聚焦算理与算法融合：小学三年级数学“商中间有0的笔算除法”深度学习教案

聚焦算理与算法融合：小学三年级数学“商中间有0的笔算除法”深度学习教案

  一、教学设计指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心理念为指导，深度践行课程内容的结构化整合。教学设计立足于发展学生的数感、运算能力和推理意识，将“数的运算”教学从技能操练层面提升至算理理解与算法抽象的逻辑建构层面。理论支撑上，主要融合建构主义学习理论，强调学生在已有知识经验（如“0的除法特性”、“除数是一位数的笔算除法”）基础上，通过解决真实、复杂的问题情境，主动建构对“商中间有0”这一特殊算理的理解；同时，吸纳社会文化理论的观点，重视课堂对话、协作与意义协商，让学生在互动交流中深化对算法背后原理的认知。本设计还贯彻“深度学习”理念，追求学生在理解的基础上实现知识的迁移与创新应用，避免机械记忆与模式化套用，从而有效破除形式化理解，触及数学本质。

  二、学习者特征分析

  本课教学对象为小学三年级下学期学生。经过前期的学习，他们已经掌握了以下关键知识与技能：熟练进行表内乘、除法；理解了除法的基本含义（包含除与等分除）；掌握了整十、整百数除以一位数的口算；基本掌握了除数是一位数的笔算除法（从高位除起、除到哪一位商就写在哪一位、余数要比除数小）的算法流程。在认知心理层面，该年龄段学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，他们能理解基本运算规则，但对于运算背后更为抽象的算理，尤其是涉及“0”在数位中的特殊含义与处理时，容易产生认知冲突和混淆。常见的前概念误解或学习难点可能包括：一是对“0除以任何不是0的数都得0”这一规律的理解可能停留在记忆层面，未能与“没有东西可分”的直观表象及数位上的“空位”意义建立牢固联系；二是在笔算过程中，遇到被除数某一位上的数不够商1时，容易遗忘写0占位，或对“为什么要写0占位”理解不深，导致计算步骤的缺失或顺序混乱；三是将“商中间有0”与“被除数中间有0”简单对应，形成思维定势，忽略了对“不够商1”这一本质条件的判断。

  三、学习目标设计

  依据课程标准、教材内容和学情分析，制定以下多维学习目标：

  1.知识与技能目标：理解并掌握“在除数是一位数的笔算除法中，当被除数的某一位不够商1时，要在这一位商0占位”的算理与算法。能够正确、熟练地计算商中间有0的除法，并能够进行验算。

  2.过程与方法目标：经历从现实情境中抽象出数学问题、尝试计算、产生认知冲突、借助直观模型（如小棒图、计数器）探究算理、归纳算法的全过程。发展动手操作、观察比较、分析归纳和逻辑推理的能力。体验“发现问题-分析问题-解决问题-反思概括”的数学学习基本路径。

  3.情感、态度与价值观目标：在解决实际问题的过程中感受数学与生活的紧密联系，体验探索成功的乐趣。培养严谨、细致、有条理的运算习惯和审题意识。在交流讨论中，学会倾听、表达与反思，形成合作学习的意识。

  四、教学重难点分析

  教学重点：理解并掌握“商中间有0”的笔算除法的算理与算法。

  教学难点：透彻理解“当被除数的某一位不够商1时，要在这一位商0占位”的道理，并能结合具体情境（包括被除数中间有0和不够商1等多种情况）灵活应用算法，避免机械套用。

  五、教学准备

  1.多媒体课件：包含问题情境动画、动态演示分小棒或计数器的过程、规范的笔算步骤分解图、梯度练习与变式题组。

  2.学具准备：每位学生一套小棒（可以用计数器或方格纸替代）、学习任务单（包含探究活动记录、分层练习、自我评价表）。

  3.板书设计预案（用于课堂动态生成）。

  六、教学过程实施

  （一）创设情境，孕伏算理，引发认知冲突（预计用时：8分钟）

  师：同学们，学校体育组李老师遇到一个采购难题，想请大家帮忙解决。请看大屏幕。（课件出示情境：学校准备购买一些跳绳，用于阳光体育活动。李老师用636元去购买单价为3元的跳绳。问题：一共可以买多少根跳绳？）

  师：从图中你知道了哪些数学信息？要解决什么问题？

  生：我知道总价是636元，单价是3元一根。要求数量，也就是可以买多少根。

  师：数量怎么求？

  生：总价÷单价=数量。列式是636÷3。

  师：非常棒！这个除法算式你会计算吗？请同学们试着在自己的本子上用竖式算一算。算完的同学可以和同桌轻声交流一下你的算法。

  （学生独立尝试计算，教师巡视，选取典型做法（正确和错误）进行记录，为后续交流做准备。预计出现的典型错误可能包括：①636÷3，百位商2，十位3除以3商1，个位6除以3商2，得212；②百位商2后，十位上的3不够除以3，直接跳过十位，用个位36除以3得12，最终将2和12拼凑成212，或直接在十位写0但过程含糊。选择一位将636÷3计算为212的学生上台板演。）

