27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第二章　利用基本不等式证明不等式

04利用基本不等式证明不等式疑难点利用基本不等式证明不等式的常见题型及解题策略(1)对称型不等式的证明①结构特征:式子中变量的地位完全平等,交换任意两个变量后,式子保持不变.常见形式包括完全对称

式:a+b+c≥

+

+

,也包括轮换对称式:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(其中a,b,c>0).②证明思路:在所有变量均为正数的前提下,将原式拆分为若干组对称的两项(如a和b),然后对每组对称

项单独应用基本不等式,得到同向不等式,最后将所有同向不等式左右两边分别相加或相乘,化简得到

目标不等式,注意检验等号能否同时取到.(2)无附加条件的分式型不等式的证明①结构特征:式子中含有分式项,变量的地位通常对称,交换变量后分式结构保持不变.常见形式有

+

≥a+b,

+

≥2(其中a,b>0).②证明思路:在所有变量和分式均为正数的前提下,若分子的次数=分母的次数,则直接应用基本不等式

进行证明;若分子的次数>分母的次数,则将分式项与对应的整式项组合,构造“积为定值”的结构,对每

一组配对后的项单独应用基本不等式,得到同向不等式,再将所有同向不等式左右两边相加,消去中间

项后化简得到目标不等式,注意检验等号能否同时取到.(3)含定值条件的不等式的证明①结构特征:题目给出了“和为定值”或“积为定值”的条件,待证式多为分式和、整式乘积、平方和

或根式和的形式,变量地位通常对称.②证明思路:在所有变量和分式均为正数的前提下,若题中条件为“和为定值”,则将待证式乘该定值

(即“1”的代换),展开后分组应用基本不等式放缩;若题中条件为“积为定值”,则直接套用a+b≥2

(a,b>0)进行证明,注意检验各步等号成立的条件是否相同.(4)含平方和的不等式的证明①结构特征:式子以a2+b2,a2+b2+c2等平方和为核心结构,常与ab,a+b,a+b+c等关联,变量地位通常对称.如

a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c>0).②证明思路:在所有变量为正数的前提下,基础形式直接套用a2+b2≥2ab;若关联线性和,则可利用变形式

a2+b2≥

放缩;多元平方和则通过分组配对应用基本不等式后叠加化简,注意检验等号能否同时取到.(5)配凑型不等式的证明①结构特征:式子结构不规整,缺乏明显的对称或分式特征,常需通过拆项或补项构造和(积)为定值.②证明思路:在构造出的用于应用基本不等式的项满足正数的前提下,通过拆项、补项引入与原式相关

的项,构造出可直接应用基本不等式的“和定”或“积定”结构,然后对构造后的式子应用基本不等式

放缩,化简得到目标不等式,注意检验等号能否同时取到.勘破疑难利用基本不等式证明不等式时,先观察题中要证明的不等式的结构特征,然后结合已知条

件,通过配凑、变形等手段构造出符合基本不等式“一正、二定、三相等”条件的形式,另外,多次运

用基本不等式时,要注意不等号的方向是否一致,等号能否同时取到.典例

(1)已知a,b,c均为正实数,求证:

+

+

≥a+b+c.(2)已知x,y为正实数,且满足x+y=1,证明:

+

≥

.思路点拨从题中条件及待证不等式的结构考虑,选择相应的方法进行证明.证明

(1)∵a,b,c均为正实数,∴利用基本不等式可得

+b≥2a(当且仅当a=b时,等号成立),

+c≥2b(当且仅当b=c时,等号成立),

+a≥2c(当且仅当a=c时,等号成立),∴

+b+

+c+

+a≥2a+2b+2c,即

+

+

≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.(2)∵

+

=

(