2026新高二数学暑假专题：几何体的外接球、内切球、棱切球的十四大热点题型（解析版）

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暑假作业14重难专题04:几何体的外接球、内切球、棱切球

的十四大热点题型

【知识点1几何体的外接球】

1.几何体外接球的概念

（1）若多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球叫作该几何体的外接球；

（2）若旋转体的顶点在球面上，底面圆恰好为球的截面圆，则该球叫作该旋转体的外接球.

2．常见几何体外接球半径R的速算公式

模型速算公式关键数据

a2b2c2

长方体模型R=长方体的长宽高a、b、c.

2

2

2h

直棱柱模型Rr棱柱的高h，底面外接圆半径r.

2

2

正棱锥模型r2hR棱柱的高h，底面外接圆半径r.

2

�=

222棱柱的高h，上底面外接圆半径r1，下底面

Rr1x

正棱台模型

222外接圆半径r，外接圆圆心到上底面的距离

Rr2(hx)2

x.

2

两个面所在图形的外接圆半径r1、r2，两个图

面面垂直模型22l

r1r2

24形的交线长度l.

�=

l为两个图形的交线长度l，m、m为两个图

m2n22mncosl2

二面角模型R2形的外接圆圆心到交线l的距离，为两个平

sin24

面的夹角.

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【知识点2几何体的内切球】

1.几何体内切球的概念

内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径r.

2.内切球半径的求解

作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解.

3.常见几何体的内切球半径r的速算公式：

a

(1)棱长为a的正方体：r

2

6a

(2)棱长为a的正四面体：;

12

�=

3V

(3)体积为V，表面积为s的棱锥：r;

s

Rh

(4)底面半径为R，高为h，母线长为l（lR2h2）的圆锥：r=.

lR

【知识点3多面体的棱切球】

1.多面体的棱切球的概念

若一个多面体的各条棱都与一个球相切，则称该球为该多面体棱切球

【注意】旋转体没有棱切球.

2.正方体的棱切球

设正方体的棱长为a,则正方体的棱切球的直径2r=2a，此时正方体各面的对角线长恰好与其棱切球

的直径相等.

【知识点5与球有关的一些拓展性结论（拓展）】

1.外接球的有关知识与方法

(1)外接球的性质：

性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；

性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；

性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；

性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；

性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，

两相交弦的中垂线交点是圆心）.

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(2)有关结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；

结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相

同；

结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，

就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；

结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；

结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；

结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；

结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；

结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.

(3)终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；

2.内切球的有关知识与方法

（1）有关结论

结论1：若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.

结论2：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：

与多边形的内切圆）.

结论3：正多面体的内切球和外接球的球心重合.

结论4：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.

（2）基本方法：

（i）构造三角形利用相似比和勾股定理；

（ii）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.

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【题型1外接球之正方体、长方体模型】

正方体、长方体的外接球模型：

1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）棱长为1的正方体的外接球半径为（）

2

A．B．

12

2

3

C．D．1

2

【答案】C

【解析】正方体外接球的球心为正方体的中心，外接球的直径与正方体的体对角线长度相等，

设正方体棱长为，正方体的体对角线长度为：la2a2a21212123

�=133

设外接球半径为，则2Rl3，解得R，即棱长为1的正方体的外接球半径为.

22

�

2．正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为

【答案】48π

【解析】设正方体的棱长为a，因为正方体的表面积为96，可得6a296，解得a4，

则正方体的对角线长为l42424243，

设正方体的外接球的半径为R，可得2R43，解得R23，

所以外接球的表面积为S4πR24π(23)248π.

故答案为：48π.

3．长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为25，AB3，AD6，则长方体ABCDA1B1C1D1的体

积为.

【答案】122

【解析】因为长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为25，

5

设球的半径为R，由题意4R225，R，2R5，

2

长方体的外接球的一条直径为222

ABCDA1B1C1D1AC1ABADAA15.

因为，，所以2，，

AB3AD636AA15AA14

则长方体ABCDA1B1C1D1的体积为ABADAA1122.

