2026-2027北师大版七年级（上）课时练习§3．3探索与表达规律

【北师大版七年级数学（上）课时练习】§3．3探索与表达规律一、选择题（每小题3分共30分）1．（本题3分）如图，这一些火柴棒摆成的图案，按这种方式摆下去，摆第7个图案需用火柴棒的根数为（）

A．35 B．33 C．31 D．292．（本题3分）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第12个图案中，菱形的个数是（

）A．33 B．34 C．35 D．363．（本题3分）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，……，依此类推，则（

）A． B． C． D．4．（本题3分）观察下列各式：13＝1213+23＝3213+23+33＝6213+23+33+43＝102……猜想13+23+33+…+103＝（）A．502 B．552 C．562 D．6025．（本题3分）如图，已知，在内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）当内有n条射线时，角的个数为（

）A． B． C． D．6．（本题3分）力旺实验中学校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了33块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（）A．166块 B．164块 C．165块 D．160块7．（本题3分）观察下面三行数：，9，，81……①1，，9，……②，10，，82……③设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（

）A．1 B． C． D．8．（本题3分）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……依此规律．第⑧个图案中的三角形个数是（

）A．22 B．25 C．26 D．289．（本题3分）一列数，其中，，，…，，则（

）A． B． C． D．10．（本题3分）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（

）A．正方形纸片的面积B．四边形的面积C．的面积 D．的面积二、填空题（每小题3分共15分）11．（本题3分）将全体正偶数排成一个三角形数阵:12．（本题3分）烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为______．13．（本题3分）如图，数轴上，A两点的距离为4，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为______（，是整数）．14．（本题3分）根据题意，完成下列填空．如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．15．（本题3分）定义一种对正整数的“运算”：当为奇数时，结果为；当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是．则：若，则第次“运算”的结果是____．…三、解答题（共55分）16．（本题6分）如图是用12根火柴棒摆成的倒“品”字，你能只移动3根火柴棒，把“品”字改成“田”字吗？请在图中标出移动的火柴棒．17．（本题7分）观察下列等式：=1−，=−，=−将以上三个等式两边分别相加得：++=1−+−+−=1−=(1)猜想写出=；(2)直接写出下列各式的计算结果+++…+=；(3)探究计算+++…+．18．（本题8分）仔细观察下列等式：第1个：；第2个：；第3个：；第4个：；…………这些等式反映出正整数间的某种运算规律，按要求解答下列各题：(1)请你写出第5个等式：________________；(2)若n为正整数，则第n个等式可表示为：________________；(3)运用上述结论：计算：．9．（本题8分）在数学中，数与形之间可以相互转化．在学习《转化表达》这节课时，小华发现课本上利用图形来总结了连续奇数的和的规律．如图：(1)借助图形，我们可以总结出．(2)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试：请你画出第四个图，并总结出规律：．20．（本题8分）观察下面的等式：，，，，…，根据其中的规律，解决下列问题：(1)【尝试】写出关于的等式．(2)【归纳】写出关于的等式．(3)【运用】计算的值．21．（本题9分）如图是2022年11月的日历．

(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？(2)不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？22．（本题9分）在数学实践活动中，老师带领同学们来到学校餐厅，利用学校餐桌使用情况进行数学问题实践探究活动：学校现有的餐桌，一张桌子可坐6人，同学们讨论以下两种摆放方式，请你利用所学知识解决问题：(1)当有5张桌子时，第一种方式能坐___________人，第二种方式能坐___________人．(2)当有n张桌子时，第一种方式能坐___________人，第二种方式能坐___________人．(3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？请说明理由．【北师大版七年级数学（上）课时练习】§3．3探索与表达规律一、选择题（每小题3分共30分）1．（本题3分）如图，这一些火柴棒摆成的图案，按这种方式摆下去，摆第7个图案需用火柴棒的根数为（）

A．35 B．33 C．31 D．29解：由题图可知，摆第1个图案需用的火柴棒的根数为；摆第2个图案需用的火柴棒的根数为；摆第3个图案需用的火柴棒的根数为；…，所以摆第n个图案需用的火柴棒的根数为．当时，．故选D．2．（本题3分）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第12个图案中，菱形的个数是（

）A．33 B．34 C．35 D．36解：第①个图案中有个菱形，第②个图案中有个菱形，第③个图案中有个菱形，第④个图案中有个菱形，∴第个图案中有个菱形，∴第12个图案中菱形的个数为，故选：C．3．（本题3分）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，……，依此类推，则（

）A． B． C． D．解：，，，，，∴该数列每4个数为1周期循环，，．故选：D．4．（本题3分）观察下列各式：13＝1213+23＝3213+23+33＝6213+23+33+43＝102……猜想13+23+33+…+103＝（）A．502 B．552 C．562 D．602解：13＝12，13+23＝32=(1+2)2，13+23+33＝62=(1+2+3)²，13+23+33+43＝102=(1+2+3+4)²，……所以13+23+33+…+103＝(1+2+3+…+10)2＝552，故选：B．5．（本题3分）如图，已知，在内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）当内有n条射线时，角的个数为（

