河南省许昌市长葛市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省许昌市长葛市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知点B是点A（2，3，4）在坐标平面Oyz内的射影，则=（）A. B.4 C. D.53.已知，则f′（2026）=（）A.0 B.-2026 C.1 D.20264.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=2，公比q=3，若Sn=an+26，则n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.65.已知直线l与圆（x-2）2+（y-3）2=1和圆（x+1）2+（y+1）2=36均相切，则l的方程为（）A.x+2y-23=0 B.x+2y+23=0 C.3x+4y-23=0 D.3x+4y+23=06.法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆C的离心率为，则C的“蒙日圆”的方程为（）A.x2+y2=9或x2+y2=12 B.x2+y2=9或x2+y2=36

C.x2+y2=12或x2+y2=36 D.x2+y2=36或x2+y2=487.已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A，B两点，，点M是C上一点，若存在点T（t,0），使得，则t的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.98.已知函数在区间上单调递增，则实数a的最大值为（）A. B.e C. D.2e二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d,若a1＞0，S5=S11，则（）A.d＜0 B.a8=0

C.Sn的最小值为S8 D.Sn＞0成立的最大正整数n的值为1510.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，D为BC的中点.若P，Q为线段CB1上两点（CP＜CQ），且，则（）A.A1B∥平面AC1D

B.异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为

C.三棱锥B-APQ的体积为定值

D.点A1到平面AC1D的距离为

11.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l,l与y轴交于点G，过F的一条直线交C于A，B两点，点M为线段AB的中点，点P是C上异于原点O的一点，则下列结论正确的是（）A.若等边△OPN的三个顶点都在C上，则△OPN的周长为

B.若∠GPF的角平分线与y轴交于点E，则

C.若点Q是y轴正半轴上一点，且QM⊥AB，则|AB|＞2|QF|

D.若|PG|=t|PF|，当t取得最大值时，△GPF的面积为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f（x）=x3-12x+4，则f（x）的极小值点为

.13.某型号运载火箭的推进剂加注过程中，第1次加注的剂量为3吨，从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多（2n-1）吨（n为加注次数），则第n次加注的剂量为

吨.14.已知点A为双曲线C的右顶点，点Q的坐标为（5a,0），若C上存在一点P（不与点A重合），使得AP⊥PQ，则C的离心率的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆M过点A（0，0），B（6，0），C（6，8）.

（1）求M的标准方程；

（2）若过点D（0，10）的直线l与M交于P，Q两点，且|PQ|=8，求l的方程.16.(本小题15分)

已知数列{an}中，.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn.17.(本小题15分)

已知椭圆C的离心率为，且经过点.

（1）求C的方程；

（2）若O为坐标原点，过点D（4，0）且斜率不为0的直线l与C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABCD，PA=AB=BC=1，.

（1）证明：PA⊥平面ABCD；

（2）已知点E为线段PD上一点（E与P，D不重合）.

（i）若二面角P-AC-E的余弦值为，求的值；

（ii）若B，C，P，E四点均在球O的球面上，求球O表面积的最小值.19.(本小题17分)

已知函数.

（1）当时，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，求a的取值范围；

（3）当a=1时，若xf（x）＞k（x-1）在（1，+∞）上恒成立，求实数k的最大整数值.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】2

13.【答案】n2+2

14.【答案】（1，）

15.【答案】（x-3）2+（y-4）2=25

x=0或3x+4y-40=0

16.【答案】由，可得=+，

则，

又，

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，

故，则，得

17.【答案】解：（1）设椭圆C的半焦距为c,则依题意有，

解得，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）因为直线l过点D（4，0），且斜率不为0，则设直线l的方程为x=my+4，

联立，消去x并整理得（m2+4）y2+8my+12=0，

由Δ=16（m2-12）＞0，解得，或，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

所以．

所以△OAB面积，

令，则m2=t2+12，

所以，当且仅当t=4，即m2=28时，等号成立，

所以△OAB面积的最大值为1．

18.【答案】证明：由BC⊥平面PAB，AB，PA⊂平面PAB，

得BC⊥AB，BC⊥PA，

在平面ABCD中，BC⊥AB，AB=BC=1，

则，又，

则AC2+CD2=4=AD2，AC⊥CD，∠CAD=45°，

由平面PAC⊥平面ABCD，

平面PAC∩平面ABCD=AC，CD⊂平面ABCD，

得CD⊥平面PAC，

又PA⊂平面PAC，则CD⊥PA，而BC∩CD=C，BC，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD

（i）由（1）知∠BAD=90°，即AD⊥AB，又PA⊥平面ABCD，

即直线AB，AD，AP两两垂直，

以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），

，

设，则，

设平面ACE的法向量为，

则，则，

取y0=1-λ，则，

由（1）CD⊥平面PAC，

得为平面PAC的一个法向量，记，

由题意得，

整理得3λ2+2λ-1=0，

则，所以．

（ii）由（i）知，即E（0，2λ，1-λ），

设球O的球心坐标为O（x,y,z），半径为R，

则OB=OC=OP=O