2027山东专升本高数二 无穷大与无穷小比较强化训练（逐题详解）

山东专升本高数二无穷大与无穷小比较强化训练一、考纲核心必背定义（高数二必考）1.无穷小、无穷大定义在同一极限过程中：①若limα(x)=0，则α②若lim|f(x)|=+③无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数为无穷大。2.无穷小阶的比较（核心考点）设α,β为同一极限过程中的无穷小，且①limαβ=0⇒α是β的②limαβ=C≠0⇒③limαβ=1⇒α与β的④limαβ=∞⇒3.专升本必考性质1.有界函数×无穷小=无穷小；2.有限个无穷小的和、积仍为无穷小；3.无穷大运算口诀：次高为无穷、次低为零、次同比系数。二、基础题型：判断无穷小/无穷大（4题）解题核心：代入极限过程，判断极限结果题1当x→0时，判断f解题步骤：步骤1：求极限：limx步骤2：分别计算：limx步骤3：和的极限为0，满足无穷小定义。答案：是x→0时的无穷小量题2当x→∞时，判断解题步骤：步骤1：求极限：limx步骤2：x→∞，分母无穷大，整体极限为步骤3：极限为0，是无穷小量。答案：是x→∞题3当x→1时，判断f解题步骤：步骤1：x→1时，x步骤2：无穷小的倒数为无穷大；步骤3：故该函数为x→1答案：是x→1时的无穷大量题4证明：x→0时，x解题步骤：步骤1：判定有界性：sin⁡步骤2：x→0时，x步骤3：根据性质：有界函数×无穷小=无穷小，得证。答案：是x→0时的无穷小量三、核心题型：无穷小阶的比较（10题）解题固定流程：作商求极限→根据极限结果判定阶数题5比较x→0时，α(x解题步骤：步骤1：作商求极限：limx步骤2：极限为0，根据定义：分子是分母的高阶无穷小；步骤3：结论：x2是x的高阶无穷小答案：x题6比较x→0时，α(x解题步骤：步骤1：等价无穷小替换：1-cos步骤2：作商计算：limx步骤3：极限为非零常数，二者为同阶无穷小。答案：同阶无穷小题7比较x→0时，α(x解题步骤：步骤1：求极限：limx步骤2：极限为1，二者为等价无穷小。答案：sin⁡x∼x(x→0)题8比较x→0时，α(x解题步骤：步骤1：作商：limx步骤2：极限为无穷大，分子是分母的低阶无穷小。答案：是x→x题9x→0，判定tan⁡2解题步骤：步骤1：等价替换：tan⁡步骤2：求极限：limx步骤3：非零常数，二者同阶无穷小。答案：同阶无穷小题10x→0，判定ln⁡(1+解题步骤：步骤1：等价无穷小：ln⁡步骤2：极限limx步骤3：二者为等价无穷小。答案：等价无穷小题11x→0，比较ex解题步骤：步骤1：替换：ex步骤2：计算：limx步骤3：结果为非零常数，同阶无穷小。答案：同阶无穷小题12x→0，判断x+解题步骤：步骤1：作商求极限：limx步骤2：极限为1，二者等价无穷小。答案：等价无穷小题13x→0，判断x3解题步骤：步骤1：作商：limx步骤2：极限为0，为高阶无穷小。答案：高阶无穷小题14x→0，判断sin⁡解题步骤：步骤1：作商：limx步骤2：极限为0，sin⁡x-x是答案：高阶无穷小四、无穷大比较（抓大头法则专项）（5题）适用场景：x→题15比较x→∞时，f(解题步骤：步骤1：作商判定：limx步骤2：抓大头，保留最高次：limx步骤3：商为0，分子是分母的低阶无穷大。答案：3x2题16比较x→∞时，2解题步骤：步骤1：最高次均为3次，同次比系数；步骤2：极限：limx步骤3：非零常数，二者为同阶无穷大。答案：同阶无穷大题17x→∞，比较解题步骤：步骤1：作商：limx步骤2：商为无穷大，分子是分母的高阶无穷大。答案：x4题18x→∞解题步骤：步骤1：最高次均为2次，抓系数；步骤2：极限=5步骤3：分子分母为同阶无穷大。答案：极限为52题19x→∞解题步骤：步骤1：作商：limx步骤2：x是x的低阶无穷大。答案：x为低阶无穷大五、专升本高频参数求解题型（4题）考点：已知无穷小阶数，求未知常数，必考填空/选择题20若x→0时，1-cos⁡kx解题步骤：步骤1：等价替换：1-cos步骤2：等价无穷小要求极限为1：limx步骤3：化简得：12答案：k=±题21已知x→0时，tan⁡ax与解题步骤：步骤1：替换：tan⁡步骤2：极限：limx步骤3：同阶要求极限为非零常数，故a为任意非零常数。答案：a≠0题22x→0，若ln⁡(1+解题步骤：步骤1：替换：ln⁡步骤2：等价条件：limx步骤3：得k=1答案：k=1题23x→∞，解题步骤：步骤1：无穷大抓大头，次同比系数；步骤2：a2步骤3：解得a=6答案：a=6六、易错综合题型（3题）专升本高频易错题，规避概念陷阱题24判断正误：无穷小量是很小的数解题步骤：步骤1：概念辨析：无穷小是极限为0的变量；步骤2：常数中只有0是无穷小，任意极小的非零常数都不是无穷小；步骤3：故此说法错误。答案：错误题25判断正误：无穷大的倒数是无穷小解题步骤：步骤1：考纲核心性质：同一极限过程中，无穷大倒数必为无穷小；步骤2：命题正确。答案：正确题26x→0，求解题步骤：步骤1：等价替换分母：1-cos步骤2：原式变形：limx步骤3：sin⁡1x答案：极限不存在七、专题终极总结（专升本必背口诀）1.无穷小比较口