2026新高二数学暑假专题：平面向量的概念及运算（原卷版）

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暑假作业01平面向量的概念及运算

【知识点1向量的有关概念】

名称定义备注

既有又有的量；向量的大小

向量向量由方向和长度确定，不受位置影响

叫作向量的

→

零向量长度为的向量其方向是任意的，记作或

单位0

模等于的向量在非零向量a方向上的单位向量为.

向量

【知识点2向量的基本关系】

名称定义备注

长度且方向的向量

相等向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小

向量a与b相等，记作a＝b

0的相反向量为0

相反向量长度且方向的向量

a的相反向量为－a

共线向量(平行向

方向或的非零向量，记作a∥b0与任一向量(或平行)

量)

已知两个非零向量a和b，在平面内

当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b

选一点O，作＝a，＝b，则θ＝

向量的夹角反向；当θ＝90°时，a与b垂直，记作

∠AOB(0°≤θ�≤�180°�)称�为向量a与

规定与任一向量垂直

b的夹角

【知识点3向量的线性运算】

1.向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

1/11

交换律

求两个向量和a①bba

加法

的运算结合律

三角形法则平行四边形法则(ab)②c=a(bc)

求a与b的相

反向量b的和

减法

aba(b)

的运算叫做a与

b的差三角形法则

（1）|a||||a|

(a)()a

求实数与向（2）当0时，a与a的方向相同；当

数乘()aaa

量的积的运算时，与的方向相同；

a0aa

(ab)ab

当0时，a0

2、共线向量基本定理

如果ab(R)，则a//b；反之，如果a//b且b0，则一定存在的实数，使ab．（口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．

【知识点4向量的数量积】

1.向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为＜a，b＞或θ°

°，称为a与b的数量积(或�内�积)，�记�作a·b，即a·b＝cos＜a，b＞＝cosθ.0≤�≤

1规8定0：与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.����

2.平面向量数量积的几何意义

向量的投影：叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是

(负1)数；当为直角时，它是0．

a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上射影的乘积．

(2)设，是两个非零向量，它们的夹角是，与是方向相同的单位向量，过的

abb0bABa,CDb,AB

起(3)点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量在

ABCDA1,B1A1B1a

向量上的，叫做向量在向量上的．记为或．

bA1B1abab0b0

3.数量积的运算律

2/11

已知向量a、b、c和实数，则：

abba；(a)b=(ab)a(b)；(ab)c=acbc．

4.数①量积的性质②③

设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则

ae=ea=|a|cos．

(1)abab=0．

(2)当a,b同向时，ab|a||b|;当a,b反向时，ab|a||b|.

(43))模长公式：aa|a|2，或|a|aa.

ab

(5)夹角公式cos(|a||b|0)．

|a||b|

⑤

|ab||a||b|．

【知(6识)点5与平面向量运算有关的二级结论（拓展）】

1．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图.

2.三点共线的等价转化

A，P，B三点共线＝λ(λ≠0)＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)

＝x＋y(O为平⇔面��内异于��A，P，⇔B��的任一点，��xR，��yR，x＋y＝1).∈⇔��

3.向�量�的中�线�公式∈∈

若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋).

1

4.三角形重心的向量式��2(����

在ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论：

△＋＋＝0；△

①��＝��＋��)；

1

②��＝3(��＋��)＝＋).

11

5③.向�量�模2长(�不�等式��6(����

对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.

6.平面向量数量积运算的常用公式

(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

②3/11

(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

③7.有关向量夹角的两个结论

已知向量a，b，则

若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0.

①若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π.

向量在向量上的投影向量为·

8②.ab｜｜·｜｜.

���

��

【题型1平面向量的概念】

1．（25-26高一下·广西河池·期中）下列量中：密度、浮力、温度、风速，其中向量有（）

A．密度、浮力B．浮力、温度C．浮力、风速D．温度、风速

2．（25-26高一下·上海浦东新·期中）ab是ab或ab的（）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．(多选)（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（）

A．零向量的长度是0B．向量是有向线段

C．若ab,bc，则acD．若a,b是共线的单位向量，则ab

4．(多选)（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）关于平面向量，下列说法正确的（）

A．若ab，则abB．若ab，则a//b

C．若a//b，b//c，则a//cD．若ab，bc，则ac

【题型2平面向量的线性运算】

1．（25-26高一下·江西抚州·期中）化简：ABCBODOCAD（）

A．0B．ABC．BDD．AD

2．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）下列向量运算错误的是（）

A．ABACCBB．ABBCCA0

C．2ab3ba5abD．xyaxya2ya

3．（2026·福建福州·三模）在ABC中，点D满足BD2DC，E为AD的中点，则EB（）

4/11

15511551

A．ABACB．ABACC．ABACD．ABAC

36633663

4．（25-26高一下·上海·期中）若AB3a4b,AC4a5b，则BC_____(用a,b表示)；

【题型3共线向量定理的应用】

1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知a,b是两个不共线的向量，若向量2a3b，xa9b共线，则x（）

A．6B．4C．4D．6

2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则下列一定共线的三点是

（）

A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，D

3．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·期中）下列说法正确的是（）

A．已知非零向量a与b，则a与b同向是ab的必要不充分条件

B．A,B,C是互不重合的三点，若AB与BC共线，则A,B,C三点在同一条直线上

C．a与b是非零向量，若a与b同向，则a与b反向

D．设,为实数，若ab，则a与b共线

4．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知向量a与b不共线，且OAa2b，OB2ab，OC4akb．若

A，B，C三点共线，则k______．

5．（25-26高一下·广东广州·期中）设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB3e12e2，BC4e1e2，

．

CD8e19e2

(1)求证：A,B,D三点共线；

(2)若e1e2与e1e2不共线，试求的取值范围．

【题型4平面向量的数量积】

1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知向量a,b满足abab，则ab的值为（）

A．4B．2C．1D．0

π

2．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知向量a,b满足a3,b2,a,b，则ab（）

3

A．33B．3C．6D．9

3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量a,b满足a2b3,a2b1，则ab（）

A．0B．1C．2D．4

5/11

4．（2026·山东·模拟预测）在ABC中，ABAC，BC6，则ABBC的值为_____.

