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文档简介

12幂函数的图象和性质的应用重难点幂函数的图象与性质和α的相互确定幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.反过来,

也可由幂函数的性质去限制α的取值:利用幂函数的单调性求出α的取值范围;由奇偶性结合所给条件确

定α的值.幂函数y=xα在第一象限内的图象与性质和α的关系如图所示:

图象恒过点(1,1);当α>0时,函数在第一象限内单调递增,且图象过点(0,0);当α<0时,函数在第一象限内单调递减,且与坐标轴无交点;在直线x=1的右侧,幂函数的指数由下向上逐渐增大,即“指大图高”注:利用幂函数的定义域、奇偶性及其在第一象限内的图象可确定它在其他象限内的图象.知识拓展幂函数y=

的图象与性质

如下表:

q,p都是奇数p为奇数,q为偶数p为偶数,q为奇数在(0,+∞)上的单调性

<0

单调递减0<

<1

单调递增

>1

单调递增奇偶性奇函数非奇非偶函数偶函数

典例已知幂函数f(x)=(k2+2k-2)

(m∈N*)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.(1)求m和k的值;(2)若(2a+1)-m<(3-2a)-m,求实数a的取值范围.解析

(1)因为f(x)=(k2+2k-2)

(m∈N*)为幂函数,所以k2+2k-2=1,解得k=-3或k=1.因为f(x)=(k2+2k-2)

(m∈N*)在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3,又m∈N*,所以m=1或m=2,当m=1,k=-3或k=1时,f(x)=x-4,其定义域为{x|x≠0},且f(x)为偶函数,符合题意;当m=2,k=-3或k=1时,f(x)=x-3,其定义域为{x|x≠0},且f(x)为奇函数,不符合题意.故m=1,k=-3或k=1.(2)由(1)可知m=1,则不等式为(2a+1)-1<(3-2a)-1,易知y=x-1在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递减.分三种情况讨论:①当2a+1<0<3-2a,即a<-

时,原不等式成立;②当2a+1<0,且3-2a<0时,有2a+1>3-2a,即

无解;③当2a+1>0,且3-2a>0时,有2a+1>3-2a,即

解得

<a<

.综上,a的取值范围为

∪

.解后反思利用幂函数的性质求参数的关键点:(1)明确幂函数的标准形式,确保系数为1,这是判定幂函数的前提;(2)根据已知条件初步限定参数的取值范围,再结合函数的奇偶性,通过指数的奇偶特征进一步缩小参

数范围;(3)依据幂函数在(0,+∞)上“指数为正则单

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