27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　指数函数单调性的应用

03指数函数单调性的应用高频考点1.指数幂的大小比较(1)当底数相同,指数不同时,可直接利用指数函数的单调性来比较.(2)当底数不同,指数相同时,可利用幂函数的单调性或底数不同的指数函数图象的变化规律来比较,其

中指数函数的底数对图象的影响如图:

(3)当底数不同,指数也不同时,常借助中间值

来比较.2.解指数不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可直接利用y=ax(a>0,且a≠1)的单调性转化为f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))求解.(2)形如af(x)>b的不等式,可将b转化为以a为底数的指数幂的形式,即b=at,从而将问题转化为解不等式af(x)>

at,再利用(1)中的方法求解即可.(3)形如f(ax)>0的不等式,可运用换元法令t=ax,先解不等式f(t)>0得t的范围,即得ax的范围,再由此求解即

可.(4)形如ax>f(x)的不等式,可借助函数y=ax(a>0且a≠1)与y=f(x)的图象,转化为求y=ax的图象在y=f(x)的图

象上方的部分对应的x的取值范围.勘破疑难在比较指数幂的大小时,可先判断每个数是大于1,等于1,还是介于0和1之间,这样可以判断部分值的大

小.在同一范围内的值,再用左栏的方法进一步比较.解题关键破解指数不等式问题的关键:一是转化与化归思想,即先将异底化同底,再借助指数函数的单调性“脱

去”底数;二是分类讨论思想,当底数含有参数时,要注意分类讨论.典例1已知a=

,b=

,c=

,则a,b,c的大小关系是

()A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.c>a>b

A

思路点拨观察发现,c变形后可与b的底数相同,进而利用指数函数的单调性比较大小;a与b的底数和

指数均不相同,考虑借助中间值比较大小.解析

c=

=

=

.对于b与c,因为y=

在R上单调递减,且

<

,所以

>

,即b>c.对于a与b,因为y=

(x>0)单调递增,且

>

>

,所以a=

>

>

=b.综上,a>b>c.名师点睛

1.在进行指数式的大小比较时,若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,能化同底数的尽

可能化同底,然后根据指数函数的单调性得出结果.2.利用中间值比较大小时常选取0,

,1,但求解时需根据具体情况而定,如本题中选取

为中间值.典例2已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数,且对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),都有

>0,则关于x的不等式f(4x+1)<f(2x-5)的解集为________________.

(-∞,1)

思路点拨根据题中信息得到函数f(x)的性质,结合f(x)的性质脱去不等式中的“f”,转化为解指数型不

等式,然后利用换元法进行求解.解析因为f(x+1)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=1对称.因为对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),都有

>0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,故|4x+1-1|<|2x-5-1|,即4x<|2x-6|.当2x≥6时,不等式为4x<2x-6,即

-2x+6<0.令2x=t,则t2-t+6<0,因为Δ=1-24<0,所以不等式无解.当2