自动化专业本科《自动控制原理》教案：基于根轨迹的系统稳定性深度剖析

自动化专业本科《自动控制原理》教案：基于根轨迹的系统稳定性深度剖析

教学背景与学情分析

本课程面向自动化、电气工程及其自动化专业大学本科三年级学生开设。学生在前期课程中，已经系统学习了《高等数学》、《线性代数》、《复变函数与积分变换》、《电路原理》以及《自动控制原理》的前置章节，包括控制系统数学模型建立、时域分析法和频域分析法基础。学生具备了利用微分方程、传递函数描述动态系统的能力，能够理解系统稳定性、动态性能的基本概念，并掌握了劳斯判据、奈奎斯特判据等稳定性判别方法。

然而，在面临系统参数（尤其是开环增益）变化对系统闭环性能（稳定性、动态响应）影响的综合分析时，学生往往感到知识碎片化，缺乏一种直观、图形化的全局性分析工具。根轨迹法正是解决这一痛点的关键。但学生在学习初期，容易陷入繁复的绘图规则记忆，而忽略了其“图解法”的本质及其在系统分析与设计中的强大工程意义。部分学生对于“闭环极点”与系统性能、稳定性之间的深刻联系理解不够透彻，对根轨迹所揭示的参数变化与系统性能演变的规律性认识不足。

因此，本次教学的核心目标在于，引导学生超越规则的简单记忆，深入理解根轨迹的数学本质与物理内涵，掌握如何将根轨迹作为一把利器，用于系统稳定性、动态性能的定性及定量分析，并初步触及基于根轨迹的系统设计思想，为后续的校正装置设计、现代控制理论学习奠定坚实的图形化分析基础。

教学目标

一、知识与技能目标

1.深刻理解根轨迹的基本概念，能够阐述根轨迹方程（幅值条件与相角条件）的由来及其作为绘制根轨迹根本依据的原理。

2.熟练记忆并运用基于开环零极点分布绘制180度根轨迹的基本法则，能够手工绘制典型二阶、三阶系统的根轨迹草图。

3.掌握利用根轨迹图分析闭环系统稳定性的方法，能够准确确定使系统稳定的开环增益范围，找出临界稳定点及其对应的临界增益。

4.能够根据根轨迹图，定性分析闭环主导极点位置与系统动态性能（超调量、调节时间、阻尼比、无阻尼自然振荡频率）之间的关系。

5.学会使用MATLAB或Python（Control库）等计算机辅助工具精确绘制系统根轨迹，并进行稳定性、性能的交互式分析，验证理论结果。

二、过程与方法目标

1.通过从特征方程到根轨迹方程的推导，体验“图形化”数学思想的建立过程，培养将抽象代数问题转化为几何问题的思维能力。

2.经历从简单系统到复杂系统、从手工草图到计算机精确绘图的完整分析过程，掌握“定性分析指导定量计算，软件工具验证与深化理解”的现代工程分析方法。

3.在分析参数变化对根轨迹形态及系统稳定性影响的探究活动中，培养动态、系统地思考工程问题的科学方法。

三、情感、态度与价值观目标

1.通过揭示根轨迹之美——系统内在规律随参数变化的可视化表达，激发对控制理论深入探究的兴趣和好奇心，感受工程科学的艺术性。

2.理解根轨迹法作为经典控制理论核心工具的历史地位及其在现代工程实践中（如参数整定、鲁棒性分析）的持久价值，树立理论联系实际的工程观。

3.在小组协作完成复杂系统分析任务的过程中，培养严谨求实的科学态度、批判性思维和团队协作精神。

教学重点与难点

教学重点：

1.根轨迹的物理与数学本质：相角条件是根轨迹的充要条件，是所有绘制法则的逻辑起点。

2.180度根轨迹的基本绘制规则，特别是分支数、起点终点、实轴上的根轨迹、渐近线、分离汇合点与分离角、虚轴交点的确定。

3.利用根轨迹进行系统稳定性分析：稳定区域的判定，临界增益的计算。

4.利用根轨迹进行系统动态性能的定性分析：主导极点概念及其与阻尼比、超调量的关系。

教学难点：

1.相角条件的深刻理解及其在复杂零极点分布下对轨迹走向的定性判断应用。

2.分离点/汇合点方程的列写与求解，特别是高阶方程的有效求解策略。

3.根轨迹进入或离开实轴时“分离角”的计算与理解。

4.对于非最小相位系统或具有复杂零极点系统的根轨迹特殊形态的分析。

5.将根轨迹图形信息有效转化为对系统时域性能的定量或半定量估计。

教学方法与策略

1.混合式教学法：课前通过在线教学平台发布预习任务，包括回顾特征方程与稳定性关系、观看根轨迹基本概念的微视频。课中聚焦难点突破与深度互动。课后利用仿真平台进行拓展练习。