5．（25-26高一下·江西南昌·期中）在ABC中，已知AB2,AC5，BAC60，其中BC,AC边上的两

条中线AM,BN相交于点P．

(1)设APtAM，求t的值．

(2)求AMBN．

【题型5平面向量的模长或夹角】

π

1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两个单位向量e与e的夹角为，设a2e，be2e，则ab

123112

（）

A．1B．3C．2D．3

2．（25-26高一下·北京·期中）已知平面向量a,b满足ab1，且|a|2,|b|1，则向量a与b的夹角为（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

3336

2

3．（2026·福建福州·模拟预测）已知a，b为两个不共线的单位向量，且a与的夹角为π，则a与b的

ba3

夹角为（）

ππ25

A．B．C．πD．π

6336

3．若平面向量a，b，c满足ab2bc1，则2ac的最大值是（）

A．2B．3C．4D．5

4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量a,b,c满足|a||b|1,|c|2且abc0，则向量ac

和向量bc的夹角的余弦值为（）

4334

A．B．-C．D．

5555

5．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）已知|a|1,|b|2,a与b的夹角为120.

(1)求ab；

(2)求|2ab|及(a2b)(2ab)；

6/11

(3)若向量atb与2ab的夹角为锐角，求实数t的取值范围．

【题型6投影向量】

1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知向量a在向量b上的投影向量的模为2，且b2，则ab（）

A．4B．5C．6D．7

1

2．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量a在向量b上的投影向量为b，b4，则ab（）

2

A．4B．4C．8D．8

1

3．（2026·安徽·模拟预测）若ab1，且向量a在b方向上的投影向量为b，则a3b（）

2

A．3B．23C．15D．13

4．（25-26高一下·江苏南通·期中）若非零向量a，b的夹角为45，且a4，ab4，则b在a上的投

影向量为__________．

【题型7向量的垂直】

1．（2026·福建·模拟预测）已知单位向量a，b满足aa2b，则cosa,b（）

113

A．B．0C．D．

222

π

2．（2026·四川成都·三模）已知向量a,b满足a2,b4,a与b的夹角为，若kabab，则

3

k__________.

3．（2026·河北邢台·三模）已知向量a，b满足ab3，且aba3b，则b_______________.

4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知a2,b22．

(1)若a//b，求a·b；

(2)若a,b的夹角为120，求ab；

(3)若4abb，求a与b的夹角．

7/11

1．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）设O,A,M,B为平面上四点，OMOB1OA，且1,2，

则下列结论正确的是（）

A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上

C．点A在线段BM上D．O,A,M,B四点共线

2．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在ABC中，AD3DB,P为CD上一点，且满

3

足APxACAB(xR)，则x（）

5

1234

A．B．C．D．

5555

π

3．（25-26高一下·江苏·期中）已知非零向量a,b的夹角为，且满足a2ba，则2ab与b的夹角为

3

（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

4．（25-26高一下·广东江门·期中）已知向量a，b满足a5，b3，且a2bab，则向量a在向

量b上的投影向量为（）

7777

A．bB．bC．bD．b

3993

5．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交射线AB，AC

11

于不同的两点M，N．设ABmAM，ACnAN（m0，n0），则的最小值（）

mn

A．2B．4C．22D．8

1

6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知ABC是边长为1的正三角形，ANNC，P是BN上一点且

3

2

APmABAC，则APAB（）

9

1221

A．B．C．D．

9933

7．（山西省长治市部分学校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题）在ABC中，BAC60，

1

AB3，AC2，点D为AC的中点，P为BD上的点，且APxABAC，则APAB的值为（）

3

8/11

1114

A．B．4C．D．6

33

8．（多选）（25-26高一下·新疆昌吉·期中）设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中

不正确的是（）

222

A．若abac，则bcB．abab

C．若3a2b3a2b，则abD．bcaacb不与c垂直

9．(多选)（25-26高一下·广东·期末）（多选）已知点O、N、P在ABC所在平面内，则（）

A．若|OA||OB||OC|，则点O是ABC的外心

B．若NANBNC0，则点N是ABC的重心

C．若PAPBPBPCPCPA，则点P是ABC的内心

ABAC

D．若BC0，则ABC是等腰三角形

ABAC

1

10．（2026高三·全国·专题练习）设D是ABC的边AB上的点，若AD2DB，CDCACB，则______．

3

11．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）单位圆O的内接ABC，满足2OA3OB4OC0，则OAAB____．

12．（2026·陕西西安·模拟预测）在△ACB中，若BAC120，ABAC8，AD平分BAC交BC于D，

则AD的最大值为______．

1

13．（25-26高一下·江西南昌·期中）在菱形ABCD中，AB6,BAD60,BEBC,CF2FD．

2

(1)求ACEF的值；

．若P是线段EF上的动点，问APAC是否为定值？若是，求该定值；若不是，求APAC的取值范围(2)

14．（25-26高一下·河南驻马店