北师大版九年级数学上册《第三章图形的相似》单元测试卷（带答案解析）

第页北师大版九年级数学上册《第三章图形的相似》单元测试卷（带答案解析）一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF，若S△DEF＝1、则S△ABC＝（）A．2 B．4 C．6 D．82．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验.图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A'B'(点A，B的对应点分别是A'，B')，且AB⊥A'B，A'B'⊥A'B，若AB＝10cm，P到A'B的距离PQ＝6cm，则A'B'长为（）A．12cm B．13.5cm C．15cm D．18cm3．如图，直线l1∥l2∥l3分别交直线l4，l5于点A，B，C，D，E，F，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（）A．3 B．4 C．4.5 D．64．如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点根据以上作图，若AD=4，DB=2，A．1123 B．112 C．55．如图，五边形ABCDE,A′B′C′D′E′是以坐标原点A．72 B．4 C．926．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，2)，B（-4，1)，C（-1，-1)，以点C为位似中心，在x轴下方作把△ABC放大为原来的2倍的位似图形△A'B'C'，则点B'的坐标为（）A．（3，-7) B．（5，-7)C．（5，-5) D．（2，-5)7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，BC=12，点E在CD上，且DE=2，连接OE，并延长与AD的延长线相交于点F，则DF的长为()A．5 B．6 C．7 D．88．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接AC，BE交于点F.若AE=2 cm，A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm9．如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于E，连结AC、DE交于F，若AB=6，EF：DF=2：3，则BC=（）A．5 B．185 C．4 D．10．已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE交FG于点M.若S△BFG=aA．7−33 B．14−63 C．6−33二、填空题（每题3分，共18分）11．若yx=3412．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高ADCD=12,13．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为m．14．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为.15．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC的延长线上，以CE为边，在CE上方构造正方形CEFG，连接AF与BF，分别交CD于点M和点N.若CE=1，则△MNF的面积是.16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，已知∠AEB＝∠DFE＝∠BFE，且AB＝4，BC＝6，DE＝2，DF＝1，则BE的长为．三、解答题（共8题，共72分）17．如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题：（1）将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB=2，BC=4，EF与AD交于点G，求FG的长.18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（格点的交点）.已知点A和A1的坐标分别为(-1，-3)和(2，6).⑴在所给的网格图中描出边AB的中点，并写出D点的坐标；⑵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,，E是AB上一点，且.∠BDE=∠BAD.（1）求证：△ADE∽△ACD;（2）若.AC=4，AD=6，BE=3，求AE，BD的长.20．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得DE=32m.（1）求证：△ABC∽△EDC.（2）求河宽AB的长.21．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B.（1）求证：△ABD∽△ADE.（2）若AE=4，AB=9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积.22．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.（1）求证：DE-BF=EF；（2）若AB=2，BG=1，求线段EF的长.23．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG.（1）求证：CG=AG；（2）求证：A（3）若GE=324．在△ABC和△ADE中AB=AC，（1）如图①将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，线段BD与CE总保持相等的数量关系，请说明理由.（2）如图②∠BAC=∠DAE=90°，（3）在②的条件下，在旋转过程中，点P为射线BD与射线CE的交点，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值.参考答案解析1．【答案】B【解析】【解答】解：点D、E分别是AB、∴DE∥AC,DE=1∴△BDE∽△BAC∴S同理可证，S∴S由S△DEF∴S△ABC【分析】先根据三角形的中位线定理得到△BDE∽△BAC，根据面积比等于相似比的平方得到S△BDES△BCA2．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB⊥∴AB∥PQ∥∴△∴A∴BQ∵△BPQ∽△B∴QP∴A'故答案为：C.【分析】根据垂直得到AB∥PQ∥A'B3．【答案】D【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ABBC=DEEF，即24=3EF，解得EF=6.

故答案为：D.

【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），得出比例式代入求值即可．4．【答案】D【解析】【解答】解：连接DE

由作法得CD平分∠ACB∴∠ECD=∠FCD(角平分线的定义)∵EF垂直平分CD∴CE＝DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)∴∠ECD=∠EDC∴∠FCD=∠EDC∴DE//BC∴△ADE~△ABC

∴AD∵AD=4∴4∴DE=22∴CE=DE=22∴4∴AE=42.故答案为：D.【分析】连接DE，首先根据尺规作图，可得出CD平分∠ACB，EF垂直平分CD，从而得出∠FCD=∠EDC，进而可得出DE∥BC，即可得出△ADE~△ABC，进而ADAB5．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示∴OA=2、OA'=3