2.“问题驱动-案例贯穿”教学法：以一个典型的单位负反馈三阶系统作为核心教学案例，将整个知识体系的讲解和分析融入对该案例的层层剖析中。通过不断设问（如“增益K从0→∞变化，闭环极点如何运动？”、“系统在什么K值下会失稳？”、“如何设计K使得系统具有满意的动态响应？”）驱动教学进程。

3.探究式学习与对比分析法：引导学生先尝试利用所学规则手工绘制核心案例的根轨迹草图，预测稳定性范围。随后，利用MATLAB绘制精确根轨迹进行对比验证，分析误差来源，深化对规则的理解。对比同一系统根轨迹分析法与劳斯判据、奈奎斯特分析法在稳定性结论上的一致性，体会不同方法的优势与局限。

4.信息技术深度融合：全程使用MATLAB/Simulink或Python进行动态演示。例如，实时拖动增益K的滑动条，同步展示根轨迹上点的运动、闭环极点位置变化、奈奎斯特图变化以及对应的系统阶跃响应曲线变化，实现“四图联动”，构建直观的多维度认知。

5.小组合作学习：针对一个更复杂的工程背景系统（如电机速度控制系统模型），布置小组分析任务，要求合作完成根轨迹绘制、稳定性与性能分析报告，并进行课堂展示与答辩。

教学资源与环境

1.硬件环境：多媒体教室，配备交互式智能大屏或投影仪，学生最好每人一台安装有相关软件的计算机。

2.软件环境：MATLAB（ControlSystemToolbox,Simulink）或Python（SciPy,Control,Matplotlib）。

3.教学平台：学校网络教学平台（如超星学习通、雨课堂），用于发布资料、课前预习、课堂互动、课后提交作业。

4.核心教学案例库：包含多个典型传递函数模型（二阶、三阶、带零点的三阶、非最小相位、条件稳定系统等）的.m文件或.py脚本。

5.实物或仿真案例视频：展示参数失调导致实际系统（如倒立摆、无人机姿态）失稳的视频片段，与理论分析相印证。

教学过程设计

（总课时：4学时，每学时45分钟，共180分钟）

课前准备阶段（线上，约60分钟）

教师活动：

在课程网络平台发布课前学习包：

1.“导学任务单”：明确本节课核心目标与问题。

2.微视频（15分钟）：《从特征方程到根轨迹图：一个思想的诞生》。视频简要回顾闭环特征方程，引出当某个参数（如开环增益K）连续变化时，方程根的连续变化轨迹即为根轨迹。直观演示一个简单二阶系统随K变化的根轨迹动画。

3.阅读材料：教材中关于根轨迹定义与幅相条件推导的部分。

4.预习检测题（在线完成）：

1.5.判断题：根轨迹上的点都满足闭环特征方程。

2.6.选择题：根轨迹的相角条件是（）。

3.7.简答题：对于给定开环传递函数G(s)=K/(s(s+1))，当K=1时，计算某个试验点s=-0.5+j0.5是否在根轨迹上？（要求写出幅值条件和相角条件验证过程）。

学生活动：

自主观看视频，阅读材料，完成预习检测。在平台讨论区提出关于概念推导或例题的疑问。

教师通过平台数据分析预习情况，了解学生的疑惑点，调整课中教学侧重点。

课中实施阶段（线下，180分钟）

第一学时：追本溯源——从数学本质到绘图法则

环节一：情境导入与问题聚焦（10分钟）

教师活动：播放一段高速列车自动驾驶系统在参数调整不当情况下发生速度振荡的视频。提出问题：“在控制器设计时，我们经常需要调整放大倍数（增益）K。K太小，响应太慢；K太大，系统可能发生振荡甚至失控。那么，是否存在一个‘地图’，能一目了然地告诉我们，K取不同值时，系统的‘本性’（闭环极点）会在哪里？从而指导我们安全、有效地选择K？”