4/58

故答案为：122

【题型2外接球之正四面体模型】

PA

正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长a，如下图所示．

2

32π

1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，

3

则正四面体的棱长为（）

464323

A．22B．C．D．

333

【答案】B

【解析】如图，将正四面体补成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同，

36

设正四面体的棱长为a0，则正方体的棱长为2a，外接球的半径为2aa，

22

32�

4632π

由，解得26，

πaa

3233

46

所以正四面体的棱长为2a.

3

2．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面

体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（）𝐴𝐵��

𝐴𝐵62�622626

A．,B．,C．,D．,

1221224444

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【答案】D

2

【解析】由棱长为1的正四面体可以构造出棱长为的正方体，如图所示，

2

𝐴𝐵

2

可知棱长为1的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同，

2

设正四面体的外接球�半��径�为，

222

𝐴𝐵�

则2226，所以6．

2RR

22224

由图可知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球，

设与正四面体的�各��棱�相切的球半径为r，

2𝐴𝐵

则r．

4

因为球的球面与正四面体的棱有公共点，

�2𝐴𝐵6

所以球的半径R满足R，

44

�

26

即球的半径的取值范围是,．

44

�

【题型3外接球之墙角模型】

对于墙角模型，其三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出R.

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1．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知三棱锥PABC的三条侧棱、、两两互相垂直，PAPB2，

PC22，则三棱锥外接球的体积为（）��𝐴��

8π16π32π

A．B．C．D．16π

333

【答案】C

【解析】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的

外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度.

已知，PC22，则长方体的体对角线

2R��P=A2��P=B22PC22222(22)2448164，

因此，外接球半径R2.

4432π

球的体积Vπ23π8

333

2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体SABC的4个顶点都在球的表面上，若SA平

面，ACBC，SAAC3，BC4，则球的表面积为（）�

�A�．�17πB．25πC．�34πD．50π

【答案】C

【解析】已知SA平面，AC,BC平面ABC，

因此SAAC,SABC,𝐴�

又因为ACBC，可得SA,AC,BC两两互相垂直，

将四面体SABC补成一个三条棱长度分别为SA3、AC3、的长方体，

四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于�长�方=体4的体对角线长度，

2

设外接球的半径为，所以2RSA2AC2BC232324234，

2

进而求得球的表面积�S4πR2π2R34π.

3.（2026高三·全国·专题练习）已知三棱锥PABC的三条棱PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC1，

则该三棱锥的外接球体积为．

3

【答案】π

2

【解析】将三棱锥补形为棱长为1的正方体如图所示，可知三棱锥与正方体的外接球相同，

3

其半径是正方体的体对角线长的一半，为3，所以球的体积为433

Vππ.

2322

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【题型4外接球之对棱相等模型】

若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为

m2n2p2

2R（其中m,n,p为三组对棱的长度）

2

1．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在三棱锥PABC中，ABPC2，其余棱长均为3，若三棱锥

PABC的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）

A．9πB．1�0π�C．11πD．12π

【答案】C

【解析】将三棱锥PABC补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，

a2b24

22

则ac9，可得a2b2c211，

22

bc9

a2b2c211

则球的半径为R，所以球的表面积为4πR211π.

22

��

8/58

2.（2026高三·全国·专题练习）在四面体PABC中，PABC5，PBAC7，PCAB2，则该

四面体外接球的表面积为（）

A．4πB．6πC．8πD．10π

【答案】C

【解析】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线，

a2b24

设这个长方体各棱长分别为a,b,c，则有b2c27，

22

ac5

各式相加得a2b2c28，

2

设外接球半径为R，则有2Ra2b2c28，

外接球表面积S4πR28π.

故选：C．

3.（2026·河南许昌·开学检测）已知四面体ABCD中，ABCD25，ACBD29，ADBC41，

则四面体ABCD外接球的体积为（）

155π455π

A．45πB．C．D．245π

22

【答案】C

【解析】设四面体ABCD的外接球的半径为R,

则四面体ABCD在一个长宽高为a,b,c的长方体中，如图，

a2b220,

222

22abc45

则bc29,故R，

2222

ac41,

444545455π

故四面体ABCD外接球的体积为VπR3π，

3382

故选：C

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【题型5外接球之汉堡模型(直棱柱、圆柱的外接球）】

汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可

以是任意三角形）

第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；

OO1ABCOO1ABC

11

第二步：算出小圆O的半径AOr，OOAAh（AAh也是圆柱的高）；

1112121

hh

第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2()2r2Rr2()2，解出R.