  师：我们来看看这位同学的做法。他算得对吗？结果是212根。有没有不同答案？

  （可能部分学生已经预习或直觉感到不对，会提出异议。）

  师：有同学说不是212。那到底是多少呢？我们能不能想办法来验证一下？如果买了212根跳绳，每根3元，总价应该是多少？

  生：212×3=636（元）。正好是636元啊！

  师：咦？通过乘法验算，212×3确实等于636。那说明212这个结果从验算上看是对的？真的没有问题吗？让我们回到除法竖式计算的过程本身，再仔细想一想。或者，我们请出我们的老朋友——小棒来帮忙理解。

  （设计意图：从贴近学生生活的实际问题引入，激发学习动机。让学生尝试计算636÷3，旨在暴露其真实的思维过程，特别是可能出现的、基于前认知的算法（如跳过不够除的数位或错误对齐）。通过乘法验算似乎支持了错误结果，制造强烈的认知冲突，引发学生深度思考“计算过程是否真的正确”，为接下来借助直观模型探究算理做好充分的心理和思维准备。）

  （二）多元表征，探究算理，实现意义建构（预计用时：22分钟）

  活动一：借助小棒模型，理解“分到十位”的过程。

  师：我们把636元想象成636根小棒（每元对应一根），每3根捆成一捆（代表一份，即一根跳绳的钱）。现在我们要把这些小棒平均分成3份，看看每份是多少。

  （课件动态演示或教师引导学生操作想象）先分整百的：6个百，平均分成3份，每份是2个百，也就是200。百位分完了。

  师：接下来要分什么？

  生：分十位上的3，也就是3个十。

  师：这3个十，平均分成3份，每份能得到1个十吗？

  生：能！每份正好是1个十。

  师：那在竖式中，这个“1”应该写在哪一位上？为什么？

  生：应该写在十位上，因为分的是十位上的数。

  师：（结合板演的错误竖式）刚才有同学在竖式计算中，十位没有商，或者处理得不对。现在我们看清楚了，十位上是有“3个十”可以分的，而且能分完，每份得1个十。所以，竖式在百位除完后，必须把被除数十位上的“3”落下来继续除。（教师规范板书竖式步骤：百位商2，2×3=6，6-6=0；落下十位3，用3÷3=1，在十位商1，1×3=3，3-3=0。）

  师：现在十位分完了，余数是0。接下来分什么？

  生：分个位上的6，也就是6个一。

  师：（继续完成竖式：落下个位6，用6÷3=2，在个位商2。）所以，636÷3的正确结果是212。看来我们之前的验算碰巧蒙对了，但计算过程是严格的。

  （设计意图：通过小棒模型，直观再现“从高位除起，除到哪一位商就写在哪一位”的算法规则，巩固已有知识，同时纠正学生可能存在的“跳过数位”的错误做法。强调“落下”这一动作在竖式中的体现，为后续“不够分”时仍需“落下”再商0做铺垫。）

  活动二：变换情境，聚焦核心冲突，探究“不够商1就商0”的算理。

  师：李老师又接到新任务。（课件出示情境变更：如果李老师用的是612元，还是买3元一根的跳绳，可以买多少根？）请列式。

  生：612÷3。

  师：请大家再次尝试用竖式计算612÷3。

  （学生独立计算，教师巡视。此时，学生可能迁移刚才的经验，正确计算，也可能出现新的困惑：百位分完后，落下十位的“1”，1除以3不够商1，怎么办？选取有代表性的做法，如：①百位商2后，看到十位1不够除，直接落下个位2，用12÷3=4，在个位商4，结果写成24或204（十位空着）；②在十位写了0，但说不清理由。请做法①的学生板演。）

  师：这位同学算得204根。我们再用乘法验算一下：204×3=612。咦，验算又对了！但这个过程看着有点奇怪，十位好像被跳过去了？这样直接落下来算，到底对不对呢？我们还是请小棒来帮忙。

