27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第三章　函数值域的求解

02函数值域的求解重难点求函数值域的常用方法(1)直接法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征,由自变量的范围逐步运算求出函数

值的范围得到值域.(2)图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域.(3)配方法:与二次函数有关的函数,通常把函数式通过配方转化成完全平方式与常量的和(差)的形式,进

而求出函数的值域(注意函数的定义域).(4)换元法:形如y=ax±b±

的无理函数,可用换元法,即令t=

,用t表示出x,然后代回原解析式中,转化成我们熟悉的关于t的函数再求值域.(5)分离常数法:

型函数

、

型函数

形如y=

,am≠0,ax2+bx+c≠0

可用分离常数法,即将分子中含x的项分离,使分子不含x,再借助反比例函数的图象与性质确定分离后的函数的值域,即原函数的值域.(6)基本不等式法:对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求值域.(7)判别式法:形如y=

(a,m中至少有一个不为0)或y=Ax+B

的函数可用判别式法,即对解析式进行变形,整理为关于x的方程,利用方程有解求值域.若整理后的方程二次项系数不为0,则利

用判别式Δ≥0得到函数的值域;若二次项系数为0,则利用一次方程有解得出函数的值域.(8)反表示法:将函数的自变量用因变量表示,结合原函数的定义域解不等式,从而求出函数的值域.勘破疑难

1.利用分离常数法求值域时,若分离较为困难,则可将分子或分母看作一个整体,用一个字母

代替,即换元后再分离常数.2.利用判别式法求分式型函数的值域时要注意三点:①若分母对应的Δ<0,则可直接使用判别式法求解;

②若分母=0有解,且分子、分母不能约分,则也可直接使用判别式法求解;③若分母=0有解,且分子、分

母有可以约掉的因式,则一定要先约去相同因式再利用判别式法求解,此时要注意自变量的取值范围为

原函数中自变量的取值范围.典例求下列函数的值域:(1)y=

;(2)y=

;(3)y=

;(4)y=2x+1-4

.解析

(1)对于y=

,由16-x2≥0,解得-4≤x≤4,∴函数的定义域为[-4,4].由-4≤x≤4,得0≤x2≤16,∴-16≤-x2≤0,∴0≤16-x2≤16,从而0≤

≤4,故函数y=

的值域为[0,4].(2)解法一(分离常数法):y=

=

=2+

,显然

≠0,∴y≠2,故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).解法二(反表示法):由y=

得x=

,由

有意义得y-2≠0,∴y≠2,故原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).(3)解法一(分离常数法):易得函数的定义域为R,y=

=

=2-

.∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,∴0<

≤

,∴-

≤2-

<2,∴函数y=

的值域为

.解法二(判别式法):∵x2+2x+3>0恒成立,∴y=

可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,当y=2时,等式不成立;当y≠2时,上式为关于x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即4(y-2)2-4(y-2)(3y+7)≥0,即2y2+5y-18≤0,解得-

≤y≤2,∵y≠2,∴-

≤y<2.∴函数y=

的值域为

.(4)换元法:设t=

,则t≥0,x=t2+1,∴y=2(t2+1)+1-4t=2t2-4t+3=2(t-1)2+1,∴当t=1时,函数取得最小值1,∴函数的值域是[1,+∞).易错警示求函数的值域时,务必遵循“定义域优