27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　对数函数单调性的应用

07对数函数单调性的应用高频考点1.对数值的大小比较(1)当底数相同,真数不同时,可直接利用对数函数的单调性来比较.(2)当底数不同,真数相同时,可利用换底公式转化为同底数或利用底数不同的对数函数图象的变化规

律来比较,对数函数的底数对图象的影响如图:

(3)当底数不同,真数也不同时,可利用换底公式化为同底数或借助中间量

一般为0,±1,

或利用糖水不等式来比较.知识拓展对数糖水不等式:若a>b>1,m>0,则logab<log(a+m)(b+m).证明:logab=

<

=

=

<

=log(a+m)(b+m).注意:对数糖水不等式及其倒数形式在大题中不能直接使用,使用时需要写出完整过程.2.解对数不等式(1)形如loga

f(x)>logag(x)的不等式,可借助y=logax的单调性将对数不等式化为f(x)>g(x)(或g(x)>f(x))再求

解(其中a>0且a≠1;f(x)>0;g(x)>0).(2)形如loga

f(x)>b的不等式,可将b转化为以a为底数的对数,即b=logaab,从而将原不等式转化为loga

f(x)>

logaab,再利用(1)中的方法解决即可(其中a>0且a≠1;f(x)>0).(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,可利用换底公式化为同底数的对数进行求解,或利用底数不同的对数函数图象的变化规律来求解(其中a>0且a≠1;f(x)>0且f(x)≠1;g(x)>0且g(x)≠1).(4)形如f(logax)>0的不等式,可运用换元法令t=logax,先解不等式f(t)>0,再由logax>b(<b)求解.用换元法时

要特别注意新元的取值范围(其中a>0且a≠1).勘破疑难1.多个对数值比较大小时,可先利用特殊值(如0、1等)界定各对数值所在的范围,范围不同可直接确定

大小关系,对于同一范围内的对数值可通过构造函数比较大小.2.指数值与对数值通常通过中间量来比较大小.3.若底数为同一参数,则需对底数进行分类讨论.解题关键破解对数不等式问题的关键①转化与化归思想的应用,即先将异底化同底,再借助对数函数的单调性“脱去”底数;②不要忽略真数大于0,不能只保证变形后的对数式中的真数大于0,还要保证原不等式中的真数大于0;③分类讨论思想的应用,若底数含有参数,要注意分类讨论.典例1若a=log23,b=log34,c=log45,则a,b,c的大小关系为

()A.a<b<c

B.b<c<a

C.a<c<b

D.c<b<a

D

思路点拨

思路一:因为a,b,c的底数和真数均不相同,且a,b,c均大于1,数值相近,所以不易通过中间量比

较大小,因此考虑化为同底数的对数比较大小.思路二:利用作差法比较大小.思路三:由对数糖水不等式

的倒数形式直接求解.解析

解法一:c=log45=

log25=log2

,∵f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,且

<3,∴c<a,排除A,C.b=log34=log3

=1+log3

,c=log45=log4

=1+log4

,∵log3

>log3

,log3

>log4

,∴log3

>log4

,∴b>c,排除B.D正确.解法二:a-b=log23-log34=

-

=

>

=

>0,即a>b.b-c=log34-log45=

-

=

>

=

>0,即b>c.因此a>b>c.解法三:由对数糖水不等式的倒数形式可直接得log23>log34>log45,即a>b>c.方法总结当两个对数的底数与真数都不相同时,还可通过作差(作商)比较大小,一般思路为先利用换

底公式化为同底数的对数,然后利用基本不等式将两个对数的积进行放缩,从而确定差(商)的符号,进而

得到两个对数的大小关系.典例2解下列不等式.(1)log2(2x+3)≥log2(5x-6);(2)loga(2a+1)<loga(3a)<0(a>0且a≠1).解析

(1)原不等式等价于

解得

<x≤3,所以原不等式的解集为

.(2)loga(2a+1)<loga(3a)<0等价于loga(2a+1)<loga(3a)<loga1.底数含有参数,需分a>1和0<a<1两种情况讨论.当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,所以原不等式等价于0<2a+1<3a<1,无解;当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减