1122

1.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3,AC1,BAC60,AA12，则该三

棱柱的外接球的体积为（）

40π4030π32030π

A．B．C．D．20π

32727

【答案】B

【解析】设△A1B1C1的外心为O1，ABC的外心为O2，连接O1O2,O2B,OB，如图所示，

由题意可得该三棱柱的外接球的球心O为O1O2的中点．

在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC

3212231cos607，则BC7，

10/58

BC277

由正弦定理可得ABC外接圆的直径2r，则r，

sin6033

而球心O到截面ABC的距离dOO2AA11，

设直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半径为R，

2

由球的截面性质可得2222710，故30，

Rdr1R

333

3

所以该三棱柱的外接球的体积为434304030π，

VπRπ

33327

故选：B．

6

2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为6，其所有顶点都在一

2

个球面上，则此球的体积为（）

A．12πB．43π

43

C．πD．4π

3

【答案】B

【解析】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图，

则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，

设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为O1,O2，

则球心是�O1O2的中点，

�6

由正六棱柱底面边长为，侧棱长为6，

2

66

所以RtAO1O中，AO,OO，

1212

可得22，

AOAO1O1O3

43

因此，该球的体积为Vπ343π.

3

11/58

π

3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知在直三棱柱ABCABC中，BB25，，BAC，则

11116

该三棱柱外接球的体积为______.��=2

【答案】36π

BC2

2OB4

【解析】设底面三角形外接圆圆心，则1π，即OB2，

sinBACsin1

6

𝐴��1

BB125

设该三棱柱外接球球心为，则OO1//BB1且OO5，

122

�

由OO1底面，且O1B底面，故OO1O1B，

2

即2𝐴�2�2��，

BOOO1O1B523

4π

则该三棱柱外接球的体积为3336π.

3

4．（25-26高一下·广西百色·期中）已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于

________.

【答案】100

【解析】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径r3，

高h8，�

球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得：

22

2h28

Rr39165，

22

根据球的表面积公式S4R2，代入R5得：S4π52100，即该圆柱的外接球的表面积为100

【题型6外接球之切瓜模型(垂面模型）】

切瓜模型也称垂面模型，其特点是三棱锥的某个面和底面垂直，如下图所示：

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方法一：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O

h

的位置是CBD的外心O1与AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，

2

2

2△2h△

Rr．

4

方法二：1.题设：如图5，PA平面ABC，求外接球半径.

解题步骤：

第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD

必过球心O；

第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外

O1ABCOO1ABCO1O1Dr

abc1

接圆直径算法：利用正弦定理，得2r），OOPA；

sinAsinBsinC12

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；

②22222.

RrOO1RrOO1

1．已知三棱锥SABC底面是边长为3的正三角形，SA平面ABC，且SA23，则该三棱锥的外接球

的体积为（）

32π8π

A．B．43πC．6πD．

33

【答案】A

13/58

【解析】如图，将三棱锥SABC补成三棱柱ABCA1B1C1，点S与A1重合，

正三棱柱ABCA1B1C1外接球也为三棱锥SABC的外接球，令球心为O，半径为R，

记ABC和△A1B1C1外接圆的圆心分别为O1和O2，其半径为r，

2

由正弦定理得：3，而为的中点，则2，

r1OO1O2R132

2sin60

432π

所以该三棱锥的外接球的体积为VπR3.

33

故选：A

2.（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则

π

该四面体的外接球的表面积为（）𝐴𝐵𝐴⊥�𝐵𝐴=22∠𝐴�=3𝐵=3

A．B．C．D．

【答案】4Cπ43π12π123π

【解析】如图所示，圆为的外接圆，过作直线平面，

又平面，则�1，连△接�𝐵，与球交于点�1，连接�⊥，与直�线𝐵的交点为球心，则，

则𝐴⊥�𝐵，�//𝐴��1������△���1∼△�𝐴

1

��1=2𝐴=2

在中，由正弦定理得π，即，

𝐵3

11

2��=sin∠𝐴�=sin3=2

所以△该��四�面体的外接球的半径��=1,

222222

所以外接球的表面积π�=�π.�=��1+�1�=2+1=3

2

故选：C.�=4�=12

14/58

3（.25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，

则三棱锥的外接球的体积为_____�_.−𝐴�𝐵⊥∠���=120°𝐴=��=1𝐵=2

【答案】�−π𝐴�

82

【解析】3，

222

∵.��=𝐴+��−2𝐴⋅��⋅cos∠���=1+1+1=3

由∴�正�弦=定理3可知，的外接圆的直径，因此半径.

