湖南省株洲市2026-2027学年高二秋季开学学情数学自测卷（人教版A）（试卷及参考答案）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省株洲市2026-2027学年高二秋季开学学情自测卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（

）A．，， B．，， C．，， D．3，4，52．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（

）A． B． C． D．3．已知在中，，，，则（

）A． B． C． D．4．已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（

）A．3 B．7 C．9 D．215．根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为，英语考试不及格的概率为，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为，则他数学和英语两门都不及格的概率为（

）A． B． C． D．6．已知为异面直线，为两个不同平面，，且直线，则下列结论中可能正确的是(

)A．，且与相交 B．，且与垂直C．与相交，且交线垂直 D．与相交，且交线平行7．在锐角中，，则的一个可能的取值为（

）A．1 B．1.5 C．1.8 D．28．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（

）A．点可以是棱的中点B．点轨迹的长度为C．点的轨迹是平行四边形D．点轨迹所围成的图形面积为二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．已知复数，其中，为虚数单位，则（

）A．若，则 B．若，则C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则10．中，已知，则（

）A．B．可以取值为C．取最大时，边上的中线长为D．面积的最大值为311．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（

）A．若，，且有两解，则b的取值范围是B．在锐角中，不等式恒成立C．若，则为等腰三角形D．若，，则的最大值为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知A，B两个事件相互独立，且，，则______.13．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________.14．如图，已知正四棱锥的棱长均为2，分别是的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______．

解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数的最小正周期为π.(1)求的单调递减区间；(2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值；(3)若，求的值域.16．已知，且与夹角为，求：(1)；(2)与的夹角；(3)若向量与平行，求实数的值.17．在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．

(1)证明：平面．(2)求二面角的正切值．(3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．18．某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为.甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立.(1)求甲通过第一轮挑战赛的概率；(2)求乙通过第一轮挑战赛的概率；(3)求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率.19．在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立.(1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小；(2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，（i