27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　利用指数、对数函数模型解决实际问题

10利用指数、对数函数模型解决实际问题高频考点利用函数模型解决实际问题时,一般有“应用已知的函数模型解决实际问题”和“根据条件建立

函数模型解决实际问题”两种类型.(1)对于应用已知的函数模型解决实际问题的题目,注意模型的适用条件(如:在对数函数模型中,求与自

变量有关的范围问题时需考虑自变量大于0).(2)对于根据条件建立函数模型解决实际问题的题目,选择和建立恰当的函数模型是解题的关键,一般

通过绘制散点图,将实际问题中的两个变量间的变化规律(如增长的快慢等)与函数的性质(如单调性、

最值等)、图象的走势(上升、下降的缓急等)相结合确定函数模型,再利用待定系数法求出函数解析式,

进而解决问题.此外,用得到的函数模型进行拟合时,可能误差较大或不符合客观实际,因此要对所得函数模型进行检验,切忌盲目下结论.勘破疑难1.用函数模型预测的结果和实际结果可以有误差,好的函数模型预测的结果与实际结果误差较小.2.根据得出的解结合实际含义确定实际问题的解,如得出的解满足实际含义,那么它就是实际问题的解,

否则要根据实际含义进行修正,得到实际问题的解.典例环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.在一段平坦的国道上对某型号电动

汽车进行测试,国道限速80km/h(不含80km/h).经多次测试,得到该电动汽车每小时耗电量M(W·h)与平

均速度v(km/h)的数据如表:v0104060M0132544007200为了描述国道上该电动汽车每小时耗电量与平均速度的关系,现有以下三种函数模型供选择(a,b,c均为

常数):M=

v3+bv2+cv,M=1000

+b,M=300logav+b(a>0,且a≠1).(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格中数据的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)现有一辆同型号的电动汽车从A地驶到B地,前一段是200km的国道,后一段是50km的高速路,已知

高速路上该汽车每小时耗电量N(W·h)与平均速度v(km/h)的关系是N=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何

行驶才能使得总耗电量最少?最少为多少?思路点拨

(1)结合表中数据,从函数的定义域、单调性等方面选择函数模型,再由相关条件(点的坐标),

用待定系数法求出函数解析式,验证其余各点的坐标也满足函数解析式;(2)应用条件求出经过两段道路的时间,利用函数解析式分段计算函数的最小值,进而解决问题.解析

(1)对于M=300logav+b,当v=0时,无意义,所以不符合题意;对于M=1000

+b,它显然是一个减函数,根据题表中的数据可知,M随v的增大而增大,所以不符合题意,故选择M=

v3+bv2+cv.根据题表中的数据,可得

解得

故M=

v3-2v2+150v,经检验,当v=0和v=60时,该函数解析式同样适用.(2)设国道上的平均速度为v1km/h,由国道路段长为200km,可知所用时间为

h,设国道上所耗电量为f(v1)W·h,则f(v1)=

·

-2

+150v1

=5(

-80v1+6000)=5(v1-40)2+22000(0≤v1<80),所以f(v1)min=f(40)=22000;由高速路段长为50km可得所用时间为

h,设高速路上所耗电量为g(v)W·h,则g(v)=

·(2v2-10v+200)=100

=100

-500(80≤v≤120),由对勾函数的性质知g(v)在[80,120]上单调递增,所以g(v)min=g(80)=100×

-500=7625.故当这辆汽车在国道上的平均速度为40km/h,在高速路上的平均速度为80km/h时,总耗电量最少,最少

为22000+7625=29625(W·h).素养解读数学建模主要考查数学建模能力及分析、解决问题的能力,是综合提升数学学