展示核心教学案例的开环传递函数：G(s)H(s)=K/[s(s+2)(s+4)]。提问：“请大家根据已有知识，能否快速说出K在什么范围时，这个三阶系统稳定？”

引导学生回顾劳斯判据，并现场列写劳斯表进行计算。学生能得出稳定条件为0<K<48。教师追问：“这个结论是如何得到的？它只告诉我们稳定与否的边界，但并未揭示当K在0到48之间变化时，系统的动态性能如何演变？如果我想让系统具有约0.707的阻尼比，K应该取多少？劳斯判据难以直观回答。今天，我们就学习一种能回答所有这些问题的强大工具——根轨迹法。”

环节二：揭示本质——根轨迹方程（15分钟）

教师活动：引导学生从闭环特征方程1+G(s)H(s)=0出发，推导出G(s)H(s)=-1。将开环传递函数写成零极点形式：G(s)H(s)=K*∏(s-z_i)/∏(s-p_j)。代入方程，得到根轨迹的幅值条件|G(s)H(s)|=1和相角条件∠G(s)H(s)=180°+360°*l(l=0,±1,±2...)。

强调核心：相角条件是决定s点是否在根轨迹上的充要条件。幅值条件用于确定该点对应的K值。通过核心案例，现场验证一个不在实轴上的试验点（如s=-1+j）是否满足相角条件。利用几何图形解释相角条件的含义：从所有开环零极点指向试验点的向量夹角之和需为180度的奇数倍。

学生活动：跟随教师推导，理解幅相条件的物理意义。在教师指导下，尝试计算核心案例中另一个试验点是否满足相角条件。

环节三：构建法则——180度根轨迹绘制规则（20分钟）

教师活动：以相角条件为唯一依据，逻辑严密地推导出180度根轨迹的八条基本绘制规则。讲解重点：

1.分支数、起点和终点：分支数=开环极点数；起点（K=0）于开环极点；终点（K→∞）于开环零点或无穷远处。

2.实轴上的根轨迹：其右侧实轴上的开环零极点数目之和为奇数。

3.渐近线：条数=开环极点数-开环零点数。重点讲解渐近线与实轴交点坐标σ_a和夹角φ_a的计算公式。

4.分离点与汇合点：由方程dK/ds=0求解。强调分离点可能位于实轴，也可能以共轭复数形式出现。

5.与虚轴的交点：利用劳斯判据或令s=jω代入特征方程求解，得到临界增益K_cr和临界频率ω_cr。

6.起始角与终止角：以图形化方式说明计算公式，强调其对于复杂零极点分布时轨迹初始走向判断的重要性。

在讲解每条规则时，均在核心案例G(s)=K/[s(s+2)(s+4)]上即时应用。例如，计算渐近线：n=3,m=0,σ_a=(0-2-4)/3=-2,φ_a=60°,180°,300°。推测根轨迹的大致形态：从实轴极点出发，沿±60°渐近线趋向无穷。

学生活动：在笔记本上同步记录规则，并跟随教师完成核心案例的对应计算。初步形成对案例系统根轨迹的整体预期。

第二学时：实践验证——从手工草图到精确绘图

环节四：手工绘制与实践深化（25分钟）

教师活动：带领学生，综合运用所有规则，完成核心案例根轨迹的手工草图绘制。

步骤：

1.标出开环极点：s=0,-2,-4。无有限开环零点。

2.确定实轴上的根轨迹：(-∞,-4]和[-2,0]。

3.计算渐近线：σ_a=-2，φ_a=60°,180°,300°。

4.求分离点：由特征方程1+K/[s(s+2)(s+4)]=0得K=-s(s+2)(s+4)。令dK/ds=0，即-3s^2-12s-8=0，解得s1≈-0.85,s2≈-3.15。根据实轴根轨迹段判断，s1≈-0.85位于[-2,0]上，是分离点；s2≈-3.15不在根轨迹段上，舍去。

