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04分段函数及其应用高频考点分段函数的有关概念定义在函数的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,

函数有着不同的对应关系,那么我们称这样的函数

为分段函数定义域各段函数的自变量的取值范围的并集值域各段函数在对应自变量的取值范围内的值域的并

集特别提醒

分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,且必须指明各段函数自变量的取

值范围,各段自变量的取值范围的交集为⌀.1.求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式,直到求出值为止.2.已知分段函数的解析式求参数的值(1)按照分段函数的“分段”对参数分类讨论,分别利用函数解析式解方程求得参数的值.(2)先判断每一段上的函数值的范围,确定使用哪段解析式,再求解.3.解与分段函数有关的不等式(1)与2中的(1)同理,分段利用函数解析式解不等式求得参数的取值范围.(2)在同一平面直角坐标系中作出分段函数与另一函数的图象,数形结合求解.勘破疑难

1.研究分段函数时,应注意“先分后合”,即先由定义域分段考虑,再合并整体把握.2.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外逐个求解,有时候要利用换元法.3.作分段函数的图象时,要注意每段函数图象的端点是空心圈还是实心点,保证不重不漏.典例

(1)已知f(x)=

若f(1-a)=f(1+a),a≠0,求a的值.(2)已知f(x)=

若f(f(a))≤-1,求实数a的取值范围.解析

(1)为了找到对应区间,得到该段的解析式,需对参数分类讨论.f(1-a)=f(1+a)可化为

或

即

(舍去)或

因此a=-

.(2)解法一:令t=f(a),则f(t)≤-1.当t<0时,可得-t-2≤-1,解得t≥-1,所以-1≤t<0.当t≥0时,可得t2-1≤-1,解得t=0.综上,-1≤t≤0,即-1≤f(a)≤0.当a<0时,可得-1≤-a-2≤0,解得-2≤a≤-1.当a≥0时,可得-1≤a2-1≤0,所以0≤a2≤1,又a≥0,所以0≤a≤1.所以实数a的取值范围是[-2,-1]∪[0,1].解法二:作出函数f(x)的图象,如图所示.

令t=f(a),则f(t)≤-1.由图可知,-1≤t≤0,即-1≤f(a)≤0,再结合图象可知,-2≤a≤-1或0≤a≤1,所以实数a的取值范围是[-2,-1]∪[0,1].方法总结解关于分段函数的方程、不等式问题时,当自变量的取

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