2026年四川省苏教版高二数学第六章复数知识点巩固习题试卷

2026年四川省苏教版高二数学第六章复数知识点巩固习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复数集合C中，下列运算正确的是（）A.(2+3i)•(1-i)=5-5iB.(1+i)²=2iC.|2i|=2iD.√(i²)=-1解析：选项A正确，(2+3i)•(1-i)=2-2i+3i-3i²=5+i；选项B错误，(1+i)²=1+2i+i²=2i；选项C错误，|2i|=√(2²)=2；选项D错误，√(i²)=√(-1)=i。故选A。2.若复数z满足z²+2z+3=0，则|z|的值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：由z²+2z+3=0得(z+1)²+2=0，即z+1=-√2i，则z=-1-√2i，|z|=√((-1)²+(√2)²)=√3。故选C。3.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁•z₂在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z₁•z₂=(2+3i)•(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i，对应点(8,-1)位于第四象限。故选D。4.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为2，且z/(1+i)为实数，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a²+b²=4D.a²+b²=2解析：|z|=2即a²+b²=4，z/(1+i)=(a+bi)/(1+i)•(1-i)=(a+b)/(1+i)•(1-i)=(a+b)-ai，要为实数则虚部为0，即a+b=0。故选B。5.方程x²+4x+5=0在复数范围内的解为（）A.-2±iB.-2±2iC.2±iD.2±2i解析：x=[-4±√(16-20)]/2=-2±√(-4)=-2±2i。故选B。6.若复数z₁=1+i，z₂=3-2i，则z₁/z₂的虚部为（）A.-4/13B.7/13C.4/13D.-7/13解析：z₁/z₂=(1+i)/(3-2i)•(3+2i)=(3+2i+3i+2i²)/(9-4)=(1+5i)/5=1/5+i，虚部为1/5。故选C。7.已知复数z满足|z-1|=1且argz=π/3，则z的值为（）A.1/2+√3/2iB.1/2-√3/2iC.1+√3iD.1-√3i解析：z在复平面上对应点距离(1,0)为1且角度为π/3，坐标为(1+cos(π/3),sin(π/3))=(1+1/2,√3/2)=(3/2,√3/2)。故选A。8.若复数z₁=2-i，z₂=1+3i，则z₁+z₂的模为（）A.√17B.√13C.√10D.√7解析：z₁+z₂=(2-i)+(1+3i)=3+2i，|z₁+z₂|=√(3²+2²)=√13。故选B。9.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的共轭复数为（）A.2B.-2C.2iD.-2i解析：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1-i²=2，其共轭复数为2。故选A。10.若复数z满足z²=2z，则z的取值集合为（）A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1}解析：z²-2z=0即z(z-2)=0，解得z=0或z=2。故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=3-4i，则|z|的值为________。参考答案：5解析：|z|=√(3²+(-4)²)=5。2.若复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则z₁-z₂的实部为________。参考答案：1解析：z₁-z₂=(2+i)-(1-3i)=1+4i，实部为1。3.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=3且argz=π/2，则a的值为________。参考答案：0解析：z在复平面上对应点模为3且角度为π/2，坐标为(0,3)，即a=0。4.方程x²-6x+13=0在复数范围内的解为________。参考答案：3±2i解析：x=[6±√(36-52)]/2=3±√(-16)=3±4i。5.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的虚部为________。参考答案：0解析：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1-i²=2，虚部为0。6.已知复数z满足|z|=2且z/(1+i)为实数，则z的取值集合为________。参考答案：{2,-2}解析：z/(1+i)=(a+bi)/(1+i)•(1-i)=(a+b)/(1+i)•(1-i)，要为实数则a+b=0，且|z|=2即a²+b²=4，解得a=±2,b=∓2。7.若复数z₁=2+i，z₂=1-2i，则|z₁+z₂|的值为________。参考答案：√13解析：z₁+z₂=(2+i)+(1-2i)=3-i，|z₁+z₂|=√(3²+(-1)²)=√10。8.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²=4i，则|a|+|b|的值为________。参考答案：2√2解析：z²=4i即(a+bi)²=4i，展开得a²-b²+2abi=4i，实部a²-b²=0且虚部2ab=4，解得a=b=√2或a=b=-√2，|a|+|b|=2√2。9.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁/z₂的模为________。参考答案：1解析：z₁/z₂=(1+i)/(1-i)•(1+i)=(1+i)²/(1-i)²=2i/(-2i)=-1，|z₁/z₂|=|-1|=1。10.已知复数z满足|z-1|=2且argz=π/3，则z的实部为________。参考答案：1/2解析：z在复平面上对应点距离(1,0)为2且角度为π/3，坐标为(1+cos(π/3),sin(π/3))=(1+1/2,√3/2)=(3/2,√3/2)，实部为3/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁与z₂满足z₁•z₂为实数，则z₁与z₂互为共轭复数。（×）解析：错误。例如z₁=1+i，z₂=1-i，z₁•z₂=2为实数，但z₂不是z₁的共轭复数。2.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=1，则z的平方仍为单位圆上的复数。（√）解析：正确。