）A． B． C． D．解:根据题意，当射线条数为1时，有个，当射线条数为2时，有个，当射线条数为3时，有个，当射线条数为n时，有个，故选：D．6．（本题3分）力旺实验中学校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了33块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（）A．166块 B．164块 C．165块 D．160块解：由所给图形可知，每增加一个图案，则六边形地砖的块数增加1，且第一个图案中所含六边形的个数为1，又因为这条小路共用去33块六边形地砖，所以这条小路由33个图案组成．因为每增加一个图案，正方形地砖的块数增加5，且第一个图案中所含的正方形个数为6，所以33个图案中所含正方形的个数为块，故选：A．7．（本题3分）观察下面三行数：，9，，81……①1，，9，……②，10，，82……③设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（

）A．1 B． C． D．解：①由，9，，81……，得第n个数为，则；②由1，，9，……，得第n个数为，则；③由，10，，82……，得第n个数为，则，∴，故选：A．8．（本题3分）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……依此规律．第⑧个图案中的三角形个数是（

）A．22 B．25 C．26 D．28解:第一图形有个；第2图形有个；第3图形有个；第8图形有个；故选：B．9．（本题3分）一列数，其中，，，…，，则（

）A． B． C． D．解：，，，，∴这列数以为一个循环节，进行循环，每个循环节的和为：，∵，∴；故选D．10．（本题3分）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（

）A．正方形纸片的面积B．四边形的面积C．的面积 D．的面积解:根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y，所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG==2xy，所以根据题意，已知条件为xy的值，A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；B.四边形EFGH的面积=y2，根据条件无法求出，不符合题意；C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意；D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意；故选C．二、填空题（每小题3分共15分）11．（本题3分）将全体正偶数排成一个三角形数阵:解:设根据题意观察得知,第行有个偶数,∴前行共有正偶数（个）,∴第个偶数为,是第行的最后一个,∴第行从左到右的第个偶数为．故答案为:．12．（本题3分）烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为______．解：根据题意，可知第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，∴第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，则第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个．答案为：18．13．（本题3分）如图，数轴上，A两点的距离为4，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为______（，是整数）．解：由题可知：，第一次跳动到的中点处时，，同理，第二次从点跳动到处，，同理，跳动次后，，故线段的长度为：，故答案为：．14．（本题3分）根据题意，完成下列填空．如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．解：三条直线相交交点最多为：1＋2＝3个；四条直线相交交点最多为：1＋2＋3＝6个；六条直线相交交点最多为：1＋2＋3＋4＋5＝15个；n(n为大于1的整数)条直线相交交点最多可有：个．故答案为：3，6，15，．15．（本题3分）定义一种对正整数的“运算”：当为奇数时，结果为；当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是．则：若，则第次“运算”的结果是____．…解:根据题意，得当时，第一次运算，，第二次运算，，第三次运算，，第四次运算，，第五次运算，，第六次运算，，可以看出，从第四次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是，而次是奇数，因此最后结果是，故答案为：．三、解答题（共55分）16．（本题6分）如图是用12根火柴棒摆成的倒“品”字，你能只移动3根火柴棒，把“品”字改成“田”字吗？请在图中标出移动的火柴棒．解：如图：田字的中心是“十”字，先确定“十”的位置即可判断出该移动的火柴棒了．解决本题的关键是得到新字的图形的中心的特点．17．（本题7分）观察下列等式：=1−，=−，=−将以上三个等式两边分别相加得：++=1−+−+−=1−=(1)猜想写出=；(2)直接写出下列各式的计算结果+++…+=；(3)探究计算+++…+．（1）解：∵=1−，=−，=−，……∴，故答案为：；（2）解：+++…+；（3）解：∵=……∴+++…++…18．（本题8分）仔细观察下列等式：第1个：；第2个：；第3个：；第4个：；…………这些等式反映出正整数间的某种运算规律，按要求解答下列各题：(1)请你写出第5个等式：________________；(2)若n为正整数，则第n个等式可表示为：________________；(3)运用上述结论：计算：．（1）解：∵第1个：；第2个：；第3个：；第4个：；∴第5个：，故答案为：；（2）解：由（1）得到的规律得：第n个：；故答案为：；（3）解：．9．（本题8分）在数学中，数与形之间可以相互转化．在学习《转化表达》这节课时，小华发现课本上利用图形来总结了连续奇数的和的规律．如图：(1)借助图形，我们可以总结出．(2)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试：请你画出第四个图，并总结出规律：．（1）根据图形可得，，，，∴；（2）由图形可得，，，，∴．(2)如图所示，20．（本题8分）观察下面的等式：，，，，…，根据其中的规律，解决下列问题：(1)【尝试】写出关于的等式．(2)【归纳】写出关于的等式．(3)【运用】计算的值．（1）解：∵，，，∴（