��3

3

2�=sin∠���=2

平面，△𝐴�=2�=1

∵该𝐵三⊥棱锥的�外��接球�的�半=径2，

2𝐵2

∴�=�+(2)=1+1=2

则三棱锥的外接球的体积πππ.

434382

【题型7�−外�接��球之斗笠模型（�锥=体3模�型=）3】⋅(2)=3

h2＋r2

圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何

2h

体的底面半径或底面外接圆的圆心)

1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体

积为（）3

322π322π323π323π

A．B．C．D．

927279

【答案】C

【解析】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径BO11，圆锥的高MO13，

因为MO1O1B，所以圆锥外接球的球3心在线段MO1上，如图，

△222

设圆锥外接球的半径为，在RtOBO1中，�OBOO1O1B，

2�23

所以R23R1，解得R，

3

15/58

3

所以该圆锥的外接球的体积为423323π

π.

3327

222

2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知圆锥的体积为π，侧面展开图扇形的圆心角为π，则该圆锥的

33

外接球表面积为（）

818181

A．πB．πC．πD．9π

3248

【答案】C

【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为，高为，侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，

2

故l2πr，则πl2πr，解得l3r，�ℎ

3

圆锥的高hl2r29r2r222r，

12222

则Vπr2hπr3π，解得r1，故l3，h22，

333

圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设外接球半径为，

22

2hr81�992

则R2r2hR，展开整理得R，

2h222428

2

外接球的表面积为：29281π．

S4πR4π

88

3．（25-26高三下·四川泸州·开学考试）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆

锥的外接球表面积为（）π

73π16π

A．4πB．C．D．3π

63

【答案】C

【解析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为，高为，则l2，

由题意得，2πrπl，即2πr2π，解得r1，�ℎ

∴hl2r23，

设该圆锥的外接球的半径为，显然球心位于圆锥高所在直线上，

��

16/58

2

由球的性质可知，3R12R2，

23216

解得R，所以该圆锥的外接球的表面积为S4πRπ.

33

4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为43π，A，B，C，D四点均在球O的球面上，ABC为等

边三角形，DADBDC2，则A�BC的面积为__________．

【答案】53

4

4

【解析】由球的体积公式，VπR343π，解得R3，

3

设ABC的外心为，连接，

由题意知为该三�棱锥的高��，所以该三棱锥的外接球的球心在上，

不妨设在�线�段上，连接AO,DO,AH，���

���3x

设ABC的边长为3x，由正弦定理可得，AHx，

2sin60

22

xy3

再设OHy，由题知，2，

2

xy32

2

解得y（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），

3

5���

所以x2，

3

1253

由三角形面积公式，

SABC3xsin60.

24

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【题型8外接球之折叠模型（鳄鱼模型）】

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)

第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；

BCDBCDABDH1H2

第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接

H1H2BCDABDO

OE,OC；

第三步：解，算出，在中，勾股定理：222

OEH1OH1RtOCH1OH1CH1OC

注：易知四点共面且四点共圆，证略.

O,H1,E,H2

附：秒杀公式：鳄鱼模型可用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：

m2＋n2－2mncosαl2

R2＝＋(其中l＝|AB|)解决．

sin2α4

1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，AD2AB2BD22，现将

沿BD折起，使二面角CBDA的大小为，则三棱锥CABD外接球的表面积为（）△�𝐵

20π28π

A．20πB．28π60C°．D．

33

【答案】D

【解析】因为AD2AB2BD22，所以和均是腰长为2的等腰直角三角形，

将其补充为如图1所示的长方形AFCE，将△�沿��BD折△起��，�则CDF是二面角CBDA的平面角，

折起后得到如图2所示的上下底面是边长为△2的��等�边三角形的直三棱柱，

且该三棱柱的外接球即为三棱锥CABD的外接球，

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2223

设ABE外接圆的半径为r，则2r2O1A，所以r，

sin6033

2