2027山东专升本高数一 幂级数收敛域、求和与展开综合专项练习（全题详细解析）

山东专升本高数一幂级数收敛域、求和与展开综合专项练习考纲定位：幂级数是山东专升本高数一高频解答题考点，核心考查三类题型：①求幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域；②简单幂级数求和函数；③初等函数的幂级数展开。题型固定、公式性强，是极易满分的模块。考前必背满分公式（专升本专用）一、标准幂级数收敛域公式对幂级数n=0∞收敛区间：(-R收敛域：区间端点x=±R二、五大必考幂级数展开式（直接套用）1.12.13.e4.ln5.sin三、幂级数性质收敛区间内可逐项求导、逐项积分，收敛半径不变，端点敛散性需重新判定。一、基础题型：求收敛半径、收敛区间、收敛域（6题）题1求幂级数n=1∞答案：收敛半径R=1，收敛区间(-1,1)，收敛域详细解题步骤：步骤1：识别系数anR步骤2：得收敛区间(-1,1)。步骤3：单独判定区间端点：①x=1，级数为n②x=-1，级数为n步骤4：综上，收敛域为[-1,1)。题2求幂级数n=0∞答案：收敛域(-详细解题步骤：步骤1：anR步骤2：收敛半径为无穷大，收敛区间、收敛域均为全体实数(-∞题3求幂级数n=1∞答案：收敛域(-1,1)详细解题步骤：步骤1：anR步骤2：收敛区间(-1,1)。步骤3：端点判定：x=±1时，级数通项极限lim步骤4：收敛域为(-1,1)。题4求幂级数n=1∞答案：收敛域[-2,2]详细解题步骤：步骤1：anR步骤2：收敛区间(-2,2)。步骤3：端点判定：x=2：∑1n2x=-2：∑步骤4：收敛域[-2,2]。题5求幂级数n=1∞答案：收敛域[0,2)详细解题步骤：步骤1：令t=x-1，级数变为∑t步骤2：回代-1≤步骤3：解得0≤x<2，收敛域题6求幂级数n=0∞答案：收敛域[-1,1]详细解题步骤：步骤1：缺项幂级数，用比值判别法：lim步骤2：令x2<1⇒|x|<1步骤3：端点x=±1，级数为∑步骤4：收敛域[-1,1]。二、核心大题：幂级数求和函数（4道专升本必考题型）求和核心思路：通过逐项求导/逐项积分转化为11-x题1求n=1∞答案：和函数S详细解题步骤：步骤1：确定收敛域：同基础题3，x∈(-1,1)步骤2：基础公式：n=0步骤3：等式两边逐项求导：nn步骤4：直接得和函数，收敛域不变(-1,1)。题2求n=1∞答案：S详细解题步骤：步骤1：收敛域[-1,1)。步骤2：设S(S步骤3：对导数积分还原：S步骤4：得和函数S(题3求n=0∞答案：S详细解题步骤：步骤1：识别等比幂级数，公比q=-步骤2：等比级数求和公式S=a01-步骤3：S(x)=1题4求n=1∞答案：S详细解题步骤：步骤1：收敛域(-1,1]。步骤2：设和函数，逐项求导：S步骤3：积分还原：S步骤4：和函数为ln⁡三、拔高大题：函数展开为幂级数（4道真题题型）展开核心思路：恒等变形→套用5大基础展开式→写出收敛域题1将f(x)=12-x答案：1详细解题步骤：步骤1：变形适配基础公式：f步骤2：将x2替换公式11-t=∑t1步骤3：乘系数得展开式：f步骤4：收敛条件x2<1，即题2将f(x)=11+x答案：1详细解题步骤：步骤1：基础公式11+步骤2：令t=1步骤3：收敛条件x2<1，收敛域题3将f(x)=ln⁡答案：ln详细解题步骤：步骤1：拆分变形：ln步骤2：套用对数展开公式ln⁡步骤3：令t=ln步骤4：整合展开式，收敛条件-1<x2≤1题4将f(x)=e2x答案：e详细解题步骤：步骤1：基础公式et步骤2：令t=2e步骤3：指数函数展开收敛域为全体实数。四、专升本综合压轴题（2道）压轴1求级数n=1∞答案：3详细解题步骤：步骤1：构造幂级数S(x)=n步骤2：变形拆分：S步骤3：化简：S(步骤4：代入x=12压轴2将f(x)=1答案：n详细解题步骤：步骤1：分式裂项：f步骤2：分别展开两个分式：1步骤3：作差合并同次项，得到最终展开式，收敛域取交集(-1,1)。五、专升本满分避坑总结1.收敛域必查端点：只写区间不判定端点，大题直接扣一半分数；2.缺项幂级数不用系数比值法：直接用通项比值判别法，避免公式失效；3.求和函数必须写收敛域