5.求与虚轴交点：利用劳斯判据。特征方程为s^3+6s^2+8s+K=0。列劳斯表，令第一列s^1行系数为零，得K=48。由辅助方程6s^2+K=0，代入K=48得s=±j√8≈±j2.83。

根据以上信息，绘制草图：三条分支分别从0,-2,-4出发。从0和-2出发的两支在实轴-0.85处分离，进入复平面，沿±60°渐近线趋向无穷。从-4出发的一支沿实轴向左趋向负无穷。与虚轴交于±j2.83。

学生活动：在练习纸上跟随教师一步步完成草图绘制，理解每条规则的应用时机和相互作用。

环节五：软件验证与交互探索（20分钟）

教师活动：切换到MATLAB/Python环境。

1.演示精确绘图命令：num=1;den=conv([10],conv([12],[14]));G=tf(num,den);rlocus(G);

或Python对应命令。

2.将精确根轨迹图与刚刚绘制的手工草图进行对比。肯定草图在形态、分离点位置、渐近线方向上的基本正确性，同时指出可能的细微偏差（如分离点精确值、复平面轨迹曲率）。

3.进行动态交互演示：使用rlocfind

函数或用代码实现增益K的滑动条。拖动K值，光标在根轨迹上移动，实时显示当前K值、对应的闭环极点位置，并同步调用step

函数绘制该K值下的闭环系统阶跃响应曲线。

4.引导学生观察：当K很小时，闭环极点接近开环极点，响应缓慢；当K增大，复平面上的主导极点阻尼减小，振荡加剧；当K接近48时，极点接近虚轴，响应呈现持续振荡趋势；当K>48，极点进入右半平面，系统不稳定。

学生活动：观察演示，惊叹于软件的精确与动态效果。在个人电脑上尝试运行简单命令，感受交互过程。通过“四图联动”演示，深刻建立“参数K变化→闭环极点运动→系统性能（稳定性、动态响应）变化”的完整认知链条。

第三学时：深度应用——稳定性与性能分析

环节六：基于根轨迹的稳定性系统分析（20分钟）

教师活动：基于已绘制的精确根轨迹图，系统讲解稳定性分析方法。

1.确定稳定区域：根轨迹在s左半平面的部分对应的K范围，即为系统稳定区域。对于本例，从图中可直观读出，当0<K<48时，所有闭环极点均在左半平面，系统稳定。

2.确定临界点：根轨迹与虚轴的交点，即临界稳定点。对应的增益K_cr=48，频率ω_cr≈2.83rad/s。这与课前用劳斯判据得到的结果完全一致。

3.分析参数影响的普适性：改变系统结构（如增加开环零点）。现场修改模型，例如在s=-1处增加一个开环零点：G(s)=K(s+1)/[s(s+2)(s+4)]。快速绘制其根轨迹，引导学生对比观察：增加负实轴上的开环零点，如何将根轨迹“吸引”向左半平面，从而增大稳定裕度（K_cr变大），并可能改善动态性能（使复极点具有更大阻尼）。

4.引入条件稳定系统概念：展示一个具有特殊零极点分布的系统（如G(s)=K(s^2+2s+4)/(s(s+1)(s+3))），其根轨迹部分分支形成圆或椭圆，导致系统在K的某个中间区间稳定，而在K很小或很大时反而可能不稳定。强调根轨迹在揭示此类复杂现象中的直观优势。

学生活动：跟随教师进行分析，理解稳定性分析不仅限于求K_cr，还包括观察根轨迹整体形态对参数变化的鲁棒性。通过对比案例，直观感受开环零极点对系统稳定性的巨大影响。

环节七：基于根轨迹的动态性能定性分析（25分钟）

教师活动：将分析重点从稳定性延伸到动态性能。

1.建立联系：复习二阶系统标准形式及其极点位置（阻尼比ζ、无阻尼自然频率ω_n）与动态性能指标（超调量σ%、调节时间t_s）的关系。

2.主导极点应用：对于高阶系统，若存在一对共轭复数闭环主导极点，则系统性能可近似由此主导极点决定。在核心案例的根轨迹图上，指出当K使得复极点成为主导时，可以近似估算性能。