  师：现在有612根小棒（代表612元）。先分整百的：6个百平均分成3份，每份是2个百。

  （课件动态演示）百位分完，剩下1个十和2个一。现在要分这1个十。问题是：这1个十，平均分成3份，每份能得到1个完整的十吗？

  生：不能！因为1个十不够分成3份，每份得不到1个十。

  师：说得对！在数学上，当不够分得1个计数单位时，我们该怎么办？难道就不分了吗？这1个十就扔掉了吗？

  生：不能扔！可以把它拆开。

  师：非常好！我们不能跳过它，必须处理它。怎么处理这“不够分”的1个十？

  生：可以把这1个十拆成10个一。

  师：太棒了！1个十=10个一。把这拆开的10个一，和原来的2个一合起来，是多少个一？

  生：10个一加2个一，是12个一。

  师：现在，我们再来分这12个一，平均分成3份，每份是几个一？

  生：每份是4个一。

  师：所以，最终每份一共是2个百、0个十、4个一，合起来就是204。

  师：现在，我们把这个分的过程，用竖式严谨地记录下来。（教师边讲解边规范板书）

  第一步：先除百位，6个百÷3=2个百，商2写在百位。2×3=6，6-6=0。

  第二步：除十位。把被除数十位上的“1”落下来。这“1”表示1个十。用1个十除以3，够商1个十吗？

  生：不够。

  师：不够商1个十，怎么办？在十位上商几？

  生：商0。

  师：对！为了表示“在十位上分得0个十”，我们必须在十位上写“0”来占位。这个0非常重要，它告诉我们：十位上进行了除法运算，但结果是0。（板书：在十位商0）

  师：商0之后，因为0×3=0，从落下来的1里减去0，还是1。（板书：0×3=0，1-0=1）注意，这个余下的1，表示什么？

  生：表示1个十。

  师：这1个十还没被分完，我们继续处理它。怎么处理？

  生：把它和个位上的数合起来继续除。

  师：对！把这1个十看作10个一，所以接下来我们要把个位上的“2”落下来，和这1个十（即10个一）合并成12个一。（板书：落下个位2，与十位余下的1组成12）

  第三步：除个位。12个一÷3=4个一，商4写在个位。4×3=12，12-12=0。

  最终商是204。

  师：现在请大家对比一下，分小棒的过程和竖式的每一步，能找到对应关系吗？尤其是“十位不够商1”的时候，竖式是怎么体现“拆开合并”这个关键思想的？

  生：小棒里把1个十拆成10个一，和2个一合并成12个一。在竖式里，就是在十位商0，然后落下个位的2，和十位余下的1（实际是10）组成12再除。

  师：是的。竖式中“商0”这一步，就对应了“这一位不够分得1个单位”；而“落下下一位”并继续除，就对应了“把高位剩余的单位拆并与低位单位合并后继续分”。如果没有这个“0”，竖式的数位就乱了，204就可能被看成24，整个分的过程就不完整、不清晰了。

  （设计意图：这是本课的核心探究环节。通过变换数据（612÷3），制造“被除数十位不够除”的真实困境。引导学生借助小棒模型的直观操作，深刻理解“不够分时不能跳过，必须通过‘商0占位’来记录这一位的运算结果，并将高位剩余单位转化为低位单位继续运算”的算理。将直观操作与抽象竖式严格对应，帮助学生建构“商中间有0”的完整、正确的心理表象和算法模型。）

  活动三：对比归纳，抽象算法，明晰关键要点。

  师：我们一起来回顾一下刚才研究的两道题。（板书：636÷3=212，612÷3=204）请大家观察这两个竖式计算过程，它们有什么相同点和不同点？

  （学生小组讨论后汇报）

  生：相同点：都是从百位除起，一位一位地除；余数都比除数小；都要把下一位落下来继续除。

  生：不同点：第一题十位够商1，商了1；第二题十位不够商1，商了0。

  师：总结得非常到位！那么，在笔算除数是一位数的除法时，遇到被除数的某一位上的数除以除数不够商1时，我们应该怎么做？请大家用一句话概括。

  （引导学生概括）算法要点概括：在笔算除法时，除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。如果哪一位不够商1，就在那一位上商0占位，然后把这一位余下的数和下一位上的数合起来继续除。

  师：这个“0”起到了什么作用？

  生：占位的作用，让数位对齐，表达出这一位运算的结果是0。

  （设计意图：通过对比两道例题的计算过程，引导学生自主发现和归纳算法要点。将具体情境中获得的经验上升为一般性的算法规则，实现从具体到抽象的思维跃升，培养学生的概括能力和数学语言表达能力。）

