠AFB+∠ADB＝180°．∴∠AFB＝120°．∴∠AFB+∠E＝180°．∴AF∥CE．∴四边形AFEC是平行四边形．（3）解：过点C作CH⊥BE，垂足为H，连接DF，设CD＝a．∵∠E＝∠CBE＝∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形．∴BE＝CE．又∵∠CFB＝∠CDB，∠E＝∠E，∴△CFE≌△BDE（AAS）．∴EF＝ED．∴BF＝CD＝a．∵∠E＝60°，∴△DEF是等边三角形．∴∠FDE＝∠BCE＝60°．∴BC∥DF．∴△BCG∽△DFG．∴BCDF∵BC∥DF，∴△BCE∽△FDE．∴BEFE∴BE＝2a，EF＝3a．∵四边形AFEC是平行四边形，∴AC＝EF＝3a．∵△BCE是等边三角形，CH⊥BE，∴BH=1在Rt△BCH中，tan∠CBE=CH∴CH=3∵FH＝BF+BH＝2a，∴CF=F∵△CFE≌△BDE，∴BD=CF=7∴BDAC【点评】本小题考查圆的有关性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形内角和定理及其推论等基础知识，考查推理能力、几何直观、空间观念、运算能力与创新意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．17．（2026•上海）在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上的两点，D是AB上一点，连接AB、CD交于点P，且AB＝CD．（1）连接OP，①如图1，求证：∠APO＝∠CPO；②如图2，连接OB交弦CD于点H，若AQ＝4，PB＝1，PO＝HO，求PH的长；（2）如图3，连接AC、PQ交于点E，线段AP上有一点F，使得PF＝4AF，若PE＝QE，∠PEA＝∠PFQ，求PEEA【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）①如图，作OG⊥AB于点G，OZ⊥CD于Z，连接OC，∴AG=12AB∵AB＝CD，∴AG＝CZ，∵OA＝OC，∠AGO＝∠CZO＝90°，∴Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL），∴OG＝OZ，∵∠PGO＝∠PZO＝90°，OP＝OP，∴Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL），∴∠APO＝∠CPO；②PH=3（2）23【分析】（1）①作OG⊥AB于点G，OZ⊥CD于Z，连接OC，利用垂径定理结合AB＝CD，得出AG＝CZ，证明Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL），得出OG＝OZ，再证明Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL），即可求证；②先证明∠APO＝∠OHP，得出∠BPO＝∠BHP，可得△BPH∽△BOP，则BPOB=BHBP=PHOP（2）证明△FPQ∽△EPA，得出PFPE=PQAP，设PF＝4AF＝4m，PE＝QE＝n，可得AP＝5m，4mn=2n5m，求出n=10m，连接OP，交AC于点K，由（1）可得AP＝CP，∠APO＝∠CPO，得出OP⊥AC，证明K为△APQ的重心，得出AK＝2EK，设AK＝2EK＝2【解答】（1）①证明：如图，作OG⊥AB于点G，OZ⊥CD于Z，连接OC，∴AG=12AB∵AB＝CD，∴AG＝CZ，∵OA＝OC，∠AGO＝∠CZO＝90°，∴Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL），∴OG＝OZ，∵∠PGO＝∠PZO＝90°，OP＝OP，∴Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL），∴∠APO＝∠CPO；②解：∵PO＝HO，∴∠OPH＝∠OHP，由（1）可知，∠OPC＝∠APO，∴∠APO＝∠OHP，∵∠BPO＝180°﹣∠APO，∠BHP＝180°﹣∠OHP，∴∠BPO＝∠BHP，在△BPH和△BOP中，∠BPO＝∠BHP，∠PBH＝∠OBP，∴△BPH∽△BOP，∴BPOB∵AQ＝4，∴OB＝2，∵BP＝1，∴BPOB∴BH=12，∴OH=OP=2−1∴PH=3（2）解：∵∠PFQ＝∠PEA，∠FPQ＝∠EPA，∴△FPQ∽△EPA，∴PFPE∵PF＝4AF，PE＝QE，设PF＝4AF＝4m，PE＝QE＝n，则AP＝5m，∴4mn∴20m2＝2n2，∴n=10连接OP，交AC于点K，由（1）①中Rt△OPG≌Rt△OPZ可得PG＝PZ（图1），又∵AG＝CZ（①已证），∴AG+PG＝PZ+CZ，∴AP＝CP，又∵∠APO＝∠CPO（①已证），∴OP⊥AC，∴∠AKP＝∠CKP＝90°，∵O为△APQ边AQ的中点，E为△APQ边PQ的中点，∴K为△APQ的重心，∴AK＝2EK，设EK＝k，则AK＝2EK＝2k，∵在Rt△APK和Rt△EPK中，PK2＝AP2﹣AK2＝PE2﹣EK2，∴(5m)化简得k=5∴AK=2EK=25∴PEEA【点评】本题考查了圆的基本性质，全等三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．18．（2026•攀枝花）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．E为BD上一点，连结AE交CD于点F，EF的垂直平分线交CD的延长线于点G，连结GE．（1）若⊙O的半径为3，AH＝2，求CD的长；（2）求证：EG是⊙O的切线．【考点】切线的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（1）42；（2）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵点G在线段EF的垂直平分线上，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠AFH＝∠GFE，∴∠GEF＝∠AFH，∵∠AHF＝90°，∴∠FAH+∠AFH＝90°，∴∠AEO+∠GEF＝90°，∴∠GEO＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EG是⊙O的切线．【分析】（1）连接CO，根据垂径定理得到∠CHO＝90°，CD＝2CH，根据勾股定理得到结论；（2）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，根据线段垂直平分线的性质得到GF＝GE，求得∠GEF＝∠GFE，得到∠GEF＝∠AFH，求得∠GEO＝90°，根据切线的判定定理得到结论．【解答】（1）解：连接CO，∵⊙O的半径为3，∴OA＝OC＝3，∵弦CD⊥AB，∴∠CHO＝90°，CD＝2CH，∵AH＝2，∴OH＝1，∴CH=OC2∴CD＝2CH＝42；（2）证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵点G在线段EF的垂直平分线上，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠AFH＝∠GFE，∴∠GEF＝∠AFH，∵∠AHF＝90°，∴∠FAH+∠AFH＝90°，∴∠AEO+∠GEF＝90°，∴∠GEO＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EG是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．

考点卡片1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．