27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第二章　含参一元二次不等式的解法

05含参一元二次不等式的解法重难点1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式为一元二次不等式,其一般形式是ax2+bx+c>0

或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,且a≠0).Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象

ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根

x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=

x2=-

没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1,或x>x2}

x

x≠-

Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀2.“三个二次”之间的关系可以发现,ax2+bx+c≥0(或≤0)(a≠0)的解集的端点⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根⇔函数y=ax2+bx+c

(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.1.解无附加条件的含参一元二次不等式对于无附加条件的含参一元二次不等式,一般要进行分类讨论,步骤如下:

确定方程根的方法:公式法、因式分解法(常用“十字相乘法”).2.以一元二次不等式的解集为条件的不等式含参问题解决此类问题需结合“三个二次”之间的关系,其一般步骤如下:(1)由解集的形式确定二次项系数的正负(如:一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<x1或x>x2}(x1<x2),

则a<0);(2)解集的端点值对应一元二次方程的根,结合根与系数的关系将b,c用a表示;(3)将用a表示的b,c代入到所求不等式中,结合(1)中a的符号约去a后得到不含参的不等式,解不等式即

可.勘破疑难解无附加条件的含参一元二次不等式时,可遵循“先定型,再定根,后定区间”的逻辑顺序,确保讨论无

重复、无遗漏,确定区间时,注意强化数形结合意识.知识拓展“十字相乘法”对于二次三项式ax2+bx+c,若能够找到a1,a2,c1,c2满足a=a1a2,c=c1c2,且b=a1c2+a2c1,则有ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2

+a2c1)x+c1c2.为了便于理解,我们将a=a1a2与c=c1c2的因子排成如下方式:

典例1

(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},则

(

)A.函数y=ax2+bx+c的图象有最高点B.5a+

b+c>0C.6b=-5cD.bx2+a|x|-c>0的解集为

ABD

解析由已知得a<0,-1和3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得

所以b=-2a,c=-3a.对于A,由a<0知函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以有最高点,故A正确.对于B,易知-1<

<3,所以当x=

时,5a+

b+c>0,故B正确.对于C,因为b=-2a,c=-3a,所以6b=-12a=4c,故C错误.对于D,不等式bx2+a|x|-c>0,即-2ax2+a|x|+3a>0,即2x2-|x|-3>0,解得|x|<-1(舍去)或|x|>

,解得x>

或x<-

,所以不等式的解集为

,故D正确.名师点睛解D选项中的不等式时,将不等式看成关于|x|的一元二次不等式,避免了对x正负的讨论,简

化了计算,但同时要注意|x|≥0这一隐含条件.典例2解下列关于x的不等式.(1)ax2-x+a<0(a<0);(2)ax2-(1-2a)x-2<0.解析

(1)对于一元二次方程ax2-x+a=0,a<0,其判别式Δ=1-4a2.当Δ=0,即a=-

时,不等式为-

x2-x-

<0,即(x+1)2>0,解得x≠-1,所以不等式的解集为{x|x≠-1}.当Δ>0,即-

<a<0时,方程ax2-x+a=0的两根分别为x1=

,x2=

,且x1>x2,所以不等式的解集为

x

x<

或x>

.当Δ<0,即a<-

时,不等式的解集为R.综上(注意检查对a的讨论是否完整,并且答案要写成集合的形式),当a<-

时,不等式的解集为R;当-

<a<0时,不等式的解集为

x

x<

或x>

;当a=-

时,不等式的解集为{x|x≠-1}.(2)不等式ax2-(1-2a)x-2<0,即(ax-1)(x+2)<0.当a=0时,不等式为-x-2<0,解得x>-2.当a>0时,不等式可化为

(x+2)<0,解得-2<x<

.当a<0时,不等式可化为

(x+2)>0,当-

<a<0时,解得x<

或x>-2;当a=-

时,解得x≠-2;当a<-

时,解得x<-2或x>

.综上,当a>0时,原不等式的解集为

x

-2<x<

;当a=0时,原不等式的解集为{x|x>-2};当-

<a<0时,原不等式的解集为

x

x<

或x>-2

;当a=-

时,原不等式的解集为{x|x≠