z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，|z²|=√(a²-b²+4a²b²)=|z|=1。3.方程x²+2x+3=0在实数范围内无解。（√）解析：正确。判别式Δ=4-12=-8<0，无实数解。4.若复数z₁与z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁与z₂的模长相等。（√）解析：正确。这是复数模的基本性质。5.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁+z₂的模等于z₁与z₂模的和。（×）解析：错误。|z₁+z₂|=√10，|z₁|+|z₂|=√2+√2=2√2。6.若复数z满足z²=2z，则z的取值集合为{0,2}。（√）解析：正确。z²-2z=0即z(z-2)=0，解得z=0或z=2。7.已知复数z₁=2+i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的虚部为-3。（×）解析：错误。z₁•z₂=(2+i)•(1-2i)=4-3i，虚部为-3。8.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=2且argz=π/3，则z=1+√3i。（×）解析：错误。z在复平面上对应点坐标为(1+cos(π/3),sin(π/3))=(1+1/2,√3/2)=(3/2,√3/2)，即z=3/2+√3/2i。9.若复数z₁与z₂满足z₁•z₂为实数，则z₁与z₂中至少有一个为实数。（×）解析：错误。例如z₁=1+i，z₂=1-i，z₁•z₂=2为实数，但z₁与z₂均不为实数。10.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁/z₂的实部为0。（√）解析：正确。z₁/z₂=(1+i)/(1-i)•(1+i)=(1+i)²/(1-i)²=2i/(-2i)=-1，实部为-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.复数z=a+bi（a,b∈R）的模|z|有什么几何意义？解析：复数z=a+bi在复平面上对应点为(a,b)，|z|表示该点到原点的距离。2.什么是共轭复数？共轭复数有什么性质？解析：若复数z=a+bi，则其共轭复数为z̄=a-bi。性质：①z+z̄=2a，②z-z̄=2bi，③|z|=|z̄|，④zz̄=|z|²。3.方程x²+px+q=0（p,q∈R）在复数范围内一定有解吗？为什么？解析：一定有解。根据复数代数基本定理，任何n次复系数方程都有n个复数解（重根算作一个）。4.复数z=a+bi（a,b∈R）的辐角是什么？辐角有什么范围？解析：辐角是复数对应的向量与正实轴的夹角，范围是[0,2π)。5.若复数z₁与z₂满足z₁+z₂为实数，则z₁与z₂有什么关系？解析：z₁与z₂的虚部互为相反数，即若z₁=a+bi，z₂=c+di，则b=-d。6.什么是复数的三角形式？如何将复数z=a+bi转换为三角形式？解析：复数z=a+bi的三角形式为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=argz。7.已知复数z₁=2+i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的模和辐角。解析：z₁•z₂=(2+i)•(1-2i)=4-3i，|z₁•z₂|=√(4²+(-3)²)=5，辐角θ=arctan(-3/4)-π=-arctan(3/4)+π。8.什么是复数的几何意义？举例说明。解析：复数在复平面上可以用点或向量表示。例如z=3+4i，可以表示为点(3,4)或从原点到(3,4)的向量。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=1+i，z₂=2-3i，求z₁/z₂的实部和虚部。解析：z₁/z₂=(1+i)/(2-3i)•(2+3i)=(2+3i+2i+3i²)/(4-9)=(-1+5i)/(-5)=1/5-i/5，实部1/5，虚部-1/5。2.若复数z满足|z-1|=2且argz=π/3，求z的代数形式和三角形式。解析：z在复平面上对应点距离(1,0)为2且角度为π/3，坐标为(1+cos(π/3),sin(π/3))=(1+1/2,√3/2)=(3/2,√3/2)，代数形式3/2+√3/2i，三角形式5(cos(π/3)+isin(π/3))。3.已知复数z₁=3+2i，z₂=1-4i，求z₁+z₂和z₁-z₂的模。解析：z₁+z₂=(3+2i)+(1-4i)=4-2i，|z₁+z₂|=√(4²+(-2)²)=√20=2√5；z₁-z₂=(3+2i)-(1-4i)=2+6i，|z₁-z₂|=√(2²+6²)=√40=2√10。4.若复数z满足z²+2z+5=0，求z的模和辐角。解析：z=[-2±√(4-20)]/2=-1±2i，取z=-1+2i，|z|=√((-1)²+2²)=√5，辐角θ=π-arctan(2)=π-atan(2)。5.已知复数z₁=2+i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的模和辐角。解析：z₁•z₂=(2+i)•(1-2i)=4-3i，|z₁•z₂|=√(4²+(-3)²)=5，辐角θ=arctan(-3/4)-π=-arctan(3/4)+π。6.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=3且argz=π/4，求z²的模和辐角。解析：z=3(cos(π/4)+isin(π/4))=3(√2/2+√2/2i)=3√2/2+3√2/2i，z²=9(cos(π/2)+isin(π/2))，模为9，辐角为π/2。7.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁/z₂的模和辐角。解析：z₁/z₂=(1+i)/(1-i)•(1+i)=(1+i)²/(1-i)²=2i/(-2i)=-1，模为1，辐角为π。8.若复数z满足|z|=2且z/(1+i)为实数，求z的取值集合及其模和辐角。解析：z/(1+i)=(a+bi)/(1+i)•(1-i)=(a+b)/(1+i)•(1-i)，要为实数则a+b=0，且|z|=2即a²+b²=4，解得a=±2,b=∓2，z=2i或z=-2i，模为2，辐角为π/2或3π/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.B5.B6.C7.A8.B9.A10.C二、填空题1.512.113.014.3±2i15.016.{2,-2}17.√1018.2√219.120.3/2三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.√27.×28.×29.×30.√四、简答题1.复数z=a+bi在复平面上对应点为(a,b)，|z|表示该点到原点的距离。2.若复数z=a+bi，则其共轭复数为z̄=a-bi。性质：①z+z̄=2a，②z-z̄=2bi，③|z|=|z̄|，④zz̄=|z|²。3.一定有解