  （三）分层练习，巩固内化，促进迁移应用（预计用时：12分钟）

  1.基础巩固层：算法模仿与纠错。

  （1）竖式计算：615÷3=832÷4=525÷5=

  （要求独立完成，强调书写规范，尤其注意商中间的0。完成后同桌互查，重点说清楚每一步的算理，特别是商0的步骤。）

  （2）数学诊所：判断下面的计算对吗？如果不对，请改正。

  ①318÷3=16（错误：十位不够商1未写0，导致数位错误）

  ②621÷3=27（错误：将商中间的0遗漏）

  ③408÷4=12（错误：被除数中间有0，但未在十位商0）

  （此练习旨在针对常见错误进行辨析，强化“不够商1就商0”的规则，并特别指出“被除数中间有0”不一定“商中间就有0”，反之亦然，关键是看“够不够除”，深化对本质的理解。）

  2.综合应用层：解决实际问题，理解商的现实意义。

  （1）学校图书室新买来824本图书，准备平均放在4个书架上。每个书架放多少本？

  （2）一台复印机6分钟复印了618张资料。平均每分钟复印多少张？

  （要求列竖式计算并作答。引导学生思考：在问题（2）中，商中间的0表示什么意思？（表示在十位上的数，也就是几十张这个数量级上，平均每分钟印不了10张，即不到10张）将计算结果与现实意义结合，深化对数位的理解。）

  3.拓展挑战层：思维深化与开放探究。

  （1）□□6÷4，要使商的中间有0且没有余数，被除数可能是多少？（如：416,436,456...探讨十位数字与除数4的关系）

  （2）想一想：在除数是一位数的除法中，什么情况下商的中间会有0？（引导学生从“被除数各位数字与除数的关系”角度思考，总结出：当被除数百位除尽后，十位上的数小于除数时，或者十位上是0且与个位组成的数小于除数时，商的中间需要0占位。）

  （设计意图：练习设计遵循由浅入深、层层递进的原则。基础层巩固算法格式和算理表达；应用层将计算置于实际问题背景中，培养应用意识；挑战层引导学生深入思考“商中间有0”的条件，触及规律本质，培养推理能力和思维的灵活性，防止思维定势。）

  （四）反思总结，提炼升华，构建知识网络（预计用时：3分钟）

  师：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？还有什么疑问？

  （引导学生从知识、方法、体验等多角度进行总结）

  生：我学会了商中间有0的除法怎么算，知道了不够商1时要商0占位。

  生：我明白了不能看被除数中间有0就商0，关键要看够不够除。

  生：我觉得用小棒分一分可以帮助我们理解为什么商0。

  师：同学们的收获真丰富！今天我们不仅掌握了一种新的除法计算技能，更重要的是，我们通过动手操作、动脑思考，明白了算法背后的道理——那就是“从高位除起，分到哪一位，商就写在哪一位；哪一位不够分1个，就用0占位，然后和后面的合起来继续分”。这是我们数学学习中非常重要的“位值制”思想和严谨细致的运算精神的体现。希望大家在今后的计算中，都能做到“既知其然，更知其所以然”。

  （设计意图：通过开放式的总结，引导学生自主回顾学习历程，梳理知识要点，反思学习方法，分享学习体验。教师的总结提升点明本课蕴含的数学思想方法，将课时学习内容置于更广阔的知识体系与学科素养视角下，促进学生的元认知发展。）

  七、板书设计（预设，随教学过程动态生成）

  商中间有0的笔算除法

  （核心：不够商1就商0占位）

  例1：636÷3=212例2：612÷3=204

  212204

  ————————

  3)6363)612

  66

  ————

  3(落下)1(落下，1÷3不够商1)

  30(商0占位)0×3=0

  ——1-0=1(余1个十)

  6(落下)12(落下个位2，组成12)

  612

  ————

  00

  算法要点：

  1.从高位除起，除到哪位商写哪位。

  2.哪位不够商1，就商0占位。

  3.落下来，合起来，继续除。

  八、作业设计与评价建议

  （一）分层作业设计

  1.必做题（面向全体，巩固基础）：

  （1）完成课本对应页的“做一做”及练习部分基础题。要求书写工整，并用口头语言向家人说一说计算过程（特别是商0的步骤）。

  （2）编写一道“商中间有0”的除法应用题，并解答。

  2.选做题（学有余力，拓展思维）：

  （1）探究：在（）里填上合适的数字，使算式成立。

  ①4（）2÷4商的中间有0。

  ②（）08÷3商的中间有0，且商是三位数。

  （2）阅读数学小故事或查阅资料，了解“0”在数学发展史上的故事，并做简单记录。

  （二）评价建议

  本课学习评价应贯穿于教学全过程，采用过程性评价与结果性评价相结合的方式。

  1.过程性评价：关注学生在课堂探究活动中的参与度、操作与观察的专注度、合作交流的积极性与有效性、提出问题和解决问题的主动性。通过教师巡视时的个别提问、小组讨论时的倾听与发言、练习环节的表述算理等情况，进行即时、