∵五边形ABCDE,A′B′C′D′E′是以坐标原点6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得：△ABC∽△A'∴∴∴∴B故答案为：C.【分析】根据平面直角坐标系内位似图形的性质解答即可．7．【答案】B【解析】【解答】解：取AD中点N，连接ON∵O是BD中点，N是AD中点∴ON是△ABD中位线ON∥AB∵AB∥CD∴ON//CD∴△FDE∽△FNO设DF=x，则FN=FD+DN=x+6DE2解得：2(x+6)=4x2x+12=4x2x=12x=6∴DF=6．故答案为：B.【分析】取AD中点N，连接ON，根据平行四边形的性质得到ON是△ABD的中位线，即可求出ON和DN长，然后根据平行线得到△FDE∽△FNO，根据对应边成比例解答即可．8．【答案】C【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中AD∥BC∴△AEF∽△CBF∴AE∵AE=2∴AD=AE+ED=2+4=6∴BC=AD=6∴2∴FC=9(cm)．故答案为：C.【分析】根据矩形的性质可得△AEF∽△CBF，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可．9．【答案】C【解析】【解答】解：由作图可得AD=AE∵ABCD是矩形∴AB∥CD，AD=BC，AB=CD=6∴△AEF∽△CDF∴AE：CD=EF：DE=2：3∴AE=4∴AD=BC=4故答案为：C.【分析】根据作图和矩形的性质可得AD=AE=BC，AB∥CD，即可得到△AEF∽△CDF，根据对应边成比例求出AE长解答即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：

∵DE∥AB

∴△DMF~△BGF

∴S△DMFS△BGF=DFBF2=1a2

∴DFBF=1a，即BF=aDF

∴BD=BF−DF=a−1DF​​​​​​​

∵GF∥AC

∴△DMF~△DEC

∴S△DMFS△EC=DFDC2=14a2

∴DFDC=12a，即DC=2aDF

∴BC=BD+DC=故答案为：B.【分析】先由三角形相似的预备定理可得△DMF~△BGF，再由面积比等于相似比的平方可得DF与BF的比值，同理可得DF与DC的比值，即DC与BC的比值可得，再由三角形相似的预备可得△DEC~△BAC，再结合已知可得S∆BAC=3a+12，再利用割补法可得S四边形11．【答案】5【解析】【解答】解：∵yx故答案为：5【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答.12．【答案】1【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°

∴∠ACD+∠BCD=90°

∵CD⊥AB

∴∠ACD+∠A=90°

∴∠BCD=∠A

∴△ACD~△CBD

∴ADCD=CDBD=12

设AD=1，则CD=2，BD=4，得AC=5

又∵△ACD~△ABC

∴ACAB=5513．【答案】10【解析】【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，如图所示：

则BH⊥CD∴∠BGD=∠BHF=90°由题意得，AB=CG=EH=1.6m，AC=BG=2m，CE=GH=10m∴BH=BG+GH=12m∵CD=3m∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4m∵∠DBG=∠FBH∴△BDG∽△BFH∴DG∴1.4解得：FH=8.4∴EF=FH+EH=10m∴大树的高度EF为10m故答案为：10.

【分析】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，易得△BDG∽△BFH，由相似三角形的性质可得DGFH14．【答案】185【解析】【解答】解：如图，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°

∵DF=DC∴CH=FH=12∵AD//BC，∠B=90°∴∠B=∠GAE=90，∠B+∠BAD=180°∴∠B=∠BAD=∠BHD=90°∴四边形ABHD是矩形∴AB=DH=8，AD=BH∵∠AEG=∠BEC∴∆AEG~△BEC∴AG∴AB=8，AE=3∴BE=5∴AG∴AG=12∵AD//BC∴∠G=∠BCE∵∠DCE=∠BEC∴∠G=∠DCE∴CD=CG

设CH=FH=x，则AD=BH=4+x

∴CD=GD=4+x+125=x+由勾股定理得CD2=CH2+DH2

∴(x+325)2=x2故答案为：185【分析】延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一的性质可得

CH=FH=12CF，结合角度的和差运算可证明四边形ABHD是矩形，所以AB=DH=8，AD=BH，又∠AEG=∠BEC，则可证∆AEG~△BEC，利用相似三角形的性质计算可得AG=125，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，CD=GD=x+15．【答案】3【解析】【解答】解：如图，延长FG交AB于点R

∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形

∴AB∥CD∥EF，GF∥CE，∠E=90°

∴FR∥BE，BR∥EF

∴四边形BRFE是矩形

∴FR⊥AB，FR=BC+CE=4

又∵CD∥AB

∴△FMN∽△FAB

∵GFFR=14

∴S△FMNS△FAB=116

∵【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算.先利用正方形的性质求出△FAB底边AB上的高FR，计算△FAB的面积；再利用平行线判定三角形相似，计算相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.16．【答案】2【解析】【解答】解：延长CD、BE交于点M，过点E作EN⊥CM∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC=6，∴AE=AD−DE=6−2=4又∵AB=4∴AB=AE∴∠AEB=∠ABE。∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CME。又∵∠AEB=∠DEM∴∠CME=∠DEM∴DE=DM=2。∵∠DFE=∠BFE，∠DFE=∠CME∴∠BFE=∠CME∴∵EN⊥CM，∴N为MF的中点。∵DF=1，DM=2∴MF=DM+DF=3∴∴DN=FN−DF=3在RtΔDEN中，由勾股定理得：EN=D在RtΔMEN中，由勾股定理得：ME=M∵AB∥CD∴ΔDME∽ΔABE∴MEBE即6BE=故答案为：2【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理。通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用等腰三角形三线合一求出相关线段长度，再结合勾股定理和相似三角形的性质计算BE的长。17．【答案】（1）图形如图所示：（2）解：∵在矩形ABCD中∴∠ABC=∠D=90°由（1）知△AEF≌△ABC∴AE=AB=2∵∠CAD=∠EAG∴△AEG∽△ADC∴AE∴2∴EG=1∴FG=4−1=3．【解析】【分析】本题考查图形的旋转作图与相似三角形的判定及性质。

（1）作图时以A为圆心、AB长为半径画弧，与AC的交点即为点E，再以A为圆心、AC长为半径画弧，结合旋转角相等的特点确定点F的位置，连接EF即可得到旋转后的三角形；

（2）先根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形的内角特征证明ΔAEG与ΔADC相似，利用相似三角形对应边成比例求出EG的长度，再由EF与BC相等，通过线段差求出FG的长。18．【答案】解：⑴如图所示，点D即为边AB的中点，点D的坐标为(-2，-1)；⑵如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形.【解析】【分析】（1）利用网格特点及矩形的对角线互相平分，可得到点D的位置，并写出点D的坐标..

（2）利用位似的定义，将△ABC以O为位似中心，将△ABC放大2倍，可得到点B、C的对称点，然后画出△A1B1C1即可.19．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC∴∠DAE=∠CAD∵∠BDE=∠DAE∴∠BDE=∠CAD∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC∴∠ADE=∠C∵∠CAD=∠DAE∴△ADE∽△ACD．（2）解：∵△ADE∽△ACD∴ADAC=AEAD∵∠BDE=∠CAD∴∠BDE=∠BAD∵∠B=∠B∴△ABD∽△DBE∴ABBD=∴9+3BD=BD【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DAE=∠CAD，即可得到∠BDE=∠DAE、然后根据三角形外角得到∠ADE=∠C，再结合∠CAD=∠DAE，根据两角对应相等的两三角形相似证明即可；（2）根据相似三角形的对应边成比例求出AE=9；然后推理证明△ABD∽△DBE，根据对应边成比例解答即可．20．【答案】（1）解：∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD∴△ABC∽△EDC（2）解：由(1)得△ABC∽△EDC∴BCDC∴AB=72(m)【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

(2)根据相似三角形的性质即可得到结论.21．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAE．又∵∠ADE=∠B∴△ABD∽△ADE（2）解：∵△ABD∽△ADE

∴ABAD=ADAE

∴AD2=AB·AE=9×4=36

∴AD=6

∴S△ABD【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义得到一组对应角相等，结合已知条件中的另一组对应角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明；

(2)利用相似三角形对应边成比例求出AD的长，再利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”这一性质，建立面积与边长的关系式，从而求出△ABD的面积.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，BF∥DE∴∠AED=∠BFA=90°∵∠BAD=90°∴∠DAE+∠BAF=90°在Rt△ABF中，∠ABF+∠BAF=90°∴∠DAE=∠ABF在△ADE和△BAF中∴△ADE≌△BAF（AAS）∴DE=AF，AE=BF∴AF=AE+EF∴DE=BF+EF即DE（2）在Rt△ABG中，AB=2，BG=1由勾股定理得：AG=AB2+BG∵△ABG的面积可表示为：S△ABG=12⋅AB⋅BG=1代入数据：12×2×1=12×5×BF

解得：BF=255。

由（1）知AE=BF=25∴DE=AF。

在Rt△ADE中，由△ADE∼△GAB得：

DE=AD∴AF=DE=4∴EF=AF−AE=455−255=255【解析】【分析】（1）由正方形的性质（边相等、角为直角），结合垂直和平行关系，得到∠AED=∠BFA=90∘；再通过“同角的余角相等”得到∠DAE=∠ABF；最后利用AAS证明△ADE≅△BAF，由全等三角形的对应边相等，结合线段和差关系，证得DE−BF=EF。

（2）由勾股定理求出AG的长度；再利用三角形面积公式求出BF（即AE）的长度；结合（1）中的全等结论，求出DE（即AF）的长度；最后通过线段差EF=AF−AE计算出结果。23．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABC