2026新高二数学暑假专题：几何法破解空间角问题（原卷版）

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暑假作业15重难专题05：几何法破解空间角问题

【知识点1异面直线所成的角（夹角）】

1．定义：已知两条异面直线a,b经过空间任意一点O作直线,我们把a与b所成的______叫作

异面直线a与b所成的角，也叫作异面直线a与b的夹角.

2．范围：.

3．求法：

(1)直接平移法:①平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为

相交直线．

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．

(2)找等分点平移法:当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用

该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点.

(3)补形法:即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，

则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形.

【知识点02直线与平面所成角（或夹角）】

1．定义：平面的一条斜线和所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作直线与平

面的夹角；

当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为

2范围：

3．找线面角的方法

（1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可

求.���|��||��|

1/21

(2)体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信

息，通过体积求出点到平面的高�度，则�线面角的正�弦可求.

��ℎ

(3)三角余弦公式法：（见知识点05）

【知识点03二面角与两平面的夹角】

1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，

以该点为垂足，分别在两个半平面内作射线，则两射线所成的角为二面角的平面角.

2．两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的叫作两平面的夹角，当两平面时，规定它

们的夹角为0.

3．范围：二面角的范围为，两平面的夹角范围为.

4．求法：

（1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角.目标：找与棱

垂直的两条线���

（2）三垂线法（详见知识点04）：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二

面角.首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意�在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直

的平面，在平面上�作垂线�），然后�过或者作�棱的垂�线�交于点，连接成直角三角形，即可求二面�角的

平面角.������

（3）垂面法:若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与，的交线即可.若题目中有与棱

����

2/21

垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角.

����

（4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平

'''

S

面角大小为，则co=�△����△�����

△�'�'�'

射影面积�法跟补形s法�都�△适���用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，

可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形.

（5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的

交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线.

【知识点04三垂线定理及逆定理（拓展）】

1.三垂线定理及逆定理：

⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜

线垂直.

(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条

斜线在平面内的射影垂直.

【知识点05最小角定理和三角余弦公式（拓展）】

1．三角余弦公式：

如图所示，其中∠，∠，∠，

=OAC1=OAB2=BAC

3/21

则有

coscos1cos2.

由于、、∈[0，]，因此cos、cos、cos均属于[0，1]，所以cos＜cos，由余弦函

122121

数在[0，]上是单调递减，得＜.由此我们得到下面的最小角定理..

21

2.最小角定理

斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.如图中的∠OAB为

斜线OA与平面所成的角，∠OAC为斜线OA与平面内的任意一条直线AC所成的角，∠OAB＜∠OAC.

【题型1定义法、等分点平移法求异面直线所成的角】

1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体ABCDEFGH中，AB23，AD2，则异面直

线AB和EG所成角的大小是（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

，，

2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3BC2CC14，点E,F

，

分别为CC1AD的中点，则异面直线EF和AD1所成角的余弦值为（）

4/21

1470314214

A．B．C．D．

14141414

3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，P是平面ABC外的一点，PA4，BC6，D，E分别

为PC，AB的中点，且DE19．则异面直线PA与BC所成的角的大小为（）

A．45B．60C．90D．120

4．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在直二面角AB中，E，F两点都在直线AB上，C，

D两点分别在两个半平面内，AEDAFC60，则异面直线DE与CF所成角的余弦值为（）

3211

A．B．C．D．

4334

【题型2补形法求异面直线所成的角】

1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，设AB1和BC1所成的角为，

则cos的值为（）

5/21

3121

A．B．C．D．

4334

2．平面过直三棱柱ABCA1B1C1的顶点B1，平面//平面ABC1，平面平面BB1C1ClAA1ABBC，

ABBC，则A1B与l所成角的正弦值为（）

3213

A．B．C．D．

2223

3．正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为．

【题型3定义法求线面角】

1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，则直线BD1与

平面ABB1A1所成角的正弦值为（）

131011

A．B．C．D．

361011

2．（25-26高二下·四川泸州·期中）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面BB1D1D所成

角的正弦值为（）

1236

A．B．C．D．

2222

3．（2026·陕西渭南·三模）在棱长为2的正方体ABCDABCD中，M,N,P,Q分别是AD,CD,BC,BD

的中点，则直线BP与平面QMN所成的角为（）

A．0B．30C．60D．90

4．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B142，若侧棱与底面的夹

角为45，则该四棱台的体积为（）

6/21

112562

A．B．112C．562D．

33

5．（2026·上海嘉定·一模）如图，在四面体VABC中，ACBC，从顶点V作平面ABC的垂线，垂足O

恰好落在ABC的中线CD上.

(1)如果DVDA2，直线VD与平面ABC所成的角为，求直线VA与平面ABC所成角的大小；

4

(2)证明：平面VCD平面VAB.

【题型4等体积法、三角余弦公式法求线面角】

-

1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ACBC1，AB2，D，E分别是A1B1，CC1的中点，

则直线BC与平面A1BE所成角的正弦值为（）

2536

A．B．C．D．

3546

2.（25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC，CC1的中点，

则直线CD与平面DEF所成角的正切值为______．

7/21

1

3．如图所示，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，O是AC的中点，且OP底面ABC，

2

则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.

ππ

4．已知四面体SABC，若ASBASC，BSC，则直线SA与平面SBC所成角为．

32

．如图，在正方体中，与平面所成的角为

5AC1A1BBB1D1D.

【题型5求线面角的取值范围】

1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若P在ABC内（包括边界）运

动，则直线D1P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为（）

36263632

A．,B．,C．,D．,

44233342

2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，M是棱AB的中点，

N是侧面ACC1A1内任意一点(包含边界)，则直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围是

（）

111521

A．,1B．,1C．,1D．,1

421014

2

3.（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PAPBAB，记直

2

线PC与底面ABCD所成的角为，则sin的最大值为_____.

【答案】102

4

8/21

【题型6定义法求面面角】

1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，在三VABC中，VAVBBCACAB2，二面角VABC

5

的余弦值为，则VC的长为（）

6

1

A．1B．2C．3D．

2

2．（2026·广东广州·三模）正四面体PABC中，二面角PABC的余弦值为（）

1231

A．B．C．D．

3332

3．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，直三棱柱ABCA1B1C1，平面ACC1A1平面BCC1B1，AB=2，BC=1，

33

直三棱柱ABCA1B1C1的体积为，则平面A1CB与平面ABC所成的角为（）

2

A．30B．45

C．60D．90

4．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把

ADC折叠到ADC处，使二面角BADC'为60，则折叠后二面角ABC'D的正切值为__________．

9/21

【题型7三垂线法、垂面法求面面角】

33

1．（25-26高一下·北京·期中）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱AA，D是CB延长线上

12

一点，且BDBC，则二面角B1ADB的大小为（）

πππ2π

A．B．C．D．

3643

2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某圆台的轴截面ABCD是一个上底CD为2，下底AB为4，腰

长为2的等腰梯形，M为圆台下底面圆周上一点，且AM2，则二面角CAMB的余弦值为（）

21331325

A．B．C．D．

131333

3．如图，在空间四边形ABCD中，BCD是正三角形，ABD是等腰直角三角形，且BAD90，又

二面角ABDC为直二面角，则二面角ACDB的正切值为.

A

H

BD

EF

C

．如果二面角的平面角是锐角点到的距离分别为则二面角的大小为

4l,P,,l22,4,42,

5．（25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥PABCD，PC平面ABCD，AB//CD，BCAB，

1

PCBCCDAB1，点E为PA中点．

2

(1)求证：DE//平面PBC；

10/21

(2)求二面角EBCA的平面角的正切值；

(3)作出过B,C,E三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长．

【题型8射影面积法、补形法求面面角】

1.（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上

的点，ABCD为圆台的轴截面且AQ2CP2，则（）

A．PQ为母线

B．PQPB

C．AQPQ

D．平面PBQ与平面ABCD的夹角等于30°

2．如图，ABC是正三角形，AA1、BB1、CC1互相平行且相等，且AA1平面ABC，AB=AA1，E为BB1

的中点，则△平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为.⊥

B

CA

E

G

B1

A1

C1

3．（25-26高一下·天津河西·阶段检测）如图所示：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，

则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为________．

11/21

4.（2026·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，

ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

(1)求证：GF//平面ADE；

(2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角AlB的余弦值．

【题型9求面面角的取值范围】

1.（2025高三·全国·竞赛）设P为正方体ABCDA1B1C1D1棱AB上的动点，则平面PDB1与平面ADD1A1夹角

的正切值的最小值为______．

2.（2026·陕西咸阳·二模）已知四面体ABCD中，ABBC，ABDCBD，M为AC中点，BDMD．作

MFAD，垂足为F．

12/21

(1)证明：MFAB；

1

(2)若AB2，ABC60，四面体ABCD的体积大于，求二面角MBDA的正切值的取值范围．

4

3．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，三棱锥SABC满足SA面ABC，SAABAC4，点F为棱

BC中点，点A在直线SB，SC，SF上的投影分别为D，E，H.

(1)证明：SB面ADH；

3

(2)当二面角DAHE的余弦值为时，求三棱锥SABC的体积；

4

(3)是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求二面角TDHF余弦值的取值范

围；若不存在，请说明理由.

【题型10线线角、线面角、面面角的综合】

1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）在空间中，A,B为两个定点，且AB3，动点C到直线AB的距

离为6，动点D到直线AB的距离为3，若二面角CABD为135，当ACAB，BDAB时，异面

直线AB和CD所成角正切值为（）

13/21

361515

A．B．C．D．

6363

3

2．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥

2

侧面与底面的二面角的正弦值为（）

211213311313

A．B．C．D．

11131113

7

3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正四棱锥PABCD中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，

7

则侧棱与底面所成角大小为（）

πππ

A．B．C．D．以上都不对

643

4.（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱ABCA1B1C1，ACAA1，E，F分别是棱BC，A1C1上

的点．记EF与AA1所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBCA的平面角为，则（）

A．B．C．D．

5．(多选)（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，动点P，Q分别

在线段C1D，AC上，则下列命题正确的是（）

ππ

A．异面直线D1C和BC1所成的角为B．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于

33

43

C．点C到平面ABC1D1的距离为22D．线段PQ长度的最小值为

3

6．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B

与平面ABCD所成的角为45，则直线CD与直线D1B的夹角余弦值为__________：二面角C1BDC的平

14/21

面角的正切值为__________.

1．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角

的正弦值为（）

3261

A．B．C．D．

3233

2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，AA1a，面对

角线BD与截面AB1D所成的角为45°，则a（）.

A．2B．3C．22D．23

3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知正三棱台ABCA1B1C1中，AB4，A1B11，且AA1与平面ABC

所成的角为45，则该棱台的体积为（）

2121221321

A．B．C．D．

4442

4．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知在RtABC中，斜边BC//平面，A，AB，AC分别与

平面成30和45的角，已知BC6，则BC到平面的距离为（）

A．4B．26C．6D．32

5．（25-26高一下·陕西·期中）如图，二面角l的大小为135，Al，Bl，C，D，ACl，

BDl，且ABBD2，AC2，则CD（）

15/21

A．23B．14C．4D．32

6．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，AD2AB2BD22，现将BCD

沿BD折起，使二面角CBDA的大小为60，则三棱锥CABD外接球的表面积为（）

20π28π

A．20πB．28πC．D．

33

7．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等，D为棱AB的中点．则

二面角C1A1CD的余弦值为（）

15101510

A．B．C．D．

5555

5π

8．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知二面角MN的大小为，OMN，A，且AOM，

6

30

B为β内异于O的任意一点，且cosAOB的最大值是，则sin（）

6

1256

A．B．C．D．

2233

9．（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知三棱锥PABC的底面ABC是一个边长为1的正三角形，

且三棱锥的外接球球心O为AP的中点，则下列结论正确的是（）

A．AP、BO与平面ABC所成的角相等

B．二面角BAPC的大小可能为30

6

C．若二面角OBCP的正切值为2，则三棱锥PABC的高为

3

3

D．若PBC45，则球O的表面积为π

2

10．（2026·北京·三模）如图，在棱台ABCDABCD中，底面ABCD和ABCD为正方形，AB3，AB1，

侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________．

π

11．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知二面角l的大小为，二面角内一点P到平面，

3

16/21

的距离分别为3和6，则P到直线l的距离为__________．

12．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABBC3,AA14，则异面

直线AD1与A1C1所成角的余弦值为________；二面角D1ABC的正弦值为__________．

13．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC＝2，AC＝2BC＝22，平

面PAC平面ABC．若Q为线段PC上的动点（不含端点），记QA与平面ABC所成角为，锐二面角

QABC的平面角为，则tan的最大值为______．

232

14．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥DABC的体积为，ADCDBC2，ADCπ，

33

为AB的中点

�

(1)求证：平面DAC平面ABC

2DQ

(2)线段DP上是否存在点Q使得CQ与平面ADC所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存

8DP

17/21

在，请说明理由．

15．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平

面ABCD，PAAD1，AB2，E、F分别是AB、PD的中点．

(1)求证：AF//平面PEC；

(2)求二面角PECD的正切值．

π

1．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，将绘有函数f(x)Msin(x)(M0,0π)部分图象的纸片沿x

3

2π

轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B两点之间的距离为15，则M=（）

3

A．1B．2C．2D．3

2．(多选)（2026·安徽·模拟预测）已知正四棱台ABCDA1B1C1D1侧面与底面ABCD夹角为60，E，F分

18/21

别是AB，CD的中点，则下列说法正确的是（）

A．BC1与AD是异面直线

15

B．侧棱与底面的夹角正弦值为

5

C．平面ADD1A1//平面EFC1B1

D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则AB3A1B1

3．（多选）（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BD1

上运动（包括端点），点Q在正方形BB1C1C及其内部运动，且A1Q5，则下列正确的选项有（）

π

A．APBCB．点Q的轨迹的长度为

13