3.等阻尼比线与等自然频率线：在根轨迹图上叠加绘制等阻尼比线（从原点出发的射线，与负实轴夹角θ=arccos(ζ)）和等自然频率线（以原点为圆心的圆弧）。演示如何利用这些网格线，直接从根轨迹上读取或设计特定性能要求的闭环极点位置及对应的K值。

4.案例精讲：针对核心案例，提出设计问题：“若希望系统阶跃响应的超调量σ%≤16.3%，阻尼比ζ大约需要多少？对应的K值范围是多少？”

1.5.解：σ%≤16.3%对应ζ≥0.5。等阻尼比线为θ=arccos(0.5)=60°的射线。

2.6.在根轨迹图上，画出这条射线。观察射线与根轨迹的交点（或大致区域）。

3.7.利用rlocfind

工具，点击交点，读取该点对应的K值（假设约为K≈8）。

4.8.进一步，可以绘制K=8时的阶跃响应，验证超调量是否满足要求。

9.性能与稳定的权衡：引导学生讨论，通常提高响应速度（要求主导极点远离虚轴、ω_n大）需要增大K，但这可能导致阻尼减小（超调增大），甚至接近不稳定区域。根轨迹清晰地揭示了这一工程设计的根本矛盾。

学生活动：理解并应用主导极点概念。学习使用等阻尼比线分析性能。通过具体设计任务，体会如何利用根轨迹图进行初步的控制器参数（K）设计。

第四学时：综合拓展与迁移提升

环节八：综合案例分析（小组合作）（30分钟）

教师活动：发布一个具有明确工程背景的综合分析任务。

任务描述：某直流电机速度控制系统，经简化后的开环传递函数为G(s)H(s)=K/[s(0.1s+1)(0.01s+1)]。

小组任务（3-4人一组）：

1.将其化为标准零极点形式。

2.手工绘制根轨迹草图（可分工协作）。

3.利用MATLAB绘制精确根轨迹图，验证并修正草图。

4.确定系统稳定的K值范围。

5.分析是否存在合适的K，使系统阶跃响应调节时间t_s(2%)<0.5秒？若可能，估算K值范围；若不可能，请说明原因。

6.（选做）若在系统中串联一个PD控制器（传递函数为K_p+K_ds），相当于增加了一个开环零点。定性分析此零点应如何配置，才能有效改善系统性能？

教师巡视各组，提供指导，鼓励组内讨论和分工。

环节九：展示答辩与总结升华（15分钟）

教师活动：随机选取1-2个小组，派代表上台展示他们的分析过程和主要结论（限时5分钟/组）。其他小组提问或补充。教师进行点评，重点纠正常见错误（如时间常数转换、分离点计算、主导极点判断等），并升华主题。

总结要点：

1.根轨迹法的核心价值：它是连接系统开环特性（零极点）与闭环性能（稳定性、动态响应）的桥梁，是一种强大的图形化分析与设计工具。

2.方法论的凝练：“手工草图把握大局，软件精确验证分析；相角条件贯穿始终，规则推导逻辑严谨；性能稳定权衡取舍，图形指导工程设计。”

3.与后续知识的联结：根轨迹法不仅用于分析固定结构的系统，更是后续学习控制系统校正（串联超前、滞后、PID控制器）的图形化基础。通过增加开环零极点（即加入校正装置）来“塑造”理想的根轨迹形态，正是经典控制理论设计的主要思路之一。

4.局限性与发展：根轨迹主要处理单参数（通常是增益K）变化。对于多参数或更复杂的情况，需要结合其他方法或使用现代控制理论。但作为直观的工程分析工具，其思想永不过时。

学生活动：参与小组展示与答辩，聆听总结，完成知识体系的整体构建。

课后巩固与拓展阶段

教师活动：

1.在网络平台发布分层作业：

1.2.基础题：教材课后关于根轨迹绘制与稳定性分析的习题。

2.3.提高题：分析一个具有右半平面零点的非最小相位系统的根轨迹，并解释其特殊性。

3.4.探究题：查阅文献，了解“根轨迹簇”（多参数变化）的概念，尝试用MATLAB绘制一个简单系统的根轨迹簇。

5.提供扩展阅读资料链接：关于根轨迹法在PID参数整定、机器人控制、航空航天中的应用实例文章。

6.开